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    上海1对3秋季课程讲义-数学-九年级-第8讲-相似综合二(动点产生的相似三角形分类讨论)-教案

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    上海1对3秋季课程讲义-数学-九年级-第8讲-相似综合二(动点产生的相似三角形分类讨论)-教案

    1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名: 学科教师:年 级: 辅导科目:授课日期时 间主 题第8讲-相似综合二(相似三角形的分类讨论)学习目标1相似三角形的基本图形;2理解和掌握相似的分类讨论技巧教学内容(一)上次课课后巩固作业处理,建议让学生互批互改,个别错题可以让学生进行分享,针对共性的错题教师讲解为主。(2) 上次预习思考内容讨论分享一、相似三角形的基本图形:1)直角三角形:2)非直角三角形:二、确定一个相等角的相似(证明等角的方法):1) 两全等(相似)三角形的对应角相等;2) 同一三角形中等边对等角;3) 等腰三角形中三线合一平分顶角;4) 两直线平行:同位角、内错角相等;5) 同角的等角、

    2、余角、补角相等;6) 相应三角比相同的两个角相等;7) 同圆或等圆中,等弦(弧)所对的圆心角、圆周角相等;8) 圆内接四边形的外角等于内对角;1、P是RtABC斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截ABC,使截得的三角形与ABC相似,满足这样条件的直线共有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条答案:C2、如图,ABDACD,图中相似三角形的对数是()(A)2(B)3(C)4(D)5答案:C3、如图,已知ABC,P是AB上一点,连结CP,要使ACPABC,只需添加条件_(只要写出一种合适的条件)【答案】BACP,或ACBAPC,或AC2APAB例题1、如图,是一个正方形网络,里面有许多

    3、三角形在下面所列出的各三角形中,与不相似的是( ) (A)BDE (B)BCD (C)FGH (D)BFG.参考答案:B例题2、在中,、分别为、上一点,当取何值时,与相似.参考答案:这个让我们想到A型图和反A型图 (1) (2) 这种题目学生可以想到A型图,容易疏忽反A型图,这个要重点强调例题3: 在正方形中,已知,点在边上,且,如图,点在的延长线上,如果与点、所组成的三角形相似,那么 参考答案:或例题4:点P在线段AB上移动,当AP = _时,ACP与PBD相似答案:例题5、如图,ABCCDB90,ACa,BCb(1)当BD与a、b之间满足怎样的关系时,ABCCDB?(2)过A作BD的垂线,

    4、与DB的延长线交于点E,若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形(自己完成图形)【答案】(1)ABCCDB90,当时,ABCCDB即BD即当BD时,ABCCDBABCCDB,ACBCBDACED又D90,ACD90E90四边形AEDC为矩形例题6、如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EFEC交AB于F,连结FC(ABAE)(1)AEF与EFC是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;(2)设k,是否存在这样的k值,使得AEFBFC,若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,说明理由【答案】如图,是相似【证明】延长FE,与CD的延长线交于点G在RtAEF与RtDEG中,E是AD的

    5、中点,AEEDAEFDEG,AFEDGEAFEDGEE为FG的中点又CEFG,FCGCCFEGAFEEFC又AEF与EFC均为直角三角形,AEFEFC 存在如果BCFAEF,即k时,AEFBCF证明:当时,ECG30ECGECFAEF30BCF906030又AEF和BCF均为直角三角形,AEFBCF 因为EF不平行于BC,BCFAFE不存在第二种相似情况例题7、如图,在RtABC中,C90,BC6 cm,CA8 cm,动点P从点C出发,以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B,则从C点出发多少秒时,可使SBCPSABC?【答案】当点P从点C出发,运动在CA上时,若SBCPSABC,则CPBC

    6、ACBC,CPAC2(cm)故由点P的运动速度为每秒2 cm,它从C点出发1秒时,有SBCPSABC当点P从点C出发运动到AB上时,如图,可过点P作PDBC于D若SBCPSABC,则PDBCACBCPDAC2(cm)RtBACRtBPD,又AB10,故BP,APABBP107.5也就是说,点P从C出发共行15.5 cm,用去7.75秒,此时SBCPSABC答:1秒或7.75秒例题8、已知:如图,点在线段上,联结,过点作的垂线,与相交于点设线段的长为(1)当时,求线段的长;(2)设的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)当时,求线段的长 参考答案:解:(1)过点作,交的延长线于点

    7、,PDCD,AD / BC, = = = 90, / ,即得 又,又由,得 于是,由,得 在和中,得 , 于是,在中,得 (2)在Rt中,由 ,得 , 在中,所求函数解析式为 函数的定义域为 0 x 3 (3)当时,即得 根据题意,当时,有下列两种情况:()当点与点不重合时,可知 由,得即得 由,得即得易证得四边形是矩形, ()当点点与点重合时,可知 在Rt中,由,得由,得即得解得 时,线段的长分别为4或1、如图,D是ABC的边AB上的点,请你添加一个条件,使ACD与ABC相似你添加的条件是 【答案】B=ACD或者ADC=ACB或者2、如图,点P是ABC边AB上一点(ABAC),下列条件不一定

    8、能使ACPABC的是( )A B CACPB D APCACB【答案】B 3、例题2. 在ABC中,B=25,AD是BC边上的高,并且AD2=BDDC,则BCA的度数为 考点:相似三角形的判定与性质。专题:分类讨论。分析:根据已知可得到BDAADC,注意C可以是锐角也可是钝角,故应该分情况进行分析,从而确定BCA度数解答:解:(1)当C为锐角时,由AD2=BDDC,AD是BC边上的高得,BDAADC,CAD=B=25, BCA=65;(2)当C为钝角时,同理可得,BDAADC BCA=25+90=115 4、已知:如图,正方形ABCD的边长是1,P是CD的中点,点Q是线段BC上一动点,当BQ为

    9、何值时,以A,D,P为顶点的三角形与以Q,C,P为顶点的三角形相似 分析:ADP与QCP相似时,D=C=90,分两种情况讨论解:正方形ABCD的边长是1,P是CD的中点, PD=PC= 当DPA=CPQ时,即,解得CQ=1, ;当DPA=PQC时,解得, 5、如图,在正方形ABCD中,E为BC中点,点F在CD边上,且DF = 3 FC,联结AE、AF、EF,图中是否存在与EAF相等的角?若存在,请写出并加以证明;若不存在,请说明理由参考答案:图中存在与相等的角,分别是和 由正方形ABCD得 , E为BC中点,DF = 3 FC, , 在和中,且 ,且 在中 , , , 又, 同理6、如图,在中

    10、,AC=3,点D是BC的中点,点E是AB边上的动点,交射线AC于点F(1)当时,求的长;(2)联结,当和相似时,求的长(备用图)参考答案:(1)过点作,垂足为 易得设, 即 化简,得 解得 (负值舍去) (3)过点作,垂足为 易得 设, 当和相似时,有两种情况: 即 解得 即 解得 综合、,当和相似时,的长为或 7、在中,是边上一动点(不与端点、重合),过动点的直线与射线相交于点,与射线相交于点(1)设,点在边上,与相似,求此时的长度;(2)如果点在边上,以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形相似,设,求与之间的函数关系式并写出函数的定义域;(3)设,以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三

    11、角形相似,求的值 参考答案:解:(1)由勾股定理得: 过动点的直线l与射线BC相交于点F,即DE不平行于BC, 只可能DEAB,即ADEABC(如图1) 由,解得, .(2)如图2,过点的直线l交线段于点,交的延长线于点, , 如果与相似,那么只能. 又,. . (04)(3) 如图2,当直线l交线段于点,交的延长线于点时,时,, 由得 如图3,当直线l交线段的延长线于点、交线段BC于点F时,CD1,AD3由得,进而,由,得由,得CFBF由得: 综上所述,的值等于或8/如图,在梯形中,=,交直线于点. (1)当点与恰好重合时,求的长;(2)当点在边上时(不与、重合),设,试求关于的函数关系式,

    12、并写出定义域;ABCDE231ABCDE231(3)问:是否可能使、与都相似?若能,请求出此时的长;若不能,请说明理由.在中,是边上一动点(不与端点、重合),过动点的直线与射线相交于点,与射线相交于点(1)设,点在边上,与相似,求此时的长度;(2)如果点在边上,以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形相似,设,求与之间的函数关系式并写出函数的定义域;(3)设,以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形相似,求的值 1、如图,在34的方格纸上,每个方格的边长为1个单位,的顶点都在方格的格点位置,若点在格点位置上(与点不重合),且使与相似,则符合条件的点共有 个答案:略2、如图,在中,是边的中点

    13、,过点O的直线将分割成两个部分,若其中的一个部分与相似,则满足条件的直线共有_条.答案:33、如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t秒表示移动的时间(0t6),那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与PBC相似【提示】使两种情况讨论即可得出以点为顶点的三角形与相似【答案】4、(虹口区二模) 如图,在ABC中,C=90,AC=6,D是BC边的中点,E为AB边上的一个动点,作DEF=90,EF交射线BC于点F设BE=x,BED的面积为y(1)求y关

    14、于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似,求BED的面积【答案】(1)(2)由题意知,故可以分两种情况当为锐角时,由已知以为顶点的三角形与相似,又知,所以根据等角的余角相等,可证得由(1)知:,当BEF为钝角时,同理可求得,易得5、如图,的顶点、在二次函数的图像上,又点、分别在轴和轴上,ABO(1)求此二次函数的解析式;(4分)(2)过点作交上述函数图像于点,点在上述函数图像上,当与相似时,求点的坐标(8分)解:(1) 点在二次函数的图像上, (1分) 在中, , (1分) 点B在二次函数的图像上 (1分) (1分) (2)交上述函数图像于点

    15、, 设 (1分) 解得, (1分) , 设抛物线与轴的另一交点为可得, (3,0) (1分) , (1分)易得, (2分)或 6、(徐汇)(本题满分14分)如图11,在中,是斜边上的中线,点是延长线上的一动点,过点作,交延长线于点,设(1)求关于的函数关系式及定义域;(4分)(2)联结,当平分时,求的长;(4分)(3)过点作交于,当和相似时,求的值(6分)解:(1)在中, (1分)是斜边上的中线, (1分),定义域为 (2分)解:(2)过点作,垂足为平分,垂足为 (1分) (1分) (1分) (1分)解:(2) (1分)当和相似时,可得和也相似 (1分)分两种情况:当时,在中,解得; (2分)

    16、当时,在中, ,解得 (2分)综合,或107、(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分) 如图,已知梯形,为射线上一动点,过点作交射线于点联结,设,(1)求的长;(2)当点在线段上时,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)联结,若与相似,试求的长解:(1)过点作于点, , (1分)在中, (1分) (1分) (1分)解:(2), 与同高, (2分)由可得: (1分), (2分,1分)解:(3),与相似, ,可证四边形是平行四边形 (2分), 可求得: 8、如图,在中,是斜边上的中线,AC=6,点是延长线上的一动点,过点作,交延长线于点,设(

    17、1)求关于的函数关系式及定义域;(2)联结,当平分时,求的长;(3)过点作交于,当和相似时,求的值参考答案:解:(1)在中,AC=6, BC=8 是斜边上的中线, ,定义域为 (2) 过点作,垂足为 平分,垂足为 (3) 当和相似时,可得和也相似 分两种情况:当时,在中,解得; 当时,在中, ,解得 综合,或10(2013宝山区一模)已知AOB=90,OM是AOB的平分线,将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上,OP=m(m为常数且m0),移动直角三角板,两边分别交射线OA,OB与点C,D(1)如图,当点C、D都不与点O重合时,求证:PC=PD;(2)联结CD,交OM于E,设CD=x,PE=y,求y与x之间的函数关系式;(3)如图,若三角板的一条直角边与射线OB交于点D,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,F,且PDF与OCD相似,求OD的长 22 / 22


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