1、2018-2019学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知等比数列an中，a1+a310，a4+a6，则该数列的公比q为（）A2B1CD2（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为（）ABCD3（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且+，则（）A，1B，1C1，D1，4（5分）已知点（n，an）在函数y2x13的图象上，则数列an的前n项和Sn的最小值为（）A36B36C6D65（5分）
2、“1m2”是“方程+1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）下列结论错误的是（）A命题p：“xR，使得x2+x+10”，则p：“xR，x2+x+10”B“x4”是“x23x40”的充分不必要条件C等比数列2，x，8，中的x4D已知a，bR+，2a+b1，则的最小值为87（5分）若不等式x2+ax+10对于一切x（0，恒成立，则a的最小值是（）A0B2CD38（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数y（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1
3、）B函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）C函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）D函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）9（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A90B60C45D3010（5分）已知a，bR+，且a+b+5，则a+b的取值范围是（）A1，4B2，+）C（2，4）D（4，+）11（5分）已知函数f（x）的定义域为R，并且满足f（2+x）f（2x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）
4、BCD12（5分）已知点F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左，右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A（，+1）B（1，+1）C（1，）D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13（5分）已知向量，若，则k的值为 14（5分）若“x1”是“xa”的必要不充分条件，则a的取值范围是 15（5分）若数列an的前n项和为Snan+，则数列an的通项公式是an 16（5分）设点M（x1，f（x1）和点N（x2，g（x2）分别是函数f（x）exx2和g（x）x1图象上的点，且x10，x20，若
5、直线MNx轴，则M，N两点间的距离的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17（10分）已知Sn是首项为1的等比数列an的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列，（1）求q3的值；（2）若Tn|a1|+2|a4|+3|a7|+n|a3n2|，求Tn18（12分）已知函数在点（1，f（1）处的切线方程是ybx+5（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）19（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且 PAAB2，AC1，点E是PD的中点（1）求证：PB平面AEC；
6、（2）求二面角EACB的大小20（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB3米，AD2米（）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值21（12分）已知椭圆的右焦点F与抛物线y28x焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由22（12分）已知函数f（x）ae
7、xx（aR），其中e为自然对数的底数，e2.71828（）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（）若x1，2，不等式f（x）ex恒成立，求a的取值范围2018-2019学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知等比数列an中，a1+a310，a4+a6，则该数列的公比q为（）A2B1CD【分析】根据等比数列的通项公式，利用a4+a6（a1+a3）q3，即可求出q的值【解答】解：等比数列an中，a1+a310，a4+a6（a1+a3）q3，q3该数列的公比q故
8、选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目2（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为（）ABCD【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（6，0），此时由双曲线的性质a2+b2c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为yx，可得，则得a、b的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决【解答】解：因为抛物线y224x的准线方程为x6，则由题意知，点F（6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2c236，又双曲线的一条渐近线方程是
9、yx，所以，解得a29，b227，所以双曲线的方程为故选：B【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质3（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且+，则（）A，1B，1C1，D1，【分析】根据向量加法的多边形法则可得，从而可求，【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，1，故选：A【点评】本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示4（5分）已知点（n，an）在函数y2x13的图象上，则数列an的前n项和Sn的最小值为（）A36B36C6D6【分析】点（n，
10、an）在函数y2x13的图象上，的an2n13，a111，n212n由二次函数性质，求得Sn的最小值【解答】解：点（n，an）在函数y2x13的图象上，则an2n13，a111n212nnN+，当n6时，Sn取得最小值为36故选：B【点评】本题考查了等差数列前n项和Sn的最小值，属于基础题5（5分）“1m2”是“方程+1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程+1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1m2，即“1m2”是“方程+1表示的曲线是焦
11、点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键6（5分）下列结论错误的是（）A命题p：“xR，使得x2+x+10”，则p：“xR，x2+x+10”B“x4”是“x23x40”的充分不必要条件C等比数列2，x，8，中的x4D已知a，bR+，2a+b1，则的最小值为8【分析】对于A：利用命题的否定定义即可得出；根据充要条件的定义，可判断B；利用等比数列的通项公式求解即可判断C的正误；所求式子乘以1，而1用2a+b代换；判断D的正误；【解答】解：对于A命题p：xR，x2+x+10，则p：x0R，使得x02+x0+10，正确；对于
12、B，“x23x40”“x4，或x1”，故“x4”是“x23x40”的充分不必要条件，故正确；对于C，等比数列2，x，8，中的x4，正确；对于D，由于a，bR*，2a+b1，则（+）（2a+b）5+5+29，当且仅当时，a，b取等号，所以D不正确故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，难度中档7（5分）若不等式x2+ax+10对于一切x（0，恒成立，则a的最小值是（）A0B2CD3【分析】由题意可得ax+对于一切x（0，恒成立运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令m不大于最小值即可【解答】解：不等式x2+ax+10对于一切x（0，恒
13、成立，即有ax+对于一切x（0，恒成立由于yx+的导数为y1，当0x1时，y0，函数y递减则当x时，y取得最小值且为，则有a，解得a则a的最小值为故选：C【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题8（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），且函数y（1x）f（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）C函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）D函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（2）【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左
14、右两侧的导数的符号，即可判断极值【解答】解：由函数的图象可知，f（2）0，f（2）0，并且当x2时，f（x）0，当2x1，f（x）0，函数f（x）有极大值f（2）又当1x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，故函数f（x）有极小值f（2）故选：D【点评】本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用9（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A90B60C45D30【分析】异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别
15、是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么FGB1就是异面直线A1E与GF所成的角【解答】解：由题意：ABCDA1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，A1EB1G，FGB1为异面直线A1E与GF所成的角连接FB1，在三角形FB1G中，AA1AB2，AD1，B1FB1G，FG，B1F2B1G2+FG2FGB190，即异面直线A1E与GF所成的角为90故选：A【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养10（5分）已知a，bR+，且a+b+5，则a+b的取值范围是（）A1，4B2，+）C（2
16、，4）D（4，+）【分析】a，bR+，设a+bt，0t5，ab，由a，b为二次方程x2tx+0的两根，运用判别式法，解二次不等式即可得到所求范围【解答】解：a，bR+，且a+b+5，设a+bt，0t5，则+5t，即为ab，由a，b为二次方程x2tx+0的两根，可得t240，解得1t4，则a+b的取值范围是1，4故选：A【点评】本题考查了换元法和构造法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）已知函数f（x）的定义域为R，并且满足f（2+x）f（2x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）BCD【分析
17、】由f（x）f（4x），可知函数f（x）关于直线x2对称，由xf（x）2f（x），可知f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性，从而可得答案【解答】解：函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）f（4x），f（x）关于直线x2对称；又当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x）f（x）（x2）0，当x2时，f（x）0，f（x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当x2时，f（x）在（，2）单调递减；2a4，1log2a2，24log2a3，又42a16，f（log2a）f（4log2a），f（x）在（2，+）上的单调递增；f（log2a）f（3）f（2a）故选：C【点评】本题考查抽象函数
18、及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性是关键，属于中档题12（5分）已知点F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左，右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A（，+1）B（1，+1）C（1，）D【分析】求出交点M，N的坐标，若0，则只要MF1F245即可，利用斜率公式进行求解即可【解答】解：当xc时，1，得1，则y2，则y，则M（c，），N（c，），F1（c，0），若0，则只要MF1F245即可，则tanMF1F2tan451，即1，即b22ac，则c2a22ac，即c22aca20，则e22e10，得
19、1e1+，e1，1e1+，故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求MF1F245是解决本题的关键考查学生的转化能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13（5分）已知向量，若，则k的值为6【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值【解答】解：；解得k6故答案为：6【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算14（5分）若“x1”是“xa”的必要不充分条件，则a的取值范围是a1或（，1）【分析】根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可【解答】解：若“x1”是“x
20、a”表示，则（，a（，1），则a1，即实数a的取值范围是（，1），故答案为：（，1）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键15（5分）若数列an的前n项和为Snan+，则数列an的通项公式是an（2）n1【分析】把n1代入已知式子可得数列的首项，由n2时，anSnSn1，可得数列为等比数列，且公比为2，代入等比数列的通项公式分段可得答案【解答】解：当n1时，a1S1，解得a11当n2时，anSnSn1（）（），整理可得，即2，故数列an从第二项开始是以2为首项，2为公比的等比数列，故当n2时，an（2）n1，经验证当n1时，上式也适合，故答案为：（2）n1【
21、点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题16（5分）设点M（x1，f（x1）和点N（x2，g（x2）分别是函数f（x）exx2和g（x）x1图象上的点，且x10，x20，若直线MNx轴，则M，N两点间的距离的最小值为2【分析】求出导函数f（x），根据题意可知f（x1）g（x2），令h（x）exx2+1x（x0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为M、N两点间的最短距离【解答】解：当x0时，f（x）exx0，函数yf（x）在0，+）上单调递增点M（x1，f（x1）和点N（x2，g（x2）分别是函数f（x）exx2和g（x）x1图象上的点，且x10，x20，若直线MN
22、x轴，则f（x1）g（x2），即x21，则M，N两点间的距离为x2x1+1x1令h（x）exx2+1x，x0，则h（x）exx1，h（x）ex10，故h（x）在0，+）上单调递增，故h（x）exx1h（0）0，故h（x）在0，+）上单调递增，故h（x）的最小值为h（0）10+102，即M，N两点间的距离的最小值为2，故答案为2【点评】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17（10分）已知Sn是首项为1的等比数列an的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列，（1）求
23、q3的值；（2）若Tn|a1|+2|a4|+3|a7|+n|a3n2|，求Tn【分析】（1）利用已知条件，列出方程求解q3的值；（2）化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（1）由题意，2S9S3+S6，显然q1，（1分），（3分）解得（4分）（2），（5分），（6分）两式相减，得（7分）（8分），（9分）（10分）【点评】本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力18（12分）已知函数在点（1，f（1）处的切线方程是ybx+5（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值（其中e是自然对数的底数）【分析】（1）求出函数的
24、导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值【解答】解：（1）因为，（1分）则f（1）1a，f（1）2a，函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y2a（1a）（x1），（2分）（直线ybx+5过（1，f（1）点，则f（1）b+52a）由题意得，即a2，b1（4分）（2）由（1）得，函数f（x）的定义域为（0，+），（5分），f（x）00x2，f（x）0x2，在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增（7分）故f（x）在上单调递减，在2，e上单调递增，（9分）f（x）在上的最小值为f
25、（2）3+ln2（10分）又，且f（x）在上的最大值为（11分）综上，f（x）在上的最大值为2e+1，最小值为3+ln2（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力19（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且 PAAB2，AC1，点E是PD的中点（1）求证：PB平面AEC；（2）求二面角EACB的大小【分析】由已知得PAAC，PAAB，且ACAB以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系； （1）设平面AEC的法向量为，由，得PB平面AEC（2）求出平面BAC的一个法向量为，由（1）知：平面A
26、EC的法向量为，设二面角EACB的平面角为（为钝角），cos|cos|，可得二面角EACB的大小【解答】解：PA平面ABCD，AB，AC平面ABCDPAAC，PAAB，且ACAB以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系； （2分）（1）证明：D（1，2，0），P（0，0，2）E（，设平面AEC的法向量为，则，取y1，得又B（0，2，0），所以 ，又PB平面AEC，因此：PB平面AEC（6分）（2）平面BAC的一个法向量为，由（1）知：平面AEC的法向量为，设二面角EACB的平面角为（为钝角），则cos|cos|，得：所以二面角EACB的大小为（12分）【点评】本题考查了空间线面平行的判定，及向
27、量法求二面角，属于中档题20（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB3米，AD2米（）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值【分析】（）设DN的长为x（x0）米，则|AN|（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论【解答】解：（）设DN的长为x（x0）米，则|AN|（x+2）米，由SAMPN32得又x0得3x22
28、0x+120解得：0x或x6即DN的长取值范围是（）矩形花坛的面积为当且仅当3x，即x2时，矩形花坛的面积最小为24平方米【点评】本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积21（12分）已知椭圆的右焦点F与抛物线y28x焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由【分析】（1）由抛物线y28x得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出c，a的值，由b2a2c2，求出
29、b，则椭圆的方程可求；（2）由题意得直线l的方程为，联立，消去y得2x22mx+m260，由0，解得m的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2m，求出y1y2，由，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m的值即可【解答】解：（1）抛物线y28x的焦点是（2，0），F（2，0），c2，又椭圆的离心率为，即，则b2a2c22故椭圆的方程为；（4分）（2）由题意得直线l的方程为，由，消去y得2x22mx+m260，由4m28（m26）0，解得又m0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2m，（6分），（7分）（10分）若存在m使以线段AB为直径的
30、圆经过点F，则必有，即，（11分）解得m0或m3又，m3即存在m3使以线段AB为直径的圆经过点F（12分）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力和计算能力，是中档题22（12分）已知函数f（x）aexx（aR），其中e为自然对数的底数，e2.71828（）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（）若x1，2，不等式f（x）ex恒成立，求a的取值范围【分析】（）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a0时，f（x）0，f（x）aexx为R上的减函数；当a0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，
31、根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（）x1，2，不等式f（x）ex恒成立，等价于aexxex恒成立，分离参数a，可得恒成立令g（x），则问题等价于a不小于函数g（x）在1，2上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在1，2上的最大值得答案【解答】解：（）由f（x）aexx，得f（x）aex1，当a0时，f（x）0，f（x）aexx为R上的减函数；当a0时，令aex10，得xlna，若x（，lna），则f（x）0，此时f（x）为的单调减函数；若x（lna，+），则f（x）0，此时f（x）为的单调增函数综上所述，当a0时，f（x）aexx为R上的减函数；当a0时，若x（，lna），f（x）为的单调减函数；若x（lna，+），f（x）为的单调增函数（）由题意，x1，2，不等式f（x）ex恒成立，等价于aexxex恒成立，即x1，2，恒成立令g（x），则问题等价于a不小于函数g（x）在1，2上的最大值由g（x），函数y在1，2上单调递减，令h（x），x1，2，h（x）h（x）在x1，2上也是减函数，g（x）在x1，2上也是减函数，g（x）在1，2上的最大值为g（1）故x1，2，不等式f（x）ex恒成立的实数a的取值范围是，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题
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