1、2019-2020学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“xR，exx2”的否定是（）A不存在 xR，使 exx2Bx0R，使 Cx0R，使 x02DxR，使exx22（5分）若双曲线的离心率为2，则其实轴长为（）ABCD3（5分）等比数列an的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则an的公比q等于（）A1B2CD4（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+1B+y21C
2、+1D+15（5分）已知（2，3，1），（2，0，4），（4，6，2），则下列结论正确的是（）ABCD6（5分）已知Sn为数列an的前n项和，a12，an+1Sn，那么a5（）A4B8C16D327（5分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设，则（）ABCD8（5分）已知点A是抛物线x24y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）AB+1CD1二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分
3、选对的得3分，有选错的得0分9（5分）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）A若ab，cd，则acbdB若ac2bc2，则abC若ab，则D若ab，cd，则adbc10（5分）已知为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列选项中，正确的是（）ABClDl11（5分）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a312，S120，S130，则下列结论正确的是（）A数列an是递增数列BS560CDS1，S2，S12中最大的是S612（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）Ap：3m7；q：方程的曲线是椭圆Bp：a8；q：对x1，3不等式x2a0恒
4、成立C设an是首项为正数的等比数列，p：公比小于0；q：对任意的正整数n，a2n1+a2n0D已知空间向量（0，1，1），（x，0，1），p：x1；q：向量与的夹角是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 14（5分）设Sn是数列an的前n项和且a12，an+1SnSn+1，则Sn 15（5分）已知M为抛物线y22px（p0）上一点，F（2，0）为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若MFO120，N（2，0），则p ，MNF的面积为 16（5分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD平面PAD，
5、M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知m，nR，证明：m4n42n2+1成立的充要条件是m2n2118（12分）已知不等式mx2mx10（1）若当xR时不等式恒成立，求实数m的取值范围（2）若x1，3时不等式恒成立，求实数m的取值范围19（12分）在a35，a2+a56b2；b22，a3+a43b3；S39，a4+a58b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知等差数列an的公差为d（d1），前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，且a1b1，dq， （1）
6、求数列an，bn的通项公式（2）记，求数列cn的前n项和Tn20（12分）如图所示，AE平面ABCD，四边形AEFB为矩形，BCAD，BAAD，AEAD2AB2BC4（1）求证：CF平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值21（12分）某工厂生产并销售某高科技产品，已知每年生产该产品的固定成本是800万元，生产成本e（单位；万元）与生产的产品件数x（单位：万件）的平方成正比；该产品单价p（单位：元）与生产的产品件数x满足px+b（b为常数），已知当该产品的单价为300元时，生产成本是1800万元，当单价为320元时，生产成本是200万元，且工厂生产的产品都可以销售完（1
7、）每年生产该产品多少万件时，平均成本最低，最低为多少？（2）若该工厂希望年利润不低于8200万元，则每年大约应该生产多少万件该产品？22（12分）设椭圆为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为（）求椭圆C的方程（）设动直线l：ykx+m椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x4相交于点N试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由2019-2020学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
8、的1（5分）命题“xR，exx2”的否定是（）A不存在 xR，使 exx2Bx0R，使 Cx0R，使 x02DxR，使exx2【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“xR，exx2”的否定是x0R，使 x02故选：C【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2（5分）若双曲线的离心率为2，则其实轴长为（）ABCD【分析】利用双曲线的离心率，求出a，即可得到实轴长【解答】解：双曲线的离心率为2，e，解得a，则其实轴长为：故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力3（5分）等
9、比数列an的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则an的公比q等于（）A1B2CD【分析】由等差数列的中项性质可得2S3S1+S2，再由等比数列的通项公式解方程可得q【解答】解：S1，S3，S2成等差数列，可得2S3S1+S2，即为2（a1+a2+a3）a1+a1+a2，即有2a1（1+q+q2）a1（2+q），化为2q2+q0，解得q（q0舍去），故选：D【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题4（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（
10、）A+1B+y21C+1D+1【分析】利用AF1B的周长为4，求出a，根据离心率为，可得c1，求出b，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B的周长为4，AF1B的周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a，4a4，a，离心率为，c1，b，椭圆C的方程为+1故选：A【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题5（5分）已知（2，3，1），（2，0，4），（4，6，2），则下列结论正确的是（）ABCD【分析】根据向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件，对各项逐个加以判别，即可得到本题答案【解答】解：，又，则（2，3，1）（2，0，
11、4）22+（3）0+140，故选：B【点评】本题给出两个向量的坐标，判断几个式子的正确性，着重考查了向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件等知识，属于基础题6（5分）已知Sn为数列an的前n项和，a12，an+1Sn，那么a5（）A4B8C16D32【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出【解答】解：n2时，an+1Sn，anSn1，可得：an+1anan，化为an+12ann1时，a2a12数列an从第二项起为等比数列，公比为2，首项为2那么a522316故选：C【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）如图，平行六面
12、体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设，则（）ABCD【分析】由于+，代入化简即可得出【解答】解：+，+，故选：D【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）已知点A是抛物线x24y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）AB+1CD1【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|m|PB|，可得，设PA的倾斜角为，则当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，求出
13、P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|PB|，|PA|m|PB|，|PA|m|PN|，设PA的倾斜角为，则sin，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为ykx1，代入x24y，可得x24（kx1），即x24kx+40，16k2160，k1，P（2，1），双曲线的实轴长为PAPB2（1），双曲线的离心率为+1故选：B【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键二、多项选择：本题共4小题
14、，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9（5分）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）A若ab，cd，则acbdB若ac2bc2，则abC若ab，则D若ab，cd，则adbc【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误【解答】解：A不一定成立；B由ac2bc2，则c20，可得：abC不一定成立，例如a2，b1Dab，cd，即dc，则adbc，成立故选：BD【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（5分）已知为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下
15、列选项中，正确的是（）ABClDl【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量的性质即可判断出正误【解答】解：为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量（，不重合），则，l，l或l因此AB正确故选：AB【点评】本题考查了平面的法向量、直线的方向向量的性质、线面面面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a312，S120，S130，则下列结论正确的是（）A数列an是递增数列BS560CDS1，S2，S12中最大的是S6【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论【解答】解：依题意，有S1212a1+d0，S1313a1+d
16、0，化为：2a1+11d0，a1+6d0，即a6+a70，a70，a60由a312，得a1122d，联立解得d3等差数列an是单调递减的S1，S2，S12中最大的是S6S55a360综上可得：BCD正确故选：BCD【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）Ap：3m7；q：方程的曲线是椭圆Bp：a8；q：对x1，3不等式x2a0恒成立C设an是首项为正数的等比数列，p：公比小于0；q：对任意的正整数n，a2n1+a2n0D已知空间向量（0，1，1），（x，0，1），p：x1；q：向量与的夹角是
17、【分析】A，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B，求出，x1，3不等式x2a0恒成立等价于ax2恒成立，即等价于a9，即可判断；C，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D，根据空间两向量的夹角大小求出x的值，再根据充分必要条件的定义即可判断；【解答】解：A，若方程的曲线是椭圆，则，即3m7且m5，即“3m7”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件；B，x1，3不等式x2a0恒成立等价于ax2恒成立，等价于a9；“a8”是“对x1，3不等式x2a0恒成立”必要不充分条件；C：an是首项为正数的等比数列，公比为q，当a11，q时，满足q0，但此时a1+
18、a210，则a2n1+a2n0不成立，即充分性不成立，反之若a2n1+a2n0，则a1q2n2+a1q2n10a10，q2n2（1+q）0，即1+q0，则q1，即q0成立，即必要性成立，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”的必要不充分条件D：空间向量（0，1，1），（x，0，1），则0+0+1，cos，cos，解得x1，故“x1”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件故选：ABC【点评】本题考查了求空间两向量的夹角大小的应用问题，恒成立问题以及数列和圆锥曲线的定义和充分必要条件的判断，是对知识的综合考查，属于中档题目，也是易错题目三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13
19、（5分）焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是【分析】根据：“与双曲线有相同的渐近线”设所求的双曲线方程是 ，由 焦点（0，6）在y轴上，知 k0，故双曲线方程是 ，据 c236 求出 k值，即得所求的双曲线方程【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是 ，焦点（0，6）在y轴上，k0，所求的双曲线方程是 ，由2kkc236，k12，故所求的双曲线方程是 ，故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是 ，属于基础题14（5分）设Sn是数列an的前n项和且a12，an+1SnSn+1，则Sn【分析】
20、根据题意，分析可得Sn+1SnSnSn+1，变形可得1，分析可得数列是首项为，公差为1的等差数列，求出数列的通项公式，分析可得答案【解答】解：根据题意，数列an满足an+1SnSn+1，即Sn+1SnSnSn+1，变形可得：1，即1，又由a12，即；故数列是首项为，公差为1的等差数列，则+（1）（n1）n+，故sn；故答案为：【点评】本题考查数列的递推公式，涉及等差数列的通项公式，属于基础题15（5分）已知M为抛物线y22px（p0）上一点，F（2，0）为该抛物线的焦点，O为坐标原点，若MFO120，N（2，0），则p4，MNF的面积为8【分析】利用抛物线的焦点坐标求解P，得到抛物线方程，画出
21、图形，做出相应的图形，过M作MEx轴，根据题意设出EFa，则有MF2a，表示出ME，由OF+EF表示出OE，进而表示出M坐标，代入抛物线解析式求出a的值，确定出ME的长，即可求出三角形MFN的面积【解答】解：抛物线y22px（p0），F（2，0）为该抛物线的焦点，判断P4，抛物线方程为：y28x，如图所示，做出相应的图形，过M作MEx轴，由抛物线y28x，得到p4，即F（2，0），MFO120，MFE60，在RtMEF中，FME30，设EFa（a0），则有MF2a，MEa，OEOF+EFa+2，即M（a+2，a），代入抛物线解析式得：3a28a160，即（3a+4）（a4）0，解得：a（舍去）
22、或a4，ME4，NF4，SMNF448，故答案为：4；8【点评】此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键16（5分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是【分析】以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面PCO所成角的正弦值【解答】解：以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，2，0），P（0，0，2），C（1，2，0），M（，1，1），O（0，0
23、，0），设平面PCO的法向量（x，y，z），可得（2，1，0），设直线BM与平面PCO所成角为，则sin|os|故答案为：【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知m，nR，证明：m4n42n2+1成立的充要条件是m2n21【分析】由m4n42n2+1，一步步转化到等价于m2（n2+1）m2+（n2+1）0从而得出结论【解答】证明：m4n42n2+1，等价于m4n4+2n2+1，等价于 m4（n2+1）2，等价于m2（n2+1）m2+（n2+1）0，等价于m2n
24、21m4n42n2+1成立的充要条件是m2n21【点评】本题主要考查充要条件的定义，属于基础题18（12分）已知不等式mx2mx10（1）若当xR时不等式恒成立，求实数m的取值范围（2）若x1，3时不等式恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）对m讨论，m0，m0，m0，结合二次函数的图象可得所求范围；（2）由题意可得x1，3时不等式mx2mx10恒成立，讨论x1，1x3，运用参数分离和构造函数，求最值，可得所求范围【解答】解：（1）当xR时不等式mx2mx10恒成立，当m0时，10，恒成立；当m0，0，即m2+4m0，可得4m0；当m0，不等式不恒成立，综上可得m的范围是（4，0；（2）x1
25、，3时不等式mx2mx10恒成立，当x1时，10恒成立；当1x3时，m（x2x）1，即m在1x3时恒成立，设f（x）即f（x），在1x3时，f（x）递减，可得f（x）的最小值为f（3），则m【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用二次函数的单调性和值域求法，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）在a35，a2+a56b2；b22，a3+a43b3；S39，a4+a58b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知等差数列an的公差为d（d1），前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，且a1b1，dq，b22，a3+a43b3（1）求数列an，bn的通项公式（2）记，求数列
26、cn的前n项和Tn【分析】选择b22，a3+a43b3；（1）设a1b1t，dq1，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求；（2）求得（2n1）（）n1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：选择b22，a3+a43b3；（1）设a1b1t，dq1，由b22，a3+a43b3，可得tq2，2t+5d3tq2，又dq，解得dq2，t1，可得an1+2（n1）2n1；bn2n1；（2）（2n1）（）n1，前n项和Tn11+3+5+（2n1）（）n1，Tn1+3+5+（2n1）（）n，两式相减可得Tn1+1+（）n2（2n1）
27、（）n，1+（n1）（）n，化简可得Tn6（2n+3）（）n1【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题20（12分）如图所示，AE平面ABCD，四边形AEFB为矩形，BCAD，BAAD，AEAD2AB2BC4（1）求证：CF平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值【分析】（1）推导出BCAD，BFAE，从而平面BCF平面ADE，由此能证明CF平面ADE（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值【解答】解
28、：（1）证明：AE平面ABCD，四边形AEFB为矩形，BCAD，BAAD，BFAE，BCBFB，ADAEA，平面BCF平面ADE，CF平面BCF，CF平面ADE（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，则C（2，2，0），D（0，4，0），F（2，0，4），（2，4，4），（2，2，0），设平面CDF的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，），平面AEFB的法向量（0，1，0），设平面CDF与平面AEFB所成锐二面角为，则cos平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面
29、、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题21（12分）某工厂生产并销售某高科技产品，已知每年生产该产品的固定成本是800万元，生产成本e（单位；万元）与生产的产品件数x（单位：万件）的平方成正比；该产品单价p（单位：元）与生产的产品件数x满足px+b（b为常数），已知当该产品的单价为300元时，生产成本是1800万元，当单价为320元时，生产成本是200万元，且工厂生产的产品都可以销售完（1）每年生产该产品多少万件时，平均成本最低，最低为多少？（2）若该工厂希望年利润不低于8200万元，则每年大约应该生产多少万件该产品？【分析】（1）由ekx2，px+b，可得：ek（bp）2
30、，bp0由题意可得：1800k（b300）2，200k（b320）2，联立解得：b，k即可得出每年生产该产品的成本y2x2+800利用基本不等式的性质可得每年生产该产品x万件时，平均成本最低（2）该工厂年利润y（330x）x（2x2+800）3x2+330x800令3x2+330x8008200解得x范围即可得出【解答】解：（1）由ekx2，px+b，可得：ek（bp）2，bp0由题意可得：1800k（b300）2，200k（b320）2，联立解得：b330，k2e2（330p）2每年生产该产品的成本y2x2+800假设每年生产该产品x万件时，平均成本最低，2x+2280，当且仅当x20时取等
31、号每年生产该产品20万件时，平均成本最低，最低为80万元（2）该工厂年利润y（330x）x（2x2+800）3x2+330x800令3x2+330x8008200解得：50x60因此该工厂希望年利润不低于8200万元，则每年大约应该生产50万件到60万件该产品【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22（12分）设椭圆为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为（）求椭圆C的方程（）设动直线l：ykx+m椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x4相交于点N试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若
32、存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由【分析】（）由椭圆长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为，列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的方程（）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2120由动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求出M（，），由，得N（4，4k+m）假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上设P（x1，0），由，得（4x14）+x124x1+30，由此求出存在定点P（1，0），使得以MN为直径的圆恒过点M【解答】解：（）椭圆为左右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且bc，BF1F2的面积为由题意知，解得：故椭圆C的方程是+14分（
33、）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m21206分动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M（x0，y0），m0且0，即64k2m24（4k2+3）（4m212）0，化简得4k2m2+30（*）此时x0，y0kx0+m，M（，）由，得N（4，4k+m）8分假设平面内存在定点P满足条件，由图形对称性知，点P必在x轴上设P（x1，0），则对满足（*）式的m、k恒成立（x1，），（4x1，4k+m），由，10分得+4x1+30，整理，得（4x14）+x124x1+30（*）11分由于（*）式对满足（*）式的m，k恒成立，解得x11故存在定点P（1，0），使得以MN为直径的圆恒过点M12分【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题
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