1、高效提分 源于优学 第06讲 平行四边形 温故知新问题1：你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出平行四边形吗？请同学将拼出的六种形状不同的四边形展示在黑板上问题2：观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由结合拼出的这个特殊四边形，给出平行四边形定义定义的几何语言表述 ABCD ADBC 四边形ABCD是平行四边形 课堂导入知识要点一 一、平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：用符号“”表示，平行四边形记作“”。 （2）平行四边形的边、角性质 边的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等。 角的性质：平行四边形的
2、对角相等；平行四边形的邻角互补。 （3）两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 （4）平行四边形的对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。、 （5）平行四边形的周长与面积 面积公式：平行四边形的面积=底高； 等底等高的平行四边形的面积相等； 平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。二、平行四边形判定方法 （1）从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）从对角线看：对角线互相平分的四边形是
3、平行四边形。三、三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； （2）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 典例分析例1、如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AD于E，BED=150，则A的大小为（）A150 B130C120 D100【解答】选C例2、如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则OBC的周长为（）A13 B17C20 D26【解答】选：B例3、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）AOE=DC BOA=OCCBOE=
4、OBA DOBE=OCE【解答】四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD，ABDC，又点E是BC的中点，OE是BCD的中位线，OE=DC，OEDC，OEAB，BOE=OBA，选项A、B、C正确；OBOC，OBEOCE，选项D错误；故选：D例4、如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至ADE处，AD与CE交于点F若B=52，DAE=20，则FED的大小为36【解答】四边形ABCD是平行四边形，D=B=52，由折叠的性质得：D=D=52，EAD=DAE=20，AEF=D+DAE=52+20=72，AED=180EADD=108，FED=10872=36；故答案为：36例
5、5、如图，四边形ABCD为平行四边形，BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BFAE，BEA=60，AB=4，求平行四边形ABCD的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，AB=CD，AEB=DAE，AE是BAD的平分线，BAE=DAE，BAE=AEB，AB=BE，BE=CD；（2）解：AB=BE，BEA=60，ABE是等边三角形，AE=AB=4，BFAE，AF=EF=2，BF=2，ADBC，D=ECF，DAF=E，在ADF和ECF中，ADFECF（AAS），ADF的面积=ECF的面积，平行四边形ABCD
6、的面积=ABE的面积=AEBF=42=4例6、如图，DE是ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（）A2 B4C6 D8【解答】DE是ABC的中位线，BC=8，DE=BC=4，故选B例7、如图，ABC和BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且EAD=60，连接ED、CF（1）求证：ABEACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形【解答】证明：（1）ABC和BEF都是等边三角形，AB=AC，EBF=ACB=BAC=60，EAD=60，EAD=BAC，EAB=CAD，在ABE和ACD中，ABEACD（2）由（1）得ABEACD，BE=CD，BEF、ABC是等边三角形，BE=E
7、F，EFB=ABC=60，EFCD，BE=EF=CD，EF=CD，且EFCD，四边形EFCD是平行四边形学霸说者归纳一：（1）熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质及内角和定理；（2）熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、勾股定理与平行四边行的综合运用；裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三1、如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A2 B3C4 D6【解答】四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AD=BC=8，CD=AB=6，F=DCF，CF平分BCD，FCB=DCF，F=FCB，
8、BF=BC=8，同理：DE=CD=6，AF=BFAB=2，AE=ADDE=2，AE+AF=4；故选：C2、如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，ACAB，E是BC中点，AOD的周长比AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A3cm B4cmC5cm D8cm【解答】ABCD的周长为26cm，AB+AD=13cm，OB=OD，AOD的周长比AOB的周长多3cm，（OA+OD+AD）（OA+OB+AB）=ADAB=3cm，AB=5cm，AD=8cmBC=AD=8cmACAB，E是BC中点，AE=BC=4cm；故选：B3、如图，在ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延
9、长交DC的延长线于点F（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DEAF【解答】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABDF，ABE=FCE，E为BC中点，BE=CE，在ABE与FCE中，ABEFCE（ASA），AB=FC；（2）AD=2AB，AB=FC=CD，AD=DF，ABEFCE，AE=EF，DEAF4、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）AOA=OC，OB=OD BBAD=BCD，ABCDCADBC，AD=BC DAB=CD，AO=CO【解答】选：D5、如图，DE是ABC的中位线，过点C作CFBD交DE的延长线于点F
10、，则下列结论正确的是（）AEF=CF BEF=DECCFBD DEFDE【解答】DE是ABC的中位线，E为AC中点，AE=EC，CFBD，ADE=F，在ADE和CFE中，ADECFE（AAS），DE=FE故选B6、如图，等边ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长；（3）求四边形DEFC的面积【解答】（1）在ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，DE为ABC的中位线，DE=BC，CF=BC，DE=CF（2）AC=BC，AD=BD，CDAB，BC=4，BD=2，CD=2，DECF，DE=CF，四边形DE
11、FC是平行四边形，EF=CD=2（3）过点D作DHBC于HDHC=90，DCB=30，DH=DC=，DE=CF=2，S四边形DEFC=CFDH=2=2 课堂闯关初出茅庐1、如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则ABO的周长是（）A10 B14C20 D22【解答】四边形ABCD是平行四边形，AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，AC+BD=16，AO+BO=8，ABO的周长是：14故选：B2、如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B处，若1=2=44，则B为（）A66 B104C114 D124【解答】四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ACD=
12、BAC，由折叠的性质得：BAC=BAC，BAC=ACD=BAC=1=22，B=1802BAC=1804422=114；故选：C3、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：A：B：C：D的值为（）A1：2：3：4 B1：4：2：3C1：2：2：1 D1：2：1：2【解答】选D4、某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A3300m B2200mC1100m D550m【解答】选：B5、如图，四边形ABCD中，A=ABC=90，点E是边CD上一点，连接
13、BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件：BC=DF，使四边形BDFC为平行四边形【解答】四边形ABCD中，A=ABC=90，BCDF，当BC=DF时，四边形BDFC是平行四边形故答案为：BC=DF6、如图，在ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且A+B=136，则ANM=44【解答】在ABC中，A+B=136，ACB=180（A+B）=180136=44，ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，MNBC，ANM=ACB=44故答案为：44 优学学霸 l 建议用时：15分钟1、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度
14、运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形【解答】当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BCBF=62t（cm），AGBC，当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=62t，解得：t=2；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BFBC=2t6（cm），AGBC，当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形故答案为：2或6
15、2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，ABD=20，BDC=70，求PMN的度数【解答】在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，PN，PM分别是CDB与DAB的中位线，PM=AB，PN=DC，PMAB，PNDC，AB=CD，PM=PN，PMN是等腰三角形，PMAB，PNDC，MPD=ABD=20，BPN=BDC=70，MPN=MPD+NPD=20+（18070）=130，PMN=253、如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点求证：BPF=CQF【解答】
16、证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM点E是AD的中点，在ABD中，EMAB，EM=AB，MEF=P，同理可证：FMCD，FM=CDMGH=DFH又AB=CD，EM=FM，MEF=MFE，P=CQF考场直播1、（2016春深圳期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：ADBC，AB=CD，AO=CO，ABC=ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是（填写一组序号即可）【解答】可选条件，ADBC，DAO=OCB，ADO=CBO，在AOD和COB中，AODCOB（AAS），DO=BO，四边形ABCD是平行四边形故答案为：2、（2015深圳）如图
17、，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE，已知：BAC=30，EFAB，垂足为F，连接DF（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形【解答】证明：（1）RtABC中，BAC=30，AB=2BC，又ABE是等边三角形，EFAB，AB=2AFAF=BC，在RtAFE和RtBCA中，RtAFERtBCA（HL），AC=EF；（2）ACD是等边三角形，DAC=60，AC=AD，DAB=DAC+BAC=90又EFAB，EFAD，AC=EF，AC=AD，EF=AD，四边形ADFE是平行四边形套路揭密：（1）平行四边形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上
18、的中线性质、等腰三角形的性质、平行线的判定是常考的知识点； 自我挑战1、如图，在ABCD中，M是BC延长线上的一点，若A=135，则MCD的度数是（）A45 B55C65 D75【解答】四边形ABCD是平行四边形，A=BCD=135，MCD=180DCB=180135=45故选A2、如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，B=150，则平行四边形ABCD的面积为（）A2 B3C D6【解答】选B3、下列结论中一定成立的是（）A如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形B一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C如果四边形ABCD的对角线AC平分BD，
19、那么四边形ABCD是平行四边形D三条边相等的四边形是平行四边形【解答】选A4、如图，在ABC中，AB=BC=10，BD是ABC的平分线，E是AB边的中点则DE的长是（）A6 B5C4 D3【解答】在ABC中，AB=BC=10，BD是ABC的平分线，D是AC的中点E是AB边的中点，DE=BC=10=5故选B5、如图，在ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若ABC的周长为10cm，则DEF的周长是5 cm【解答】如上图所示，D、E分别是AB、BC的中点，DE是ABC的中位线，DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，DEF的周长=（AC+BC+AB）=10=5故答案为56、如图所示
20、，在ABCD中，C=40，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则BEF的度数为50【解答】四边形ABCD是平行四边形，DCAB，C=ABF又C=40，ABF=40EFBF，F=90，BEF=9040=50故答案是：507、如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边ACD、等边ABE，EFAB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形【解答】当=时，四边形ADFE是平行四边形理由：=，CAB=30，ABE为等边三角形，EFAB，EF为BEA的平分线，AEB=60，AE=AB，FEA=30，又BAC=30，FEA=BAC，在ABC和EAF中，ABC
21、EAF（AAS）；BAC=30，DAC=60，DAB=90，即DAAB，EFAB，ADEF，ABCEAF，EF=AC=AD，四边形ADFE是平行四边形故答案为：8、如图，已知ABCD中，DEBC于点E，DHAB于点H，AF平分BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD（1）求证：ADGFDM（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，BAF=DFA，AF平分BAD，DAF=DFA，AD=FD，DEBC，DHAB，ADG=FDM=90，在ADG和FDM中，ADGFDM（ASA）（2）AB=DG+EC
22、证明：延长GD至点N，使DN=CE，连接AN，DEBC，ADBC，ADN=DEC=90，在ADN和DEC中，ADNDEC（SAS），NAD=CDE，AN=DC，NAG=NAD+DAG，NGA=CDE+DFA，NAG=NGA，AN=GN=DG+CE=DC，四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AB=DG+EC9、如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，ABDE，ACB=F（1）求证：ABCDEF；（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论【解答】证明：（1）ABDE，B=DEF，BE=EC=CF，BC=EF，在ABC和DEF中，ABCDEF（2）四边形AECD的形状是平行四边
23、形，证明：ABCDEF，AC=DF，ACB=F，ACDF，四边形ACFD是平行四边形，ADCF，AD=CF，EC=CF，ADEC，AD=CE，四边形AECD是平行四边形10、如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC，CEAE，点F在边AB上，EFBC（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，AECE，AEG=AEC=90，在AEG和AEC中，AGEACE（ASA）GE=ECBD=CD，DE为CGB的中位线，DEABEFBC，四边形BDEF是平行四边形（2）解
24、：BF=（ABAC）理由如下：四边形BDEF是平行四边形，BF=DED、E分别是BC、GC的中点，BF=DE=BGAGEACE，AG=AC，BF=（ABAG）=（ABAC）11、如图RtACB中，已知BAC=30，BC=2，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD，等边ABE EFAB，垂足为F，连接DF（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）求四边形ADFE的周长【解答】（1）证明：RtABC中，BAC=30，AB=2BC，又ABE是等边三角形，EFAB，AB=2AFAF=BC，在RtAFE和RtBCA中，AFEBCA（HL），AC=EF；ACD是等边三角形，DAC=60
25、，AC=AD，DAB=DAC+BAC=90，又EFAB，EFAD，AC=EF，AC=AD，EF=AD，四边形ADFE是平行四边形；（2）解：BAC=30，BC=2，ACB=90，AB=AE=4，AF=BF=AB=2，则EF=AD=2，故四边形ADFE的周长为：2（4+2）=8+412、如图，四边形ABCD中，A=ABC=90，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积【解答】（1）证明：A=ABC=90，BCAD，CBE=DFE，在BEC与FED中，BECFED，BE=F
26、E，又E是边CD的中点，CE=DE，四边形BDFC是平行四边形；（2）BC=BD=3时，由勾股定理得，AB=2，所以，四边形BDFC的面积=32=6；BC=CD=3时，过点C作CGAF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AGAD=31=2，由勾股定理得，CG=，所以，四边形BDFC的面积=3=3；BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或313、如图，点O是ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如果OBC=45，OCB=30，OC=4，求EF的长【解答】证明：AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，DGBC，DG=BC，EFBC，EF=BC，DGEF，DG=EF，四边形DEFG是平行四边形；（2）解：过点O作OMBC于M，RtOCM中，OCM=30，OC=4OM=OC=2，CM=2，RtOBM中，BMO=OMB=45，BM=OM=2，BC=2+2，EF=1+ 17 2017年秋季初三升学课程
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