1、核心母题四圆【核心母题】如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，OFAB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且ACEAFO180.(1)求证：EM是O的切线；(2)若AE，BC，求阴影部分的面积(结果保留和根号)【知识链接】圆周角定理，切线的性质与判定，扇形面积的计算【母题分析】(1)连接OC，根据垂直的定义得到AOF90，根据三角形的内角和得到ACE90A，根据等腰三角形的性质得到OCE90，得到OCCE，于是得到结论；(2)根据圆周角定理得到ACB90，推出ACOBCE，得到BOC是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【母题解答】角度一 条件开放型子
2、题1：如图，已知ABC内接于O，过点A作直线EF.若AB为O的直径，要使EF成为O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：_【子题分析】根据切线的判定定理求解即可【子题解答】角度二 结论开放型子题2：如图，已知ABC内接于O，过点A作直线EF.若AB是不过圆心O的弦，且CAEB，那么EF是O的切线吗？请证明你的判断【子题分析】作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出MB，ACM90，求出MACCAE90，再根据切线的判定推出即可【子题解答】角度三 设置陷阱子题3：已知O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是( )A30 B60C30或150 D60或120
3、【子题分析】根据特殊角的三角函数值求角度即可本题易因忽略不是直径的弦所对的圆周角有2个而出错，审题时要注意题目中的陷阱【子题解答】角度四 由静态向动态衍生子题4：如图，ABC中，ACB90，sin A，AC12，将ABC绕点C顺时针旋转90得到ABC，P为线段AB上的动点，以点P为圆心，PA长为半径作P，当P与ABC的边相切时，P的半径为_【子题分析】注意分情况讨论【子题解答】角度五 设置背景子题5：如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升_cm.【子题分析】注意分两种情形求解即可解决问题【子题解答】角度六 与坐标
4、、旋转结合子题6：如图，OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA2，AC1，把OAC绕点A按顺时针方向旋转到OAC，使得点O的坐标是(1，)，则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为_【子题分析】过O作OMOA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积SS扇形OAOSOACSOACS扇形CACS扇形OAOS扇形CAC，分别求出即可【子题解答】角度七 与三角形、四边形结合子题7：如图，AB是O的直径，DOAB于点O，连接DA交O于点C，过点C作O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.(1)求证：CEEF；(2)连接AF并延长，交O于点G.填空：当D的度数为
5、_时，四边形ECFG为菱形；当D的度数为 _时，四边形ECOG为正方形【子题分析】(1)连接OC，利用切线的性质、等腰三角形的性质与判定、互余，即可得到结论；(2)当D30时，DAO60，证明CEF和FEG都为等边三角形，从而得到EFFGGECECF，则可判断四边形ECFG为菱形；当D22.5时，DAO67.5，利用三角形内角和计算出COE45，利用对称得EOG45，则COG90，接着证明OECOEG得到OGEOCE90，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形【子题解答】模型一 常见切线的判定模型方法图形示例利用等角代换证明：通过互余的两个角之间的等量代换得证已知C
6、AEB，证明CAEBAC90利用平行线性质证明：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可已知BCAC，证明OEAC利用三角形全等或相似证明：通过证明切线所在三角形与含90角的三角形全等或相似已知ACBC，OA平分COD，证明AOCAOD图中无90角用等腰三角形的性质证明：通过圆心到切点的连线为所在等腰三角形的中线或角平分线，根据“三线合一”的性质得证已知OAOB，ACBC，证明OCAB子题8：如图，已知AB是O的直径，点C，D在O上，点E在O外，EACB60.(1)求ADC的度数；(2)求证：AE是O的切线子题9：如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD与O相切于点D
7、，过点B作PD的垂线，与PD的延长线相交于点C，若O的半径为4，BC6，则PA的长为_子题10：如图，在ABC中，ABAC，B30，以点A为圆心，以3 cm为半径作A，当AB_cm时，BC与A相切模型二 求阴影面积模型基本思想：转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积(1)直接和差法图形面积计算方法S阴影SACBS扇形CADS阴影SAOBS扇形CODS阴影S扇形EAFSADES阴影S扇形BABS半圆ABS半圆ABS阴影S扇形之和子题11：如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90到矩形ABCD的位置时，若AB2，AD4，则阴影部分的面积为( )A. B.2C.4 D.2子题
8、12：如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B到了点B处，则图中阴影部分的面积是( )A3 B. C6 D24子题13：如图，分别以ABC的三个顶点为圆心作A，B，C ，且半径都是0.5 cm，则图中三个阴影部分面积之和等于( )A. cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2(2)构造和差法图形转化后的图形面积计算方法S阴影S扇形BOESOCES扇形CODS阴影SODCS扇形DOES阴影S扇形AOBSAOBS阴影S扇形AOCSOCB子题14：如图，在扇形AOB中，AOB90，点C为OA的中点，CEOA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D.若OA4，则图中阴
9、影部分的面积为( )A. B.2C. D2子题15：如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，O的半径为 cm，弦CD的长为3 cm，则图中阴影部分的面积是_cm2.子题16：如图，AB是O的直径，C是O外一点，ABAC，连接BC，交O于点D，过点D作DEAC，垂足为E.(1)求证：DE与O相切；(2)若B30，AB4，则图中阴影部分的面积是_(结果保留根号和)(3)割补法图形转化后的图形面积计算方法S阴影S矩形ACDFS阴影S扇形BOCS阴影S扇形COD子题17：如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，上，过点A作AFED，交ED的延长线于点F
10、，则图中阴影部分的面积等于_子题18：如图，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD2，则阴影部分图形的面积为( )A4 B2 C D. 子题19：如图，CD是O的直径，AB，EF是O的弦，且ABCDEF，AB16，CD20，EF12，则图中阴影部分的面积是( )A9625 B8850C50 D25参考答案【核心母题突破】【核心母题】(1)如图，连接OC.OFAB，AOF90，AAFO90180.ACEAFO180，ACE90A.OAOC，AACO，ACE90ACOACOOCE，OCE90，OCCE，EM是O的切线(2)AB是O的直径，ACB90，ACOBCOBCEBCO90，ACOBCE
11、.AE，AACOBCEE，ABCBCEE2A，A30，BOC60，BOC是等边三角形，OBBC，阴影部分的面积.【母题衍生角度】角度一子题1: BAE90，EACABC.理由：BAE90，AEAB.AB是直径，EF是O的切线AB是直径，ACB90，ABCBAC90.EACABC，BAEBACEACBACABC90，即AEAB.AB是直径，EF是O的切线角度二子题2: EF是O的切线. 证明如下：如图，作直径AM，连接CM，则ACM90，MB，MCAMBCAM90.CAEB，CAMCAE90，AEAM.AM为直径，EF是O的切线角度三子题3: 由图可知OA10，OD5.在RtOAD中，OA10，
12、OD5，AD5，tan 1，160.同理可得260，AOB126060120.圆周角的度数是60或120.故选D.角度四子题4: 在ABC中，ACB90，AB2BC2AC2.sin A，AC12，AB13，BC5.如图1，当P与直线AC相切于点Q时，连接PQ.设PQPAr.PQCA， ，r.如图2，当P与AB相切于点T时，易证A，B，T共线ABTABC，AT，rAT.综上所述，P的半径为或.角度五子题5: 如图，作半径ODAB于C，连接OB.由垂径定理得BCAB30 cm.在RtOBC中，OC40(cm)当水位上升到圆心以下，水面宽80 cm时，则OC30(cm)水位上升的高度为403010(
13、cm)；当水位上升到圆心以上，水面宽80 cm时，水位上升的高度为403070(cm)综上所述，水位上升的高度为10 cm或70 cm.故答案为10或70.角度六子题6: 如图，过O作OMOA于M，则OMA90.点O的坐标是(1，)，OM，OM1.AO2，AM211，tanOAM，OAM60，即旋转角为60，CACOAO60.把OAC绕点A按顺时针方向旋转到OAC，SOACSOAC，阴影部分的面积SS扇形OAOSOACSOACS扇形CACS扇形OAOS扇形CAC.故答案为.角度七子题7: (1)如图，连接OC.CE为切线，OCCE，OCE90，即1490.DOAB，3B90.23，2B90.OBOC，4B，12，CEFE.(2)3022.5【母题衍生模型】模型一子题8: (1)解：ABC与ADC都是所对的圆周角，ADCB60.(2)证明：AB是O的直径，ACB90，BAC30，BAEBACEAC306090，即 BAAE，AE是O的切线子题9: 4子题10: 6模型二子题11: D子题12: B子题13: B子题14: B子题15: 子题16: (1)证明：如图，连接OD.ABAC，OBOD，BCODB，ODAC.DEAC，CED90，ODE90，DE与O相切(2)子题17: 1子题18: D子题19: C
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