2019-2020学年青海省西宁十四中高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

1、2019-2020学年青海省西宁十四中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x22x30，Bx|log2（x1）2，则（RA）B（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）2（5分）“”是“直线ykx与圆（x+2）2+y21相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）设m，n，q是不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是（）A若m，mn，n，则B若，m，n，则mnCm，n，qm，qn，则qD若，m，n，则mn4（5分）中国古代

2、数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中Nn（bmodm）表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如112（bmod3）表示11除以3后的余数是2执行该程序框图，则输出的N等于（）A7B8C9D105（5分）在等差数列an中，Sn表示an的前n项和，若a3+a63，则S8的值为（）A3B8C12D246（5分）甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（）ABCD7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD8（5分）函数y的图象大致为（）ABCD

3、9（5分）已知tan（+）2，则sin2（）ABCD10（5分）已知A，B分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点A且斜率为1的直线l与的另一个公共点为C，则（）ABC4D11（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，CC12，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）ABCD12（5分）椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若x，y满足约束条件则z2xy的最小值为 14（5分）三棱锥PABC的四个顶点都在球O上

4、，PA，PB，PC两两垂直，PAPBPC2，球O的体积为 15（5分）如图，在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是边BC上一点，2，则 16（5分）给出下列说法：函数y2x与函数ylog2x互为反函数；若集合Ax|kx2+4x+40中只有一个元素，则k1；若，则f（x）x22；函数ylog2（1x）的单调减区间是（，1）；其中所有正确的序号是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列an为等差数列，a23，a59（1）求数列an的通项公式；（2）求数列3n1an的前n项和Sn18（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c若2acs

5、inBa2+c2，且b（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为S，求S的最大值19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值20（12分）已知抛物线C；y22px过点A（1，1）（1）求抛物线C的方程；（2）过点P（3，1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值21（12分）四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60，ADP为等边三角形（1）

6、求证：ADPB；（2）若，求二面角DPCB的余弦值22（12分）已知双曲线y21的焦点是椭圆C：+1（ab0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数（I）求椭圆C的方程；（）设动点M、N在椭圆C上，且|MN|，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值2019-2020学年青海省西宁十四中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|x22x30，Bx|log2（x1）2，则（RA）B（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）【分析】由已知可得RAx|x22x3

7、0，解不等式求出RA，和集合B，结合集合交集运算的定义，可得答案【解答】解：集合Ax|x22x30，RAx|x22x30（1，3），又Bx|log2（x1）2x|0x14（1，5），（RA）B（1，3），故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题2（5分）“”是“直线ykx与圆（x+2）2+y21相切”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】直线ykx与圆（x+2）2+y21相切1，解得：k2即可判断出结论【解答】解：直线ykx与圆（x+2）2+y21相切1，解得：k2“”是“直线ykx与圆（x+2）2+y21相切”

8、的充要条件故选：C【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）设m，n，q是不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是（）A若m，mn，n，则B若，m，n，则mnCm，n，qm，qn，则qD若，m，n，则mn【分析】分别由线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质可求解；【解答】解：A：由线线平行，线面平行，面面垂直知A正确；B：若，m，n，则mn或mn或m、n是异面直线，故B错误；C：m，n，qm，qn，则q或q，或q，故C错误；D：若，m，n，则mn，或m、n是异面直线，故D错误；故选：A【点评】考查线线平行、垂直，线面平

9、行、垂直的判断定理和性质；4（5分）中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中Nn（bmodm）表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如112（bmod3）表示11除以3后的余数是2执行该程序框图，则输出的N等于（）A7B8C9D10【分析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可【解答】解：第一次，N7，7除以3的余数是1，不满足条件，N8，8除以3的余数是2满足条件，8除以5的余数是3满足条件输出N8，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键比较基础5

10、（5分）在等差数列an中，Sn表示an的前n项和，若a3+a63，则S8的值为（）A3B8C12D24【分析】由等差数列an的性质可得：a1+a8a3+a63，可得S84（a3+a6）【解答】解：由等差数列an的性质可得：a1+a8a3+a63，则S84312故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（）ABCD【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：甲、乙两个人进

11、行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下： 甲乙锤剪子包袱锤（锤，锤）（锤，剪子）（锤，包袱）剪子（剪子，锤）（剪刀，剪子）（剪子，包袱）包袱（包袱，锤）（包袱，剪子）（包袱，包袱）由表格可知，共有9种等可能情况其中平局的有3种：（锤，锤）、（剪子，剪子）、（包袱，包袱）甲和乙平局的概率为：故选：A【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱锥体和半圆锥体

12、组成故：V216故选：D【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型8（5分）函数y的图象大致为（）ABCD【分析】观察四个图象知，A与B、C、D不同（在y轴左侧没有图象），故审定义域；同理审B、C、D的不同，从而利用排除法求解【解答】解：函数的定义域为x|x0且x1，故排除A，f（x）f（x），排除C，当x2时，y0，故排除D，故选：B【点评】本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用9（5分）已知tan（+）2，则sin2（）ABCD【分析】由题意利用两角和的正切公式，先求出tan的值，再利用

13、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：tan（+）2，tan3，则sin2，故选：B【点评】本题主要考查两角和的正切公式，二倍角公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题10（5分）已知A，B分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点A且斜率为1的直线l与的另一个公共点为C，则（）ABC4D【分析】根据题意，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，求得C点坐标，根据向量的坐标运算，求得答案【解答】解：A（2，0），B（0，1），直线AB的方程yx+2，联立方程组，整理得：5x2+16x+120，解得：x2或x，所以C（，），所以，所以+，故选：D【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，

14、考查向量的坐标运算，考查转化思想，计算能力，属于基础题11（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBC1，CC12，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B1（0，0，2），B（0，0，0），C1（0，1，2），（1，0，2），（0，1，2），设异面直线AB1与BC1所成角为，则cos异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为故选：C【点

15、评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（5分）椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得（2ac）2+c24c2，可得2a22acc2，所以e2+2e20，e（0，1），解得e故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的

16、应用，考查转化思想以及计算能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若x，y满足约束条件则z2xy的最小值为2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域（阴影部分）由z2xy，得y2xz，平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点A时，直线y2xz的截距最大，此时z最小由，解得A（1，0），此时z的最小值为z2xy2，故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14（5分）三棱锥PABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，PAPB

17、PC2，球O的体积为36【分析】先证明PC平面PAB，并计算出PAB的外接圆直径AB，然后利用公式计算出球O的半径R，最后利用球体体积公式可得出答案【解答】解：如下图所示，PA、PB、PC两两垂直，且PAPBP，PC平面PAB，PAPB2，所以，PAB的外接圆直径为斜边，所以，球O的直径为，则R3，因此，球O的体积为故答案为：36【点评】本题考查球体体积的计算，同时也考查了直线与平面垂直的判定定理，考查推理能力与计算能力，属于中等题15（5分）如图，在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是边BC上一点，2，则【分析】法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值

18、法二：由余弦定理得可得分别求得，又夹角大小为ADB，所以【解答】解：法一：选定基向量，由图及题意得，（）（）+法二：由题意可得BC2AB2+AC22ABACcosA4+1+27，BC，cosBAD，故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视16（5分）给出下列说法：函数y2x与函数ylog2x互为反函数；若集合Ax|kx2+4x+40中只有一个元素，则k1；若，则f（x）x22；函数ylog2（1x）的单调减区间是（，1）；其中所有正确的序号是【分析】利用反函数的定义即可判断出正误；若集合Ax|kx2+4x+40中只有一个元素，对k需要

19、分类讨论，k0时，利用判别式0即可得出；没有给出函数f（x）的定义域利用符合函数的单调性即可判断出正误【解答】解：函数y2x与函数ylog2x互为反函数，正确；若集合Ax|kx2+4x+40中只有一个元素，k0时，方程化为4x+40，解得x1，满足条件；k0时，可得1616k0，解得k1综上可得：k0或1，因此不正确；若，则f（x）x22，定义域为x|x0，因此不正确；函数ylog2（1x）的单调减区间是（，1），正确其中所有正确的序号是故答案为：【点评】本题考查了函数的定义域及其单调性、方程的解与判别式的关系、分类讨论方法、反函数、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题三、解答题：共

20、70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列an为等差数列，a23，a59（1）求数列an的通项公式；（2）求数列3n1an的前n项和Sn【分析】（1）设数列an的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）设数列an的公差为d，依题意得方程组，解得a11，d2所以an的通项公式为an2n1（2）由（1）可得，得，所以【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，考查运算能力，属于中档题18（12分）在ABC中，内角A，

21、B，C的对边分别为a，b，c若2acsinBa2+c2，且b（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为S，求S的最大值【分析】（1）由题意利用余弦定理求得sinBcosB，即可求出B的值；（2）利用余弦定理和基本不等式球场ac的最小值，即可得出ABC面积S的最大值【解答】解：（1）ABC中，由2acsinBa2+c2，b，得2acsinBa2+c2b2，即：sinBcosB；tanB1，又B（0，），B；（2）由b2a2+c22accosB（2）ac，当且仅当ac时等号成立；所以得：ac；所以SABCacsinBac；所以ABC面积S的最大值为【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，也考查了三角

22、形面积计算问题，是基础题19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NGBC，且NG，再由已知得AMBC，且AMBC，得到NGAM，且NGAM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NMAG，由线面平行的判定得到MN平面PAB；法二、证明MN平面PAB，转化为证明平面NEM平面PAB，在PAC中，过N作NEAC，垂足为E，连接ME，由已知PA底面ABCD，可

23、得PANE，通过求解直角三角形得到MEAB，由面面平行的判定可得平面NEM平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CMAD，进一步得到平面PNM平面PAD，在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，N为PC的中点，NGBC，且NG，又AM，BC4，且ADBC，AMBC，且AMBC，则NGAM，且NGAM，四边形AMNG为平行四边形，则NMAG，AG平面PAB，NM平面PAB，MN平面PAB；法二、在PAC中，过N作NEAC，垂

24、足为E，连接ME，在ABC中，由已知ABAC3，BC4，得cosACB，ADBC，cos，则sinEAM，在EAM中，AM，AE，由余弦定理得：EM，cosAEM，而在ABC中，cosBAC，cosAEMcosBAC，即AEMBAC，ABEM，则EM平面PAB由PA底面ABCD，得PAAC，又NEAC，NEPA，则NE平面PABNEEME，平面NEM平面PAB，则MN平面PAB；（2）解：在AMC中，由AM2，AC3，cosMAC，得CM2AC2+AM22ACAMcosMACAM2+MC2AC2，则AMMC，PA底面ABCD，PA平面PAD，平面ABCD平面PAD，且平面ABCD平面PADAD

25、，CM平面PAD，则平面PNM平面PAD在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角在RtPAC中，由N是PC的中点，得AN，在RtPAM中，由PAAMPMAF，得AF，sin直线AN与平面PMN所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题20（12分）已知抛物线C；y22px过点A（1，1）（1）求抛物线C的方程；（2）过点P（3，1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定

26、值【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，1）的直线l的方程为x3m（y+1），即xmy+m+3，代入y2x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1k2的值【解答】解：（1）由题意抛物线y22px过点A（1，1），所以p，所以得抛物线的方程为y2x；（2）证明：设过点P（3，1）的直线l的方程为x3m（y+1），即xmy+m+3，代入y2x得y2mym30，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2m，y1y2m3，所以k1k2【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）四棱

27、锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60，ADP为等边三角形（1）求证：ADPB；（2）若，求二面角DPCB的余弦值【分析】（1）取AD中点E，连结PE，BE，说明BEAD，结合PEAD，推出AD面PBE，得到ADPB（2）以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量，平面PCB的法向量，设二面角DPCB的平面角为，利用空间向量的数量积求解即可【解答】（1）证明：取AD中点E，连结PE，BE（1分）ABCD为菱形，DAB60，ABD为等边三角形，BEAD，（3分）ADP为等边三角形，PEADPEBEE，AD面PBE，PB面PBE，ADPB（4分）（2）解：P

28、AD，BAD为等边三角形，边长为2，PE2+BE2PB2PEEB，PEAD，ADBEE，PE面ABCD（6分）如图，以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（7分）设平面PCD的法向量为，取z1，则（9分）设平面PCB的法向量为，取c1，则（10分）设二面角DPCB的平面角为，二面角DPCB的余弦值等于0（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力22（12分）已知双曲线y21的焦点是椭圆C：+1（ab0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数（I）求椭圆C的方程；（）设动点M、N在椭圆C上，且|MN|，记直线MN在y

29、轴上的截距为m，求m的最大值【分析】（I）由题意求得椭圆的离心率，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（）分类讨论，当斜率为0时，即可求得m的值，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的表达式，利用导数求得函数的单调性及最值，即可求得m的最大值【解答】解：（）双曲线y21的焦点是椭圆C：+1（ab0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，a，c，b，椭圆C的方程为1（）当直线MN的斜率为0时，由|MN|，则M（，y），则y，则直线MN在y轴上的截距为，当直线MN的斜率不存时，与y轴无焦点，设MN为：ykx+m，（k0）联立，得（1+6k2）x2+12kmx+6m260，（12km）24（1+6k2）（6m26）0，144k224m2+240，m26k2+1，|MN|，整理，得，6k2+1，整理得：36k4+12k2+10，即6k2+10，k（，0）（0，+），则，令k2+1t，t1，则f（t）2t+，t1，求导f（t）2+，令f（t）0，解得：1t，令f（t）0，解得：t，则f（t）在（1，）单调递增，在（，+）单调递减，当t时，f（t）取最大值，最大值为，m的最大值为，综上可知：m的最大值为【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题