1、2019-2020学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期中数学试卷一、单项选这题：本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（4分）命题“xR，exx”的否定是（）AxR，exxBxR，exxCxR，exxDxR，exx2（4分）设xR，则“2x2+x10”是“x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（4分）已知方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A（）B（1，+）C（1，2）D（）4（4分）已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A2B4C6D85（4分）
2、已知椭圆右焦点为F（3，0）过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的离心率是（）ABCD6（4分）已知aR，则“1”是|a|1的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）已知数列an满足a11，an0，那么an32成立的n的最大值为（）A4B5C6D78（4分）已知正项等比数列满足a5a4+2a3，若存在两项am，an使得，则的最小值为（）A1B2C3D49（4分）已知a0，则a+的最小值为（）A2B4CD10（4分）已知数列an满足a160，an+1an2n，则的最小值为（）AB2CD二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分在每小题给出的
3、四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分11（4分）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，并且满足条件a11，a2016a20171，0，下面结论中错误的是（）AS2016S2017Ba2016a201810CT2017是数列Tn中的最大值D数列Tn无最小值12（4分）若x2x20是2xa的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）A1B2C3D413（4分）已知数列an为等差数列，首项为1，公差为2，数列bn为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列cn的前n项和，则当Tn2019时，n的取值可以是下面选项中的（）A8B9C1
4、0D11三、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分14（4分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴长在y轴上，离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12，则椭圆的方程是 15（4分）已知数列an的的前n项和为Sn，且，则数列an的通项公式an 16（4分）已知斜率为k的直线L与椭圆C：1相交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，1），则k的值是 17（4分）已知a，bR+，且a+b+3ab，则ab的最小值是 ，a+b的最小值是 四、解答题：本题共6个小题，共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（12分）设命题p：实数x满足x23ax+2a20，其中a0，命题q：实数x满
5、足（1）若a3且p，q均为为真命题时，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn+33an（1）求数列an的通项公式；（2）若bnanlog3an+2，求数列bn的前n项和Tn20（14分）解关于x的不等式ax2（3a+2）x+60（1）若a2，求不等式的解集；（2）若aR，求不等式的解集21（14分）已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B（）求椭圆M的方程；（）若k1，求|AB|的最大值；22（14分）已知数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1+a2，a3
6、2b36（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：23（14分）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点试探究以线段AB为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由2019-2020学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选这题：本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（4分）命题“xR，exx”的否定是（）AxR，exxBxR，exxCxR，exxDxR，exx【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题
7、写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，ex”的否定是：xR，exx故选：D【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2（4分）设xR，则“2x2+x10”是“x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由2x2+x10得（x+1）（2x1）0，得x或x1，则“2x2+x10”是“x”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键比较基础3（4分）已知方程1表示焦点在
8、x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A（）B（1，+）C（1，2）D（）【分析】根据焦点在x轴上的椭圆标准方程，列出关于k的不等式组，即可求出k的取值范围【解答】解：方程1表示焦点在x轴上的椭圆，所以2k2k10，解得k1，实数k的取值范围是（，1）故选：D【点评】本题考查了椭圆的定义与标准方程应用问题，是基础题4（4分）已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A2B4C6D8【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y ）（）的最小值992或4（舍去），所以正实数a的最小值为
9、4，故选：B【点评】求使不等式恒成立的参数范围，常转化成求函数最值5（4分）已知椭圆右焦点为F（3，0）过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的离心率是（）ABCD【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）可得：+1，+1相减可得：+0又x1+x22，y1+y21，代入化简利用e，即可得出【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）可得：+1，+1相减可得：+0又x1+x22，y1+y21，0，e故选：C【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（4分）已知aR，则“1”是|a|1的（）A充分不必要条件B必要
10、不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】aR，由|a|1a1，或a1可得“1”，反之不成立即可判断出关系【解答】解：aR，由|a|1a1，或a1“1”，反之不成立例如取a“1”是|a|1的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）已知数列an满足a11，an0，那么an32成立的n的最大值为（）A4B5C6D7【分析】直接利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出结果【解答】解：数列an满足a11，an0，所以：数列是以1为首项1为公差的等差数列所以（首项符合通项），故：，所以：，所以：an32，整理得n2
11、32，所以：n的最大值为5，故选：B【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8（4分）已知正项等比数列满足a5a4+2a3，若存在两项am，an使得，则的最小值为（）A1B2C3D4【分析】由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q2，再由，求出m+n8，由此利用均值定理能求出结果【解答】解：正项等比数列an满足：a5a4+2a3，a1q4a1q3+2a1q2，整理，得q2q20，又q0，解得，q2，存在两项am，an使得，a12qm+n264a12，整理，得2m+n264，即m+n8，（m+n）（）（10+）（10+2）2，则的最小
12、值为2当且仅当取等号，但此时m，nN*又m+n8，所以只有当m2，n6时，取得最小值是2故选：B【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用9（4分）已知a0，则a+的最小值为（）A2B4CD【分析】由a+a+（a+），再利用基本不等式可得，【解答】解：a0，则a+a+（a+）2，当且仅当a时取等号，a+的最小值为，故选：D【点评】本题考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键基本不等式使用的条件：一正、二定、三相等10（4分）已知数列an满足a160，an+1an2n，则的最小值为（）AB2CD【分析】由累加法求出an60+n
13、2n，所以+n1，设f（n）+n1，由此能导出n8时f（n）有最小值借此能得到的最小值【解答】解：an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a121+2+（n1）+6060+n2n所以+n1设f（n）+n1，令f（n）+10，则f（n）在（，+）上是单调递增，在（0，）上是递减的，因为nN+，所以当n8时f（n）有最小值又因为14.5，故选：A【点评】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选
14、错的得0分11（4分）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，并且满足条件a11，a2016a20171，0，下面结论中错误的是（）AS2016S2017Ba2016a201810CT2017是数列Tn中的最大值D数列Tn无最小值【分析】由题意可以推测出公比q，然后去判断【解答】解：a11，a2016a20171q0an0S2017S2016+a2017S2016，则A错a20171，a201610q1，则B错T2016最大，Tn随着n的增大，值越来越小，则C错，D对综上所述，ABC错故选：ABC【点评】本题考查了等比数列，通过题意和性质去推测，再去判断12（4分）若x2
15、x20是2xa的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）A1B2C3D4【分析】求解一元二次不等式，把若x2x20是2xa的充分不必要条件转化为（1，2）（2，a），由此得到a的范围，则答案可求【解答】解：由x2x20，解得1x2又x2x20是2xa的充分不必要条件，（1，2）（2，a），则a2实数a的值可以是2，3，4故选：BCD【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，是基础题13（4分）已知数列an为等差数列，首项为1，公差为2，数列bn为等比数列，首项为1，公比为2，设，Tn为数列cn的前n项和，则当Tn2019时，n的取值可以是下面选项中的（）A8B9C10
16、D11【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列cn的通项公式，利用数列的分组求和可得数列cn的前n项和Tn，验证得答案【解答】解：由题意，an1+2（n1）2n1，22n112n1，则数列cn为递增数列，其前n项和Tn（211）+（221）+（231）+（2n1）（21+22+2n）n2n+12n当n9时，Tn10132019；当n10时，Tn20362019n的取值可以是8，9故选：AB【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和，考查数列的函数特性，是基础题三、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分14（4分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴长在y轴上，
17、离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12，则椭圆的方程是【分析】椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；【解答】解：设椭圆C的标准方程为，由题意离心率为，可得：，且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12，可得2a12，解得a6，c3，则b3所以椭圆C的标准方程故答案为：【点评】本题主要考查椭圆方程的求法，和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题目15（4分）已知数列an的的前n项和为Sn，且，则数列an的通项公式ann【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出Sn，进一步利用当n2时，anSnSn1求出结果【解答】解：数列
18、an的的前n项和为Sn，且，当n2时，得，所以，故anSnSn1n（首项1符合通项）故ann故答案为：n【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型16（4分）已知斜率为k的直线L与椭圆C：1相交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，1），则k的值是【分析】通过直线l过点M（1，1）可设其方程为xm（y1）+1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式计算即得直线方程，得到直线的斜率k【解答】解：依题意，设直线l方程为：xm（y1）1，联立，消去x整理得：（2+m2）y22m（m+1）y+m2+2m50，设A（x1，y1
19、），B（x2，y2），则y1+y2，且线段AB的中点为M（1，1），2，即m2直线l方程为x2（y1）1，即x2y+30，所以直线的斜率k为：故答案为：【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题17（4分）已知a，bR+，且a+b+3ab，则ab的最小值是9，a+b的最小值是6【分析】由a，bR+，且a+b+3ab，可得a+bab3和a+b+3ab，分别解这两个不等可得ab的最小值和a+b的最大值【解答】解：a，bR+，且a+b+3ab，a+bab3，ab9，当且仅当ab3时取等号，ab的最小值为9；a，bR+，且a+b+3ab，a+b+3ab，a+
20、b6，当且仅当ab3时取等号，a+b的最小值为6故答案为：9；6【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法，考查了转化思想和计算能力，属基础题四、解答题：本题共6个小题，共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（12分）设命题p：实数x满足x23ax+2a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a3且p，q均为为真命题时，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【分析】（1）求出a3时的一元二次不等式的解集化简p，求解不等式组化简q，取交集得答案；（2）由p是q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，转化为两集合端点值间的关系求解
21、【解答】解：（1）由x23ax+2a20，得ax2a当a3时，p：x|3x6，由，解得2x6，q：x|2x6又p真且q真，则，得3x6实数x的取值范围为（3，6）；（2）p是q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件，又p：x|ax2a，q：x|2x6，解得2a3经检验，实数a的取值范围为2a3【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题19（14分）已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn+33an（1）求数列an的通项公式；（2）若bnanlog3an+2，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由2Sn+33an，可得2Sn1+33an1
22、，（n2）相减利用等比数列的通项公式即可得出（2）bnanlog3an+23nlog33n+2（n+2）3n利用错位相减法即可得出【解答】解：（1）2Sn+33an，2Sn1+33an1，（n2）得2Sn2Sn13an3an12an，则3 （n2），在式中，令n1，得a13数列an是首项为3，公比为3的等比数列，an3n（2）bnanlog3an+23nlog33n+2（n+2）3nTn331+432+533+（n+1）3n1+（n+2）3n，则 3Tn332+433+n3n1+（n+1）3n+（n+2）3n+1，得，2Tn9+1 （32+33+3n1+3n）（n+2）3n+1，9+（n+2）
23、3n+13n+1Tn3n+1【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（14分）解关于x的不等式ax2（3a+2）x+60（1）若a2，求不等式的解集；（2）若aR，求不等式的解集【分析】（1）a2代入解不等式即可；（2）分类讨论：当a0时，不等式ax2（3a+2）x+60化为2x+60，解得即可当a0时，不等式ax2（3a+2）x+60可化为（ax2 ）（x3）0，通过比较两根3与的大小关系求得不等式的解集【解答】解：（1）当a2时，不等式为x24x+30，得（x1）（x3）0，不等式的解集为（，1）（3，+）（2）原不
24、等式等价于（ax2）（x3）0，当a0时，x3，不等式得解集为（，3），当a0时，方程（ax2）（x3）0得解为x3或，当时，不等式的解集为x|x3当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当a0时，不等式化为为（x）（x3）0，不等式的解集为【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，正确分类和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键，属于中档题21（14分）已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B（）求椭圆M的方程；（）若k1，求|AB|的最大值；【分析】（）利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆方程（）设直线AB的方程为yx+m，联立直线与椭
25、圆方程，通过设A（x1，y1），B（x2，y2），以及韦达定理，弦长公式转化求解即可【解答】解：（）由题意得，所以，又，所以，所以b2a2c21，所以椭圆M的标准方程为（）设直线AB的方程为yx+m，由消去y可得4x2+6mx+3m230，则36m244（3m23）4812m20，即m24，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则，易得当m20时，故|AB|的最大值为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题22（14分）已知数列an为等比数列，数列bn为等差数列，且b1a11，b2a1+a2，a32b36（）求数列
26、an，bn的通项公式；（）设cn，数列cn的前n项和为Tn，证明：【分析】（ I）设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意得：1+d1+q，q22（1+2d）6，解得：dq2，即可（ II）证明：因为cn，Tn即可得【解答】解：（ I）设数列an的公比为q，数列bn的公差为d（1分）由题意得：1+d1+q，q22（1+2d）6，（2分）解得：dq2，（3分）所以：an2n1，bn2n1（5分）（II）证明：因为cn，（7分）所以Tn（1）+（）+（1+） （10分），n+时，因为Tn在1，+）单调递增，所以当n1时，Tn取最小值T1，（12分）所以（13分）【点评】本题考查等差数列和等
27、比数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题23（14分）已知椭圆的离心率为，其上焦点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点试探究以线段AB为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由【分析】（1）根据离心率得到a，b的关系，再根据上焦点到直线的距离为，得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）由两直线中有一条斜率不存在，即可求出点（1，0），再设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y，代入，根据韦达定理和向量的数量积即可求出【解答】解：（1）由题意，e，e2，所以ab，cb又，ab1，所以b1，a22，故椭圆C的方程为；
28、（2）当ABx轴时，以AB为直径的圆的方程为，当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y21可得两圆交点为Q（1，0）由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（1，0）下证Q（1，0）符合题意设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y，代入并整理得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，所以（x1+1）（x2+1）+y1y2x1x2+x1+x2+1+（1+k2）x1x2+（x1+x2）+（1+k2）+0，故，即Q（1，0）在以AB为直径的圆上综上，以AB为直径的圆恒过定点（1，0）【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线是否过定点的判断方法，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用，注意函数与方程思想的合理运用，是中档题
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