1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级(下)课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第05讲-等腰三角形 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握等腰三角形、等边三角形的性质、判定定理； 掌握含30角的直角三角形的性质定理及其证明； 能够用综合法证明等腰三角形的有关性质及其判定定理。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相
2、重合。即三线合一。（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。考点一：等腰三角形的性质例1、一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A12 B16 C20 D16或20
3、【解析】当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；当8为腰时，8488+4，符合题意故此三角形的周长=8+8+4=20故选C例2、等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（）A30，60 B45，45 C45，90 D20，70【解析】故选B例3、如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（）A15 B17.5 C20 D22.5【解析】ABC的平分线与ACE的平分线交于点D，1=2，3=4，ACE=A+ABC，即1+2=3+4+A，21=23+A，1=3+D，D=A=30=15故选A例4、在等腰ABC中，其中AB=AC，A=
4、40，P是ABC内一点，且1=2，则BPC等于（）A110 B120 C130 D140【解析】A=40，ACB+ABC=18040=140，又ABC=ACB，1=2，PBA=PCB，1+ABP=PCB+2=140=70，BPC=18070=110故选A例5、如图，ACBD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，A=48，D=66【解析】OA=AC，ACO=AOC=（180A）=（18048）=66ACBD，D=C=66故答案为：66例6、在等腰ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形底边长为16或8【解析】BD是等腰ABC的中线，可设AD=CD=x
5、，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，可知分为两种情况AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21x=215=16；AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰ABC的三边分别为14，14，8经验证，这两种情况都是成立的这个三角形的底边长为8或16故答案为：16或8例7、如图，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC的度数【解答】（1）证明：AB=AC，ABC=ACB，BD、CE是ABC的两条高线，BEC=BDE=90，BECBDC，DBC=ECB，BE=CD。在BOE和
6、COD中，BOE=COD，BE=CD，BEC=BDE=90BOECOD，OB=OC；（2）ABC=50，AB=AC，A=180250=80，DOE+A=180BOC=DOE=18080=100例8、如图，在ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明【解析】ABEACE，EBDECD，ABDACD以ABEACE为例，证明如下：AD平分BAC，BAE=CAE在ABE和ACE中，ABEACE（SAS）考点二：等腰三角形的判定 例1、在ABC中，其两个内角如下，则能判定ABC为等腰三角形的是（）AA=40，B=50 BA=40，B=60CA=
7、20，B=80 DA=40，B=80【解析】故选C例2、对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（）A只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D以上说法都是正确的【解析】选C例3、ABC的三边长a，b，c满足关系式（ab）（bc）（ca）=0，则这个三角形一定是（）A等腰三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D无法确定【解析】ABC的三边长a，b，c，a、b、c都是正数由（ab）（bc）（ca）=0，得ab=0，即a=b，ABC是等腰三角形；bc=0，即b=c，ABC是等腰三角形；c
8、a=0，即c=a，ABC是等腰三角形；ab=0，bc=0且ca=0，即a=b=c，ABC是等边三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形综上所述，ABC一定是等腰三角形故选A例4、如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A5个 B4个 C3个 D2个【解析】共有5个（1）AB=ACABC是等腰三角形；（2）BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，EBC=ABC，ECB=BCD，ABC是等腰三角形，EBC=ECB，BCE是等腰三角形；（3）A=36，AB=AC，ABC=ACB=（18036）=72，又BD是ABC的角平分线，ABD=A
9、BC=36=A，ABD是等腰三角形；同理可证CDE和BCD是等腰三角形故选：A例5、如图，ABC中，BF、CF分别平分ABC和ACB，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF和CEF都是等腰三角形；DFB=EFC；ADE的周长等于AB与AC的和；BF=CF其中正确的是（填序号，错选、漏选不得分）【解析】DEBC，DFB=FBC，EFC=FCB，BF是ABC的平分线，CF是ACB的平分线，FBC=DFB，FCE=FCB，DBF=DFB，EFC=ECF，DFB，FEC都是等腰三角形正确；ABC不是等腰三角形，DFB=EFC，是错误的；DFB，FEC都是等腰三角形DF=DB，
10、FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC正确，共2个正确的；ABC不是等腰三角形，ABCACB，FBCFCB，BF=CF是错误的；故答案为：例6、如图，已知ABCD，ACBD，CE平分ACD（1）求证：ACE是等腰三角形；（2）求证：BECBDC【解析】（1）ABCD，AEC=ECD，CE平分ACD，ACE=ECD，AEC=ECA，AC=AE，ACE是等腰三角形；（2）ABCD，ACBD，四边形ABDC为平行四边形，CAE=BDC，BECCAE，BECBDCP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1
11、、等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A16cm B17cm C20cm D16cm或20cm【解析】选C2、等腰三角形中一个外角等于100，则另两个内角的度数分别为（）A40，40 B80，20C50，50 D50，50或80，20【解析】选D3、如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小为（）A40 B30 C70 D50【解析】ADBC，C=1=70，AB=AC，B=C=70，BAC=180BC=40故选A4、如图，B=C，1=3，则1与2之间的关系是（）A1=22 B312=180C1+32=180 D21+2=180【解析】1=3，
12、B=C，1+B+3=180，21+C=180，21+12=180，312=180故选B5、如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC；OE=OD从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定ABC是等腰三角形的是（）A B C D【解析】选可根据AAS证EBO和DCO全等，推出OB=OC，再得出CBO=BCO，两角相加得出ABC=ACB，正确；根据OB=OC，EBO=DCO，两角相加得出ABC=ACB，正确；根据SAS证EBO和DCO全等，推出EBO=DCO根据OB=OC，EBO=DCO，两角相加得出ABC=ACB，正
13、确；不能证明出EBO和DCO全等，错误；故选D6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON=30，当A=60或90时，AOP为直角三角形；当A=30或75或120时，AOP为等腰三角形【解析】AON=30，当A=60时，APO=90，此时AOP是直角三角形，当A=90时，AOP是直角三角形，故答案为60或90，当点O为等腰三角形顶点时，A=75，当点A为等腰三角形顶点时，A=120，当点P为顶点时，A=30，故答案为30或75或1207、如图，在ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且C=40，那么A=80【解析】AB=BD=DC，C=40，DBC=C=40，
14、A=ADB，BDC=1804040=100，ADB=180100=80，A=80故答案为：808、如图，在ABC中AB=AC，A=36，BD平分ABC，则1=72度，图中有3个等腰三角形【解析】AB=AC，A=36，ABC是等腰三角形，C=ABC=72，BD为ABC的平分线，ABD=A=DBC=36，AD=BD，ADB是等腰三角形，1=1803672=72=C，BC=BD，CDB是等腰三角形，图中共有3个等腰三角形故填39、如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F求证：DE=DF【解答】证明：连接ADAB=AC，点D是BC边上的中点AD平分BA
15、C（三线合一性质），DE、DF分别垂直AB、AC于点E和FDE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）10、如图，在ABC中，AB=AC，A=40，BD是ABC的平分线，求BDC的度数【解析】AB=AC，A=40，ABC=C=70，BD是ABC的平分线，DBC=ABC=35，BDC=180DBCC=7511、如图，在ABC中，AD平分BAC，点D是BC的中点，DEAB于点E，DFAC于点F求证：ABC是等腰三角形【解答】证明：AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，DE=DF，在RtBDE和RtCDF中，RtBDERtCDF（HF），B=C，ABC为等腰三角形 课后反击1、已知等腰三
16、角形的一个底角的度数为70，则另外两个内角的度数分别是（）A55，55 B70，40C55，55或70，40 D以上都不对【解析】选B2、等腰三角形顶角是84，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（）A42 B60 C36 D46【解析】如图：ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高A=84，且AB=AC，ABC=C=（18084）2=48；在RtBDC中，BDC=90，C=48；DBC=9048=42故选A3、如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P的度数为（）A44 B66 C88 D92【解析】PA=PB，A=B，
17、在AMK和BKN中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44，P=180AB=92，故选：D4、如图，D是直角ABC斜边BC上一点，AB=AD，记CAD=，ABC=若=10，则的度数是（）A40 B50 C60 D不能确定【解析】AB=AD，B=ADB，=10，ADB=+C，C=10，BAC=90，B+C=90，即+10=90，解得=50，故选B5、如图，在ABC，A=36，B=72，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（）A2个 B3个 C4个 D5个【解析】A=36，B=72，ACB=1803672=72，ACB=B
18、，AB=AC，ABC是等腰三角形，DE垂直平分AC，EA=EC，ACE=A=36AE=CE，ACE是等腰三角形，AEC=1803636=108，BEC=72BEC=B，CE=BCBEC是等腰三角形，等腰三角形有ABC，ACE，BEC，故选：B6、如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线，若ABD的周长为12，ABC的周长为16，则AD的长为4【解析】ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线，BD=CDABD的周长为12，AB+BD+AD=12，2AB+2BD+2AD=24，AB+AC+BC+2AD=24，ABC的周长为16，AB+AC+BC=16，16+2AD=24，AD=4故答案为
19、47、如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：【解析】由条件可判定ABC是等腰三角形证明：EBO=DCO，EOB=DOC，（对顶角相等），BE=CD，EBODCO，OB=OC，OBC=OCB，ABC=ACB，ABC是等腰三角形8、如图，在ABC中，BAC：B：C=3：1：1，AD，AE将BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是6【解析】BAC：B：C=3：1：1，BAC+B+C=180，BAC=120，B=30，C=30，AD，AE将BAC
20、三等分，BAD=DAE=EAC=30，ADE=AED=BAE=CAD=60，AD=BD，AD=AE，AE=CE，AB=AC，AB=BE，AC=CD，ABD，ADE，AEC，ABC，ABE，ACD是等腰三角形，图中等腰三角形的个数是6，9、如下图中，在ABC中，有AB=AC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交CB的延长线于点E若有BAC=40，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）【解析】EAC=75，AB=AC，BAC=40，ABC=ACB=70，BD平分ABC交AC于点D，ABD=CBD=35，AEBD，E=EAB=35，EAC=EAB
21、+BAC=75直击中考1、【2015长沙】下列条件中，不能判定ABC是等腰三角形的是（）Aa=3，b=3，c=4 Ba：b：c=2：3：4CB=50，C=80 DA：B：C=1：1：2【解析】选B2、【2016山东】如下图中，将ABC沿BD对折，使得点C落在AB上的点C处，且C=2CBD，已知 A=36（1）求BDC的度数；（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）【解析】由折叠的性质可得：CBD=CBD，ABC=2CBD，C=2CBD，C=ABC，ABC中，A=22，C=ABC=72，CBD=36，BDC=180336=72（2）C=ABC=BDC=BDC=BCD=72，AB=AC，BC=B
22、D=BC，ABC，BCD，BCD是等腰三角形，ABC=BDC=BDC=BCD=72，ABD=ADC=A=36，AD=BD，AC=DC，ABD，ADC是等腰三角形所以等腰三角形有ABC，ABD，BCD，BDC，ADCS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。名师点拨1、涉及等腰三角形腰上的高的问题时，需要注意分类讨论；2、等腰三角形“三线合一”的成立的条件一定要明确；3、等腰三角形需要满足一般三角形的性质。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是12
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