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    九年级下册数学同步课程讲义第02讲-三角函数的应用(培优)-教案

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    九年级下册数学同步课程讲义第02讲-三角函数的应用(培优)-教案

    1、学科教师辅导讲义学员编号: 年 级:九年级(下)课 时 数:3学员姓名:辅导科目:数 学学科教师:授课主题第02讲-三角函数的应用授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 在实际问题中熟练建立解三角形模型; 利用三角函数计算模型中的相关长度; 在常见问题中,能熟练做出辅助线构建模型。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念1、相关概念仰角:视线在水平线上方的角叫仰角俯角:视线在水平线下方的角叫俯角坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比),用字母i表示坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角,用表示,则有i_tan 如图所示, ,即坡

    2、度是坡角的正切值方向角:平面上,通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从O点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角,叫做观测的方向角 2、利用(三角函数)解直角三角形解实际应用题的一般步骤: 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等),然后根据题意画出几何图形,建立数学模型; 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系,当有些图形不是直角三角形时,可添加适当的辅助线,把它们分割成直角三角形; 寻求基础直角三角形,并解这个三角形或设未知数进行求解考点一:解决坡度、坡角实际问题例1、河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:,则AB

    3、的长为()A12米 B4米 C5米 D6米【解析】A例2、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin360.59,cos360.81,tan360.73)()A8.1米 B17.2米 C19.7米 D25.5米【解析】作BFAE于F,如图所示:则FE=BD=6米,DE=BF,斜面AB的坡度i=1:2.4,AF=2.4BF,设BF=x米,则AF=2.4x米,在Rt

    4、ABF中,由勾股定理得:x2+(2.4x)2=132,解得:x=5,DE=BF=5米,AF=12米,AE=AF+FE=18米,在RtACE中,CE=AEtan36=180.73=13.14米,CD=CEDE=13.14米5米8.1米;故选:A考点二: 方位角问题例1、如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,这时,海轮所在的B处与灯塔P的距离为()A40海里 B40海里 C80海里 D40海里【解析】过点P作PCAB于点C,由题意可得出:A=30,B=45,AP=80海里,故CP=AP=40(海里),则

    5、PB=40(海里)例2、如图,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60的方向,前进40海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30的方向,则海岛C到航线AB的距离CD是()A20海里 B40海里 C20海里 D40海里【解析】根据题意可知CAD=30,CBD=60,CBD=CAD+ACB,CAD=30=ACB,AB=BC=40海里,在RtCBD中,BDC=90,DBC=60,sinDBC=,sin60=,CD=40sin60=40=20(海里)故选:C考点三:测量高度例1、如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30,看这栋楼底部C处的俯角为60,热气球A处与楼

    6、的水平距离为120m,则这栋楼的高度为()A160m B120m C300m D160m【解析】过点A作ADBC于点D,BC=BD+CD=160(m)故选A例2、如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45,已知OA=100米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1:2,且O、A、B在同一条直线上求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度(测倾器高度忽略不计,结果保留根号式)【解析】作PEOB于点E,PFCO于点F,在RtAOC中,AO=100,CAO=60,CO=AOtan60=100(米)设PE=x米,tanPAB=,AE=2x在R

    7、tPCF中,CPF=45,CF=100x,PF=OA+AE=100+2x,PF=CF,100+2x=100x,解得x=(米)答:电视塔OC高为100米,点P的铅直高度为(米)考点四:测量距离和宽度例1、如图,某日,正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情,相关部门接到求救信号后,立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援,当飞机到达海面3000m的高空C处时,测得A处渔政船的俯角为45,测得B处发生险情渔船的俯角为30,此时渔政船和渔船的距离AB是( )A3000m B3000()m C3000()m D1500m【解析】如图,由题意可知CEBD,CBA=30,CAD=45,

    8、且CD=3000m,在RtACD中,AD=CD=3000m,在RtBCD中,BD=3000m,AB=BDAD=30003000=3000(1)(m),故选C例2、如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30,测得大楼顶端A的仰角为45(点B,C,E在同一水平直线上),已AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据:1.414,1.732)【解析】如图,过点D作DFAB于点F,过点C作CHDF于点H则DE=BF=CH=10m,在直角ADF中,AF=80m10m=70m,ADF=45,DF=AF

    9、=70m在直角CDE中,DE=10m,DCE=30,CE=10(m),BC=BECE=70107017.3252.7(m)答:障碍物B,C两点间的距离约为52.7mP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图,水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4:3,背水坡BC的坡比为1:2,大坝高DE=20m,坝顶宽CD=10m,则下底AB的长为()A55m B60m C65m D70m【解析】C2、如图,某水渠的横断面是梯形,已知其斜坡AD的坡度为1:1.2,斜坡BC的坡度为1:0.8,现测得放水前的水面宽EF为3.8米,当水闸放水后,水渠内水面宽GH为6米则放水后水面上升的高

    10、度是()米A1.2 B1.1 C0.8 D2.2【解析】过点E作EMGH于点M,过点F作FNGH于点N,可得四边形EFNM为矩形,则MN=EF,设ME=FN=x,在RtGME中,斜坡AD的坡度为1:1.2,ME:GM=1:1.2,GM=1.2x,在RtNHF中,斜坡BC的坡度为1:0.8,NF:NH=1:0.8,NH=0.8x,则GH=1.2x+0.8x+3.8=6,解得:x=1.1故选B3、如图,已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号,一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行,轮船在A处测得灯塔M在北偏东30方向,行驶1小时后到达B处,此时刚好进入灯塔M的镭射信号区,测得灯塔M在北偏东

    11、45方向,则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为()A(1)小时 B(+1)小时C2小时 D小时【解析】连接MC,过M点作MDAC于D在RtADM中,MAD=30,AD=MD,在RtBDM中,MBD=45,BD=MD,BC=2MD,BC:AB=2MD:(1)MD=2:+1故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为(+1)小时故选B4、如图,将宽为1cm的纸条沿BC折叠,使CAB=45,则折叠后重叠部分的面积为()Acm2 Bcm2 Ccm2 Dcm2【解析】如图,由题可知ABC是一个顶角为45的等腰三角形,即A=45,AC=AB作CDAB,垂足为D,则CD=1sinA=,=AB,SABC=ABCD=,

    12、折叠后重叠部分的面积为cm2故选D5、如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30、45,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是()A200米 B200米C220米 D100()米【解析】由已知,得A=30,B=45,CD=100,CDAB于点D在RtACD中,CDA=90,tanA=,AD=100在RtBCD中,CDB=90,B=45DB=CD=100米,AB=AD+DB=100+100=100(+1)米故选D6、海中有一个小岛A,它的周围a海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东75方向上,航行12海里到达D点,

    13、这是测得小岛A在北偏东60方向上若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险,则a的最大值为()A5 B6 C6 D8【解析】作ACBD于点CABD=9075=15,ADC=9060=30,BAD=ADCABD=3015=15,ABD=BAD,BD=AD=12(海里),在直角ADC中,AC=AD=12=6(海里)故a的最大值是6海里7、如图,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45的防洪大堤(横截面为梯形ABCD)急需加固经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽2米,加固后,背水坡EF的坡比i=1:2(1)求加固后坝底增加的宽

    14、度AF的长;(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?【解析】(1)分别过点E、D作EGAB、DHAB交AB于G、H,四边形ABCD是梯形,且ABCD,DH平行且等于EG,故四边形EGHD是矩形,ED=GH,在RtADH中,AH=DHtanDAH=8tan45=8(米),在RtFGE中,i=1:2=,FG=2EG=16(米),AF=FG+GHAH=16+28=10(米);(2)加宽部分的体积V=S梯形AFED坝长=(2+10)8400=19200(立方米)答:(1)加固后坝底增加的宽度AF为10米;(2)完成这项工程需要土石19200立方米8、一条船在海面上自西向东沿直线航行,在A处测得航标C在

    15、北偏东60方向上,前进100米到达B处,又测得航标C在北偏东45方向上(1)请根据以上描述,画出图形(2)已知以航标C为圆心,120米为半径的圆形区域内有浅滩,若这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险?为什么?【解析】(1)如图所示(2)作CD直线AB于点D,由已知可得CAD=30,CBD=45,AB=100米设CD=x米在RtACD中,tanCAD=,AD=,在RtCBD中,CBD=45,BD=CD=x,ADBD=AB,解得,这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险答:这条船继续前进,没有被浅滩阻碍的危险 课后反击1、如图,将一个RtABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下,使木桩

    16、向上运动,已知楔子斜面的倾斜角为18,若楔子沿水平方向前移6cm(如箭头所示),则木桩上升了()A6tan18cm Bcm C6sin18cm D6cos18cm【解析】A 2、如图,某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中,已测得仰角CAE=33,AB=a,BD=b,则下列求旗杆CD长的正确式子是()ACD=b sin33+a BCD=b cos33+aCCD=b tan33+a DCD=【解析】C3、小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米已知斜坡的坡角为30,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为

    17、2米,则树的高度为()A()米 B12米C()米 D10米【解析】延长AC交BF延长线于D点,则CEF=30,作CFBD于F,在RtCEF中,CEF=30,CE=4m,CF=2(米),EF=4cos30=2(米),在RtCFD中,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,即CF=2(米),CF:DF=1:2,DF=4(米),BD=BE+EF+FD=8+2+4=12+2(米)在RtABD中,AB=BD=(12+2)=(+6)米故选A4、如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46方向上

    18、,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68=0.9272,sin46=0.7193,sin22=0.3746,sin44=0.6947)()A22.48 B41.68 C43.16 D55.63【解析】如图,过点P作PAMN于点A,MN=302=60(海里),MNC=90,CPN=46,MNP=MNC+CPN=136,BMP=68,PMN=90BMP=22,MPN=180PMNPNM=22,PMN=MPN,MN=PN=60(海里),CNP=46,PNA=44,PA=PNsinPNA=600.694741.68(海里).故选:B5、如图,在一笔直

    19、的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km、从A测得船C在北偏东45的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为()A4km B(2+)kmC2km D(4)km【解析】在CD上取一点E,使BD=DE,设BD=DE=xBD=DE,EBD=45,由题意可得CAD=45,AD=DC,从B测得船C在北偏东22.5的方向,BCE=CBE=22.5,BE=EC,AB=2km,EC=BE=2km,BD=DE=x,CE=BE=x,2+x=x+x,解得x=DC=(2+)km故选:B6、如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60,沿山坡向上走到P处再测得该建

    20、筑物顶点A的仰角为45已知BC=90米,且B、C、D在同一条直线上,山坡坡度为(即tanPCD=)(1)求该建筑物的高度(即AB的长)(2)求此人所在位置点P的铅直高度(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号形式)【解析】(1)过点P作PEBD于E,PFAB于F,又ABBC于B,四边形BEPF是矩形,PE=BF,PF=BE在RtABC中,BC=90米,ACB=60,AB=BCtan60=90(米),故建筑物的高度为90米;(2)设PE=x米,则BF=PE=x米,在RtPCE中,tanPCD=,CE=2x,在RtPAF中,APF=45,AF=ABBF=90x,PF=BE=BC+CE=90+2x,又A

    21、F=PF,90x=90+2x,解得:x=3030,答:人所在的位置点P的铅直高度为()米直击中考1、【2015衡阳】如图,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30,再向电视塔方向前进100米达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60,则这个电视塔的高度AB(单位:米)为()A50 B51 C50+1 D101【解析】设AG=x,在RtAEG中,tanAEG=,EG=x,在RtACG中,tanACG=,CG=x,xx=100,解得:x=50则AB=50+1(米)故选C 2、【2014深圳】小明去爬山,在山脚看山顶角度为30,小明在坡比为5:12的山坡上走

    22、1300米,此时小明看山顶的角度为60,求山高()A600250米 B600250米C350+350米 D500米【解析】BE:AE=5:12,=13,BE:AE:AB=5:12:13,AB=1300米,AE=1200米,BE=500米,设EC=x米,DBF=60,DF=x米又DAC=30,AC=CD即:1200+x=(500+x),解得x=600250DF=x=600750,CD=DF+CF=600250(米)答:山高CD为(600250)米故选:B3、【2013深圳】如图,已知l1l2l3,相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰直角ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上,则sin的值是()A

    23、 B C D【解析】如图,过点A作ADl1于D,过点B作BEl1于E,设l1,l2,l3间的距离为1,CAD+ACD=90,BCE+ACD=90,CAD=BCE,在等腰直角ABC中,AC=BC,在ACD和CBE中,ACDCBE(AAS),CD=BE=1,在RtACD中,AC=,在等腰直角ABC中,AB=AC=,sin=故选:D4、【2016十堰】在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EFMN,小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向,然后沿河岸走了30米,到达B处,测得河对岸电线杆D位于北偏东30方向,此时,其他同学测得CD=10米请根据这些数据求出河的宽

    24、度为(30+10)米(结果保留根号)【解析】如图作BHEF,CKMN,垂足分别为H、K,则四边形BHCK是矩形,设CK=HB=x,CKA=90,CAK=45,CAK=ACK=45,AK=CK=x,BK=HC=AKAB=x30,HD=x30+10=x20,在RTBHD中,BHD=30,HBD=30,tan30=,=,解得x=30+10河的宽度为(30+10)米S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 理解坡度的概念,利用坡度解决实际问题2、 熟练掌握相关方位角、观察角的概念,准确构造直角三角形3、 利用三角函数、解三角形知识解决测高、距离和宽度等实际问题名师点拨1、将实际问题中,当有些图形不是直角三角形时,可添加适当的辅助线,把它们分割成直角三角形;2、寻求基础直角三角形,并解这个三角形或设未知数进行求解是解决问题的关键学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15


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