1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题第十五讲 四边形中的证明与计算学习目标教学内容1菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是 和 2如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（ ）A、 12 cm2 B、 18 cm2 C、 24 cm2 D、30 cm23已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A、当ABBC时，它是菱形； B、当ACBD时，它是菱形；C、当ACBD时，它是正方形； D、当ABC900时，它是矩形.4下列说法：一组对边平行，另一组对边相等的四边
2、形是平行四边形或等腰梯形。一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。两组对角分别相等的四边形是平行四边形。顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、5.任意五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别是MN、PQ的中点，求证：KLAE,且AE=4KL.参考答案：1 6，9； 2 C； 3C； 4 D【例题精讲】例1：如图在矩形ABCD中，延长CB到E，使得CECA，F是AE中点，联结BF、DF（1）求证：BFDF； （2）如果AB3，BC4，求四边形BFDC的面积参考答案：联结BD交AC于O，联结FO， 四边
3、形ABCD是矩形，ABC90，ACBD2AO2CO，AOCO， F为AE中点， FOCE，ACCE，FOBD，即FOOBOD， OFDODF，OFBOBF，OFDODFOFBOBF180； OFDOFB90，即DFB90， BFDF；（2）解：ABC90，AB3，BC4，由勾股定理得：BDAC5CE，BE541， 在RtABE中，由勾股定理得：AE，F为AE中点，BFAE，在RtDFB中，例2.已知：如图，在ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H如果ADBD，求证：四边形EGFH是菱形参考答案：联结EF，交BD于点O 四边形ABCD是平行四边形，
4、AB/CD，ABCD点E、F分别是AB、CD的中点， AECF四边形AECF为平行四边形 AFCAECDFHGEBAB/CD， FDHEBG又DFBE； DFHBEG， DHBGAB/CD，ABCD，点E、F分别是AB、CD的中点，DFOBEO FOEO，DOBODHGB，OHOG四边形EGFH是平行四边形点E、O分别是AB、BD的中点， OE/ADADBD，EFGH HEGF是菱形【试一试】1.如图，ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF/BC交线段DE的延长ACCBFDEG线相交于F点，取AF的中点G，如果BC = 2 AB求证：（1）四边形ABDF是菱形；（2）AC =
5、 2DG解题思路：第一问由中位线的性质DEAB，等到四边形ABDF是平行四边形，又由已知可以求出AB=BD，即可得到菱形。（1）点D、E分别是边BC、AC的中点 DE是ABC的中位线（三角形中位线的定义） DE/AB，DE=AB （三角形中位线性质） AF/BC 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义） BC = 2 AB，又BC = 2 BD AB=BD 四边形ABDF是菱形（2）四边形ABDF是菱形 AF=AB=DF DE=AB EF= AF G是AF的中点 GF=AF GF=EF 在FGD和DAE中 ， FGDDAE GD=AE AC=2EC=2AE AC=2DG 2.ABCDGHE
6、FM如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点 求证：（1）BM/GH； （2）BMCF答案：证明：（1）在正方形ABCD中，AD/BC，A=HBE，ADE=H，AE=BE，ADEBHE BH=AD=BCCM=GM，BM/GH （2）在正方形ABCD中，AB=AD=CD，A=ADC=90，又DF=AD，AE=AB，AE=DFAEDDFC ADE=DCF ADE+GDC=90，DCF+GDC=90DGC=90BM/GH，BMG=DGC=90，即BMCF例题3：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为
7、线段BC延长线上的一点，且CEBC过点E作EFCA，交CD于点F，联结OF（1）求证：OFBC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明参考答案：（1）将线段BC的中点记为G，联结OG，四边形ABCD是平行四边形， OBODOGCD； OGCFCEEFCA， OCGFECCGBC，CEBC， CGCE在OGC和FCE中， OGCFCE，CGCE，OCGFEC，OGCFCE（A.S.A）； OGFC又OGCF， 四边形OGCF是平行四边形OFGC （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形OFCE，EFCO，四边形OCEF是平行四边形EFCO又梯形
8、OBEF是等腰梯形，BOEF OBOC四边形ABCD是平行四边形，AC2OC，BD2OB ACBD平行四边形ABCD是矩形例题4：如图，在正方形ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点B与点C除外），联结DP，分别过点C、A作直线DP的垂线，垂足为点E、F（1）当点P在BC的延长线上时，那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）当点P在边BC上时，正方形的边长为2设CEx，AFy求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当x1时，求EF的长参考答案：（1）AF CE EF在正方形ABCD中，CD AD，ADC 90， 即得 ADF EDC 9
9、0 AFEF，CEEF， AFD DEC 90 ADF DAF 90 DAF EDC又由AD DC，AFD DEC，得ADFDCEDF CE，AF DEAF CE EF （2）由（1）的证明，可知ADFDCEDF CE，AF DE由CE x，AF y，得DE y于是，在RtCDE中，CD 2，利用勾股定理，得，即得 所求函数解析式为，函数定义域为 （3）当x 1时，得即得 又DF CE 1，EF DE DF，【巩固练习】1.如图，在RtABC中，AC4，点O是BC的中点，过点O的直线l从与BC重合的位置开始绕点O作顺时针旋转，交边AB于点D，过点C作CE/AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为
10、。（1）当_度时，四边形EDAC是等腰梯形，此时BD的长为_。 当_度时，四边形EDAC是直角梯形，此时BD的长为_。（2）当90时，判断四边形EDAC是否为菱形，如果是，请证明；如果不是，请说明理由。参考答案：（1）30,2 60,3 （2）是，证明略。如图,在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC内，CEAE,点F在边AB上，EFBC.（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论.()BFACDE 答案：（1）证明：延长CE交AB于点G，AECE，AEG=AEC=90， 又GAE=CAE，AE=AE，A
11、GEACE GE=ECBD=CD，DE/AB EF/BC，四边形BDEF是平行四边形 （2）解：四边形BDEF是平行四边形，BF=DE D、E分别是BC、GC的中点，BF=DE=BG AGEACE，AG=AC， BF=（ABAG）=（ABAC）1如图，ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF/BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC 2 AB 求证：（1）四边形ABDF是菱形； （2）AC 2DG2已知，如图，在ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，BC2DC，作DNCM，交AC边于点N（1）求证：四边形MCDN是平行四边形；（2）当ACB为何值
12、时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想3如图，在正方形中，是边上一点，交的延长线于点，联结，分别交、于点（1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形4如图，在梯形中，平分，平分线交于，联结（1）求证：四边形是菱形；（2）当60，时，证明：梯形是等腰梯形5.已知：如图，在梯形中，点、在边上， ，且四边形是平行四边形（1）试判断线段与的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；ABDCEF（第23题图）（2）现有三个论断：；+=90；=2请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形是菱形参考答案：1（1）点D、E分别是边BC、AC的中点； DE是ABC的中位线 DE/AB，DEAB ；
13、 AF/BC 四边形ABCD是平行四边形； BC 2 AB，又BC 2 BD ABBD； 四边形ABDF是菱形（2）四边形ABDF是菱形， AFABDF DEAB， EFAF G是AF的中点，GFAF GFEF， FGDDAE ，GDAE， AC2EC2AE AC2DG 2证明：（1）取边BC的中点E，联结MEBMAM，BEEC，MEAC MECNCDBC2DC， CDCE DNCM， MCEDMECNCD CMDN 又CMDN，四边形MCDN是平行四边形（2）解：当ACB90时，四边形BDNM是等腰梯形证明：MNBD，BM与DN不平行，四边形BDNM是梯形ACB90，BMAM，CMBMAMC
14、MDN，BMDN 四边形BDNM是等腰梯形3（1）四边形ABCD是正方形，/，/ （2） ， DAE=BAF BFP=EAD/ ADF=CFD ADF=DAG GA=DGAGP=DGE 又/ 四边形APED是平行四边形ADE=900， 四边形APED矩形4（1），又， 同理有 又四边形为平行四边形 又 为菱形（2）， 为等边三角形 又， 四边形为平行四边形 梯形是等腰梯形5.（1）线段与的长度之间的数量为： （1分）证明：/ ，/，四边形是平行四边形 （2分）同理可证，四边形是平行四边形即得 （1分）又 四边形是平行四边形， （1分） （1分）解：（2）选择论断作为条件 （1分）证明：， （1
15、分）， 即得 （2分）又， （1分） 四边形是平行四边形， 四边形是菱形 1如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB，则AE的长为（ ） A、 B、6 C、 3 D、42已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BCCD，BECD，垂足为点E，点F在BD上，联结AF、EF（1）求证：ADED； （2）如果AF / CD，求证：四边形ADEF是菱形3 如图，在中，点、分别在边、上，联结、，若，且（1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是菱形4已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BAC的平分线AF交BD于点E
16、，交BC于点F，求证：OECF 5.RtABC中，ACB90，CD是高，AE是角平分线，CD、AE交于点G，EFAB于点F，试问：四边形CGFE是什么四边形？ 6.如图所示，正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PEBC于E，PFCD于F。请猜想EF与AP的数量关系、位置关系，并说明理由。参考答案：1B； 2略； 3略； 4提示：取AF的中点G，联结OG，证明OEOG即可5.菱形，因为AE是角平分线，在直角三角形ACE和直角三角形ADG中根据等角的余角相等得到角CEA=角AGD从而得到CE=CG,根据角平分线得到CE=EF，所以可以得四边形CGFE为菱形 6.提示：联结PC，根据全等得到PC=AP，由矩形的全等可以得到PC=EF，所以EF=AP.1已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_；2已知一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，如果点C在y轴上，存在点D使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则D的坐标为 13 / 13
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