1、2 温州二外高一数学组 必修 4 2020 年（复习）自主生长单 主备：林小平 审核：梅映 温州二外高一数学周练二温州二外高一数学周练二 一、选择题(每题 5 分共 50 分） 1在ABC中，若 13,3, 120ABBCC，则AC=（ ） A1 B2 C3 D4 2已知ABC中4,4 3,30abA，则B等于（ ） A60或 120 B30 C60 D30或 150 3ABC 中, 如果 cosAcosBcosC abc , 那么ABC 是（ ） A直角三角形 B等边三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 4 在ABC中， 内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 若 22 3,
2、sin2 3sinabbcCB， 则角A为（ ） A30 B60 C120 D150 5在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，下列结论不正确的是（ ） A 222 2cosabcbcA BsinsinaBbA Ccos cosabCcB DcoscossinCaBbA 6在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a=1，B=45 ，SABC=2，则ABC 的外接圆的直径为 （ ） A5 B4 3 C5 2 D6 2 7ABC的内角AB C、 、的对边分别是abc、 、，若2BA，1a ，3b ，则c ( ) A2 3 B2 C 2 D1 8如图，某
3、建筑物的高度300BCm，一架无人机Q（无人机的大小忽略不计）上的仪 器观测到建筑物顶部C的仰角为15，地面某处A的俯角为45，且60BAC，则此无 人机距离地面的高度PQ为（ ） 2 温州二外高一数学组 必修 4 2020 年（复习）自主生长单 主备：林小平 审核：梅映 A100m B200m C300m D400m 9如图，在四边形ABCD中，120BC，4AB ，2BCCD，则该四边形 的面积等于（ ） A3 B5 3 C6 3 D7 3 10在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ） A10,45 ,60bAC B6,5,60acB C 7,5,60abA D 14,16
4、,45abA 二、填空题（每题 4 分共 28 分） 11已知ABC的内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c,若 2abc，35cb，则=A _ 12在ABC中,60A,1b ,3 ABC S,则c _,则 sinsinsin a b c ABC _. 13锐角三角形ABC中，若2CB ，则的范围是 ； 14 在锐角ABC中，D是线段BC的中点， 若2,2,30ADBDBAD， 则角B _，AC _ 15已知 1 tan 7 ， 1 tan 3 ，则tan(2 )_. 2 温州二外高一数学组 必修 4 2020 年（复习）自主生长单 主备：林小平 审核：梅映 16若 1 sin 63 ，则
5、 2 cos2 3 _ 17如图，在四边形ABCD中，90BAC，4BC ，1CD ，2ABAD，AC是 BCD的角平分线，则BD _ 三、解答题（每题 12 分共 72 分） 18已知a，b，c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，3casinCccosA . ()求A ； ()若a=2，ABC的面积为3，求b，c. 19已知函数 2 31 ( )sin2cos 22 f xxxxR， （1）求函数 ( )f x的最小正周期和单调递减区间； （2）设ABC的内角A B C，的对边分别为a b c，且 3c ，( )0f C ，若 sin2sinBA，求a b，的值 2 温州二外高一数学组 必
6、修 4 2020 年（复习）自主生长单 主备：林小平 审核：梅映 20设函数 22 sin 2sincos 6 f xxxx . （1）求 f x的单调递增区间； （2）若角A满足 1fA ，3a ，ABC的面积为 3 2 ，求bc的值. 21在ABC中，45 ,10BAC ，且 2 5 cos 5 C . （1）求BC边长； （2）求AB边上中线CD的长. 22在ABC中，角 , ,A B C所对边长分别为, ,a b c，3coscaB 3 sinbA. （1）求角A； （2）若 31 sin cos 4 BC ，求角C. 2 温州二外高一数学组 必修 4 2020 年（复习）自主生长单
7、主备：林小平 审核：梅映 23已知ABC的内角分别为 , ,A B C，其对应边分别是, ,a b c，且满足 coscos2 cosbCcBaB （）求角B的大小； （）若 3b ，求2ac的最大值. 答案第 1 页，总 13 页 参考答案参考答案 1A 【解析】 余弦定理 222 2?cosABBCACBC ACC 将各值代入 得 2 340ACAC 解得1AC 或4AC (舍去)选 A. 2A 【解析】 试题分析：由正弦定理 sinsin ab AB 得 44 33 sin sin30sin2 B B 60 ,120B 考点：正弦定理 3B 【解析】 试题分析：由题意得，由正弦定理得，所
8、以 ， ,所以，同理可得 ，所以三角形是等边三角形. 考点：正弦定理在三角形中的应用. 4A 【解析】 【详解】 试题分析： 因为sin2 3sin2 3CBcb ， 那么结合 2222 36abbcab ， 所以 cosA= 222 2 cba cb = 3 2 ， 所以 A= 0 30，故答案为 A 考点：正弦定理与余弦定理 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2 页，总 13 页 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题. 5D 【解析】 【分析】 对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】 选项 A,是余弦定理，所以该选项正确； 选项 B,实际
9、上是正弦定理 sinsin ab AB 的变形，所以该选项是正确的； 选项 C,由于sinsin(),sinsincoscossin ,coscosABCABCBCabCcB , 所以该选项正确； 选项 D,coscos2 (sincossincos ) 2 sin()2 sinaBbARABBARABRC,不一定等于 sinC,所以该选项是错误的. 故选 D 【点睛】 本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化， 意在考查学生对该知识的理解掌握水平和 分析推理能力. 6C 【解析】 分析：由三角形面积公式可得c，再由余弦定理可得b，最后结合正弦定理即可得结果. 详解：根据三角形面积公式得，
10、1 1sin452 2 c ，得 4 2c ，则 222 2cos25bacacB，即5b ， 5 25 2 2 2 R ，故正确答案为 C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半 径的应用等有关方面的知识与技能， 属于中低档题型， 也是常考考点.此类题的题型一般有： 1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的 对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一. 7B 答案第 3 页，总 13 页 【解析】 1333 , sinsinsin22sincosABAAA 3 cos 2 A , 所以 2 22 3
11、1323 2 cc ，整理得 2 320,cc求得1c 或2.c 若1c ，则三角形为等腰三角形， 00 30 ,60ACB不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想. 当求出 3 cos 2 A 后，要及时判断出 00 30 ,60AB，便于三角形的初步定型，也为排除 1c 提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率. 8B 【解析】 【分析】 计算出AC和ACQ，利用正弦定理求出AQ，由此可得出sin45PQAQ，即可计算 出所求结果. 【详解】 在Rt ABC中，60BAC，300BC ， 300 200 3 sin60
12、3 2 BC AC . 在ACQ中，451560AQC，180456075QAC， 18045ACQAQCQAC. 由正弦定理，得 sin45sin60 AQAC ，得 2 200 3 sin45 2 =200 2 sin603 2 AC AQ . 在Rt APQ中， 2 sin45200 2200 2 PQAQ， 故此无人机距离地面的高度为200m， 故选：B. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 4 页，总 13 页 【点睛】 本题考查高度的测量问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 9B 【解析】 【分析】 连接BD，计算出30CBD，可得出90A
13、BD，利用余弦定理求出BD，然后利用 三角形的面积公式计算出BCD和ABD的面积，相加即可得出四边形ABCD的面积. 【详解】 连接BD， 在B C D中， 由于2BCCD，120C， 180120 30 2 CBD ， 90ABD . 在BCD中，由余弦定理知， 22222 2cos222 2 2cos12012BDBCCDBC CDBCD ， 2 3BD ， 11 4 2 32 2 sin1205 3 22 ABDBCDABCD SSS 四边形 . 故选：B. 【点睛】 本题考查四边形面积的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题. 10D 【解析】 【详解】 对于 A, 75B
14、 ，三角形只有一解； 对于 B， 22 2cos31bacacB ，三角形只有一解； 答案第 5 页，总 13 页 对于 C， sin5 sin1 14 bA B a ，又 ab,角 B 为小于60的锐角，即三角形只有一解； 对于 D， sin4 2 sin1 7 bA B a ，又 ab,角 B为锐角或钝角，即三角形有两解，故选 D 11 2 3 （或 120 ） 【解析】 【分析】 根据余弦定理直接求解得cos A，再根据特殊角三角函数值得结果. 【详解】 因为 75 , 33 ab cb， 222 222 57 ()() 1 33 cos 5 22 2() 3 bbb bca A bc
15、bb ， 2 (0,) 3 AA 故答案为： 2 3 【点睛】 本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 124 23 9 3 【解析】 【分析】 利用面积公式得到4c ，利用余弦定理得到13a ，再利用正弦定理得到答案. 【详解】 13 sin3,4 24 ABC SbcAcc ， 222 2cos16 1 413,13abcbcAa ， 2 39 sin3 a A . 2 39 sinsinsinsin3 abca ABCA . 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 6 页，总 13 页 故答案为：4； 2 39 3 . 【点睛】 本题考查了正弦定理，余弦
16、定理，面积公式，意在考查学生的计算能力. 13( 【解析】 试题分析：因为2CB ，ABC为锐角三角形， 所以2,3, 2264 BBCBB 根据正弦定理， sin2sincos 2cos , sinsin ABCBB B ACBB 根据余弦函数的图象，可知 22cos3.B 考点：本小题主要考查正弦定理、二倍角公式以及三角函数图象的性质和应用，考查学生的 转化能力和数 形结合思想的应用. 点评：解决此题时，容易漏掉 2 BC ，从而产生错误结论，所以解题时一定要严谨. 1445 823 【解析】 【分析】 利用正弦定理求得sinB，进而求得B的大小，利用余弦定理求得AC. 【详解】 在三角形
17、ABD中， 由正弦定理得 sinsin ADBD BBAD ， 解得 2 sin 2 B ， 由于三角形ABC为 锐角三角形，故45B .而30 ,45 ,75BADBADC ，在三角形ADC中，由 余弦定理得 22 2cos7582 3ACADDCAD DC . 故答案为（1）45； （2） 82 3 . 答案第 7 页，总 13 页 【点睛】 本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题. 151 【解析】 【分析】 根据二倍角的正切公式求得tan2，根据两角和差的正切公式可求得结果. 【详解】 1 tan 3 2 2 2 tan3 3 tan 2 1 1ta
18、n4 1 9 13 tantan2 74 tan21 13 1tantan2 1 74 本题正确结果：1 【点睛】 本题考查利用两角和差正切公式、二倍角的正切公式求值的问题，考查基础计算能力. 16 7 9 【解析】 【分析】 利用角 632 的关系，建立函数值的关系求解 【详解】 已知 1 sin 63 ， 且 632 ， 则 1 c o ss i n 363 ， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 8 页，总 13 页 故 2 27 cos22cos1 339 【点睛】 给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值 17 21 【解析】
19、【分析】 设出ADx，根据ACBACD，利用余弦定理建立等式解出= 3AD，再求出 ACBACD的值，在BCD中利用余弦定理，解出BD的值 【详解】 设ADx，则2ABx, 2 164ACx, 又AC是BCD的角平分线，即ACBACD, 222 coscos 2 ACACCDAD ACBACD BCACCD 3x , 即3AD ，2AC ，=60oACBACD，=120oBCD 22 412 4 1cos12021 o BD 故填 21 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题 18(1) 3 A (2)bc=2 【解析】 【详解】 ()由3 sincoscaCcA 及正弦定理得 3
20、sin sincos sinsinACACC 由于sin0C ，所以 1 sin 62 A ， 答案第 9 页，总 13 页 又0A，故 3 A . ()ABC的面积S= 1 sin 2 bcA= 3,故bc=4， 而 222 2cosabcbcA 故 22 cb =8，解得bc=2 19 （1）， ;（2）1a ，2b 【解析】 试题分析： （1）利用两角和与二倍角公式对函数解析式化简成为 的形式，利用三角函数的图象和性质求得最小正周期 ，由就可求得函数的单调递减区间； （2）由（1）及已知条件可求出角 C 的大小，再由sin2sinBA由正弦定理可得2ba， 又因为3c ，所以由余弦定理可
21、再得到一个关于a b，的方程，从而通过解方程组就可求 出a b，的值 试题解析： （1） 31 cos21 ( )sin2sin(2) 1 2226 x f xxx ， 3 分 则最小正周期是 2 2 T ； 5 分； 由，得 ( )f x的单调递减区间 ， 8 分 （2）( )sin(2) 10 6 f CC ，则sin(2) 10 6 C ， 9 分 0C，022C，所以 11 2 666 C ， 所以2 62 C ， 3 C ， 11 分 因为sin2sinBA，所以由正弦定理得2ba， 12 分 由余弦定理得 222 2cos 3 cabab ，即 222 3cabab 11 分，由解
22、得： 1a ，2b 14 分 考点：1.三角恒等变形公式;2.三角函数的图象和性质;3.正弦定理和余弦定理. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 10 页，总 13 页 20(1) , 63 kk ，kZ；(2) 3bc. 【解析】 【分析】 （1）将函数化成 2 6 f xsinx 的形式，再根据正弦函数的单调增区间求解 （2） 结合条件及 （1） 得到 3 A ， 由面积可得2bc ， 然后根据余弦定理经变形后可得3bc 【详解】 （1）由题意得 31 sin2cos2cos2 22 f xxxx 31 sin2cos2sin 2 226 xxx ， 令222 2
23、62 kxk ，kZ， 得 63 kxk ，kZ. 所以函数 f x的单调递增区间为, 63 kk ，kZ （2）由条件及（1）得 sin 2 1 6 f AA ， 0 2 A ， 5 2 666 A ， 2 62 A ， 解得 3 A 又 133 sin 242 SbcAbc ， 2bc 由余弦定理得 222 2cosAabcbc， 答案第 11 页，总 13 页 22 22 32cos36 3 bcbcbcbcbc ， 2 9bc 3bc 【点睛】 在应用余弦定理解题时，要注意公式的常见变形，即 222 ()2ababab，这一变形往 往与三角形的面积公式结合在一起，体现了知识间的联系和综
24、合 21 （1）3 2； （2）13. 【解析】 【分析】 （1）利用同角的三角函数关系，可以求出sinC的值，利用三角形内角和定理，二角和的 正弦公式可以求出sin A，最后利用正弦定理求出BC长； （2）利用余弦定理可以求出AB的长，进而可以求出BD的长，然后在BCD中，再利用 余弦定理求出AB边上中线CD的长. 【详解】 （1） 2 5 (0, )sin1 cos 5 CCC ， 3 10 sinsin()sincoscossin 10 ABCBCBC ，由正弦定理可知中： sin 3 2; sinsinsin BCACACA BC ABB （2）由余弦定理可知： 22 2 5 2cos
25、10 182103 22 5 ABACBCAC BCC ，D是AB 的中点，故1BD ，在CBD中，由余弦定理可知： 22 2 2cos18 1 2 3 2 113. 2 CDBCBDBC BDB 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数 学运算能力. 答案第 12 页，总 13 页 22 （1） 3 A ； （2） 5 12 【解析】 【分析】 （）由3coscaB 3 sinbA，利用正弦定理可得 3 sinsincos3sinsinCABBA，根据两角和的正弦公式，结合诱导公式可得 3cos sin3sinsin .ABBA 得tan3A
26、，从而可得结果； （）结合（）可得 23 1 sincos 34 CC ， 2 313 1 cossin cos 224 CCC ， 利用二倍角的正弦公式 与二倍角的余弦公式，利用辅助角公式可得 1 sin 2 32 C ，结合三角形内角的取值范 围可得结果. 【详解】 （）由3cos3 sin .caBbA 得 3 sinsincos3sinsin .CABBA， 得: 3 sinsincos3sinsin .ABABBA, 得:3cos sin 3sinsin .ABBA 得tan3A， 所以， 3 A （） 223 1 ,sincos 334 BCCC ， 2 313 1 cossin
27、cos 224 CCC 313 1 1 cos2sin2 444 CC ， 即 311 cos2sin2 444 CC 1 sin 2, 32 C 575 2,2 3333612 CCC 又 【点睛】 以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角 形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问 题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特 答案第 13 页，总 13 页 别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 23(1) 3 B . (2)2 7. 【解析】 分析：（1） 先根据正弦定理
28、进行边化角， 然后结合三角函数正弦的和差公式逆运用即可；（2） 先由正弦定理得出2sinaA，sincC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可. 详解： （） coscos 2 cosbCcBaB， 由正弦定理得：sin cossin cos2sin cosBCCBAB， 即sinsin2sin cosBCAAB，于是 1 cos 2 B ， 从而 3 B ； （）由正弦定理得： 3 2 sinsinsin3 2 acb ACB ，2sinaA ，sincC， 2 22sin4sin2sin4sin2 2sin3cos 3 acACAAAA 2 7sin A， （其中 3 tan,0,) 22 ， 所以当 2 A 时，2ac的最大值是2 7. 点睛：考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用转化为解题关键，属于 中档题.
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