1、第17讲 等腰三角形与直角三角形,等腰三角形,1.等腰三角形的概念 有 相等的三角形叫做等腰三角形; 都相等的三角形叫做等边三角形.,两边,三条边,2.等腰三角形的性质与判定,等边对等角,顶角平分线,底边上的高,三线合一,顶角平分线,相等,两角,等角对等边,3.等边三角形的性质与判定,60,轴,3,三条,角,60,等腰三角形,直角三角形的性质与判定,互余,平方和,平方,一半,一半,直角,互余,平方和,平方,两个重要互逆定理,1.角平分线:(1)性质:角平分线上的点到角两边的距离 . (2)判定:角的内部到角两边 的点在角的平分线上. 2.线段垂直平分线:(1)性质:线段垂直平分线上的点到线段两
2、端的距离 . (2)判定:到线段两端 的点在线段的垂直平分线上.,相等,距离相等,相等,距离相等,等腰三角形边角的讨论问题,思路点拨:分三种不同的情况:点B是底角顶点,且BD在ABC外部;点B是底角顶点,且BD在ABC内部;点B是顶角顶点.先根据题意画出图形,再应用等腰三角形的性质求解.,15或45或75,涉及等腰三角形的边、角问题时,常常分情况进行讨论:看某条边是底还是腰;看角是底角还是顶角;看是锐角的等腰三角形还是钝角、直角的等腰三角形.,等腰三角形的性质与判定,例2 (2019重庆B卷)如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D.,(1)若C=42,求BAD的度数;,思路点拨:(1)根
3、据等腰三角形“三线合一”的性质求解.,(1)解:AB=AC,ADBC, BAD=CAD,ADC=90, 又C=42, BAD=CAD=90-42=48.,思路点拨:(2)根据等腰三角形的性质及平行线的性质证出BAD=F,则结论可得.,(2)证明:AB=AC,ADBC, BAD=CAD, EFAC, F=CAD, BAD=F, AE=FE.,(2)若点E在边AB上,EFAC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.,(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系,由两边相等转化为两角相等是证明两角相等的常用方法. (2)要证明三角形是等腰三角形必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有:通
4、过等角对等边得到两边相等;通过三角形全等得到两边相等;利用线段垂直平分线的性质得到两边相等.,直角三角形的性质与判定,思路点拨:(1)先利用S.A.S.证明BDGADC,再利用全等三角形的性质得到BG=AC,然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等量代换得到DE=DF,最后根据BDEADF证明DEDF;,例3 如图,在ABC中,ADBC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点. (1)求证:DE=DF,DEDF;,思路点拨:(2)先用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到DE=DF=5,再利用勾股定理得出EF的值.,(2)连结EF,若AC=10,求EF的长.,若
5、已知三角形中的一个角为90,解这个三角形首先应考虑用勾股定理;证明一个三角形为直角三角形,可证明一个内角等于90,也可利用勾股定理的逆定理.,等边三角形的性质与判定,解:(1)ODE是等边三角形.理由如下: ABC是等边三角形, ABC=ACB=60, ODAB,OEAC, ODE=ABC=60,OED=ACB=60, ODE是等边三角形.,例4 如图,在等边三角形ABC中,ABC与ACB的平分线交于点O,且ODAB,OEAC. (1)判断ODE的形状,请说明理由;,(2)线段BD,DE,EC三者之间有什么数量关系?写出你的判断过程.,解:(2)BD=DE=EC,理由如下: OB平分ABC,且
6、ABC=60, ABO=OBD=30, ODAB, BOD=ABO=30, DBO=DOB,DB=DO, 同理,EC=EO, DE=OD=OE,BD=DE=EC.,A,(A)CF=FG (B)AF=AG (C)AF=CF (D)AG=FG,解析:根据作图的步骤得到BF是CBG的角平分线, FGAB,CFBC,CF=FG,故A正确. 故选A.,2.(2016内江)已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为( ),B,3.(2019宜宾)如图,EOF的顶点O是边长为2的等边ABC的重心,EOF的两边与ABC的边交于E,F,EOF=120,则EOF与ABC的边所围
7、成阴影部分的面积是( ),C,4.(2019攀枝花)如图,在ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.求证: (1)点D在BE的垂直平分线上;,证明:(1)连结DE, CD是AB边上的高, ADC=BDC=90, BE是AC边上的中线,AE=CE=DE, BD=CE,BD=DE, 点D在BE的垂直平分线上.,(2)BEC=3ABE.,证明:(2)DE=AE, A=ADE, BD=DE, DBE=DEB, ADE=DBE+DEB, A=ADE=2ABE, BEC=A+ABE, BEC=3ABE.,5.(2019巴中)如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE直线m于点E,BD直线m于点D. (1)求证:EC=BD;,(2)若设AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.,点击进入 实战演练,
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