1、专题四函数性质与计算类型一 一次函数的图象与性质 (2017河北)如图，直角坐标系xOy中，A(0，5)，直线x5与x轴交于点D，直线yx与x轴及直线x5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB.(1)求点C，E的坐标及直线AB的解析式；(2)设面积的和SSCDES四边形ABDO，求S的值；(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：“将CDE沿x轴翻折到CDB的位置，而CDB与四边形ABDO拼接后可看成AOC，这样求S便转化为直接求AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现SAOCS，请通过计算解释他的想法错在哪里【分析】(1)将y0代入yx求出x可确定出点C的坐标，再利用直线的交点
2、坐标的确定方法求出点E的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式；(2)直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积计算方法即可求出；(3)先求出直线AB与x轴的交点坐标，再判断出点C不在直线AB上【自主解答】1(2019石家庄新华区一模)把直线yx3向上平移m个单位后，与直线y2x4的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有()A4个B5个C6个D7个2(2019邢台一模)一次函数y1kx12k(k0)的图象记作G1，一次函数y22x3(1x2)的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：当G1与G2有公共点时，y1随x的增大而减小；当G1与G2没有公共点时，y1随x的增大而增大；当k2
3、时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为.下列选项中，描述准确的是()A正确，错误 B正确，错误C正确，错误 D都正确3(2019北京)在平面直角坐标系xOy中，直线l：ykx1(k0)与直线xk，直线yk分别交于点A，B，直线xk与直线yk交于点C.(1)求直线l与y轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W.当k2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围4(2020原创)如图，已知直线AB的函数解析式为y2x8，与x轴交于点A，与y轴交于点B.(1)求A，B两点的坐标；(2)若点P(m，n)为
4、线段AB上的一个动点(与A，B不重合)，作PEx轴于点E，PFy轴于点F，连接EF，OP.若PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；是否存在点P，使EF的值最小？若存在，直接写出EF的最小值若不存在，请说明理由5.(2019唐山丰南区一模)如图，直线L：yx2与x轴、y轴分别交于A，B两点，在y轴上有一点N(0，4)，动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动(1)点A的坐标为_；点B的坐标为_；(2)求NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；(3)在y轴右侧，当t为何值时，NOMAOB，求出此时点M的坐标；(4)在(3)的条件下，若点G是线段ON上一点，
5、连接MG，将MGN沿MG折叠，点N恰落好在x轴上的点H处，求点G的坐标6(2019石家庄桥西区一模)如图，在直角坐标系中，一次函数的图象l1与y轴交于点A(0，2)，与一次函数yx3的图象l2交于点E(m，5)(1)求m的值及l1的表达式；(2)直线l1与x轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积；(3)如图，已知矩形MNPQ，PQ2，NP1，M(a，1)，矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l1或l2有交点，直接写出a的取值范围类型二 反比例函数图象与性质 (2019聊城)如图，点A(，4)，B(3，m)是直线AB与反比例函数y(x0)图象的两个交点，AC
6、x轴，垂足为点C.已知D(0，1)，连接AD，BD，BC.(1)求直线AB的表达式；(2)ABC和ABD的面积分别为S1，S2，求S2S1.【分析】(1)要求直线AB的表达式，只需求出点A，B的坐标；(2)要求ABC和ABD的面积差，可分别求出ABC和ABD的面积，再求差即可【自主解答】1(2018长春)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，ABC90，CAx轴，点C在函数y(x0)的图象上若AB2，则k的值为()A4 B2 C2 D.2(2019保定一模)如图，直线l1经过点A(6，0)，且垂直于x轴，直线l2：ykxb(b0)经过点B(2，0
7、)，与l1交于点C，SABC16.点M是线段AC上一点，直线MNx轴，交l2于点N，D是MN的中点，双曲线y(x0)经过点D，与l1交于点E.(1)求l2的解析式；(2)当点M是AC中点时，求点E的坐标；(3)当MD1时，求m的值类型三 二次函数的图象与性质 (2019邢台一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx(xb)与y轴相交于点A，与x轴相交于B，C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P.(1)若点B与点C关于直线x1对称，求b的值；(2)若OBOA，求BCP的面积；(3)当1x1时，抛物线上最高点与最低点的纵坐标的差为h，求h与b的关系，若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值
8、或最小值【分析】(1)由点B与点C关于x1对称得到抛物线的对称轴为直线x1，从而得解；(2)由OAOB，先解出OA的长，从而得到点B的坐标，代入抛物线解析式求b的值，再解方程可得点C的坐标，利用顶点式确定点P，从而用三角形面积公式得解；(3)按抛物线对称轴的位置分类讨论，分别确定抛物线在1x1上的最大值和最小值，作差求出h和b的关系式即可【自主解答】1(2018承德双桥区模拟)如图，抛物线y(x1)24与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点D，M为抛物线的顶点，P(m，n)是抛物线上点A，C之间的一点(不与点A，C重合)以下结论
9、：OC4；点D的坐标为(2，3)；n30；存在点P，使PMDM.其中正确的是()A B C D2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22x的顶点为A，且与x轴的正半轴交于点B，点P是该抛物线对称轴上一点，则OPAP的最小值为()A1 B. C2 D33(2018邯郸二模)如图，抛物线l：yx2bxc(b、c为常数)，其顶点E在正方形ABCD内或边上，已知点A(1，2)，B(1，1)，C(2，1)(1)直接写出点D的坐标；(2)若l经过点B，C，求l的解析式；(3)设l与x轴交于点M，N，当l的顶点E与点D重合时，求线段MN的值；当顶点E在正方形ABCD内或边上时，直接写出线段MN的取值
10、范围；(4)若l经过正方形ABCD的两个顶点，直接写出所有符合条件的c的值4.(2019石家庄桥西区一模)探究：已知二次函数yax22x3经过点A(3，0)(1)求该函数的表达式；(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC.求ACP的面积S关于t的函数关系式；求ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(1，3)，点N的坐标为(3，1)，若抛物线yax22x3(a0)与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围类型四 函数图象性质的综合题 (2019河北)如图，若b是正数，直线l：yb与y轴交于点
11、A，直线a：yxb与y轴交于点B，抛物线L：yx2bx的顶点为C，且L与x轴的右交点为D.(1)若AB8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x00，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b2 019和b2 019.5时“美点”的个数 【分析】(1)先求点B的坐标，再根据AB8求b，即可得到抛物线L的解析式，从而可得L的对称轴，代入直线可得交点坐标；(2
12、)先确定抛物线L的顶点坐标，再求点C到直线l的距离与b的关系式，利用二次函数求最值即可；(3)根据y3是y1，y2的平均数，得到y1，y2，y3的关系式，进而得到关于b的方程，得到b与x0的关系式，再求点D的坐标，即可得到对应的距离；(4)分别计算当b2 019和b2 019.5时L与a的两交点坐标，从而确定抛物线上及对应的线段上的“美点”个数，即可得出结果【自主解答】1(2020原创)已知点A(1，a)，B(m，n)(m1)是正比例函数y2x图象上一点，反比例函数y的图象经过点A，过点B作BDx轴于D，交反比例函数y的图象于C，连接AC，则下列结论正确的是()Am2时，ACOBB当AB2OA
13、时，BC2CDC存在一个m，使得SBOD3SOCDD四边形AODC的面积固定不变2已知平面直角坐标系xOy中，直线y1x3与抛物线y2x22x的图象如图所示，点P是y2上的一个动点，则点P到直线y1的最短距离是_3(2019石家庄新华区一模)如图，直线y2x2与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y(x0)的图象交于点M，过M作MHx轴于点H，且ABBM，点N(a，1)在反比例函数y(x0)的图象上(1)求k的值；(2)在x轴的正半轴上存在一点P，使得PMPN的值最小，求点P的坐标；(3)点N关于x轴的对称点为N，把ABO向右平移m个单位得到ABO，当NANB取得最小值时，请你在横线上直
14、接写出m的值m_4(2018江西节选)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线yx2bx3经过点(1，0)，则b_，顶点坐标为_，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是_抽象感悟我们定义，对于抛物线yax2bxc(a0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y，则我们称抛物线y为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”(2)已知抛物线yx22x5关于点(0，m)的衍生抛物线为y，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围问题解决(3)已知抛物线yax22axb(a0)若抛物线y的衍生抛物线为ybx22bxa2(b0)，两抛
15、物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标参考答案【例1】 解：(1)把y0代入yx，解得x13，C(13，0)把x5代入yx，解得y3，E(5，3)点B、E关于x轴对称，B(5，3)，设直线AB的解析式为ykxb，则解得直线AB的解析式为yx5；(2)CD5(13)8，DEDB3，OAOD5，SCDE8312，S四边形ABDO(35)520，即S122032.(3)当x13时，yx50.20.点C不在直线AB上，即A，B，C三点不共线他的想法错在将CDB与四边形ABDO拼接后看成了AOC.跟踪训练1B【解析】 将直线yx3向上平移m个单位，所得直线为yx3m，联立得解得
16、则交点坐标为(，)交点在第二象限，即解得1m7.m为整数，m的值为2，3，4，5，6，共5个2D【解析】 对于一次函数y1，令x2，则y11，图象G1经过点(2，1)对于一次函数y2，当x1时，y21，当x2时，y27，图象G2是不包括端点的线段如解图，当G1与G2有公共点时，设公共点为D(m，n)，则1m2，1n7，y1随x的增大而减小，故正确；当G1与G2没有公共点时，如解图中G1位置所示，此时y1随x的增大而增大，故正确；如解图，当k2时，G1与G2平行，此时过点A作AEBC于E，AB3，AC6，BC3，SABCABACBCAE，AE，故正确综上可知，选D.3解：(1)令x0，y1，直线
17、l与y轴的交点坐标为(0，1)；(2)由题意可知A(k，k21)，B(，k)，C(k，k)，当k2时，A(2，5)，B(，2)，C(2，2)，在W区域内有6个整点：(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(1，1)，(1，2)；当k0时，点(0，0)必在W区域内，不合题意；当k0时，若k1，W区域内没有整点；当1k2时，整点(1，1)在W区域内；当k2时，A(2，5)，B(，2)，C(2，2)，W区域内没有整点；当k2时，整点(k1，k1)必在W区域内，综上可知，当W区域内没有整点，则k的取值范围是1k0或k2.4解：(1)令x0，则y8，B(0，8)，令y0，则2x80，x4，A(4
18、，0)(2)点P(m，n)为线段AB上的一个动点，2m8n，A(4，0)，0m4，SOAPE4n2(2m8)4m16.存在EF的最小值为.5解：(1)在yx2中，令y0，得x4，令x0得y2，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，2)(2)由题意知AMt，当点M在y轴的右侧时，OMOAAM4t，N(0，4)，ON4，SOMON4(4t)82t.当点M在y轴的左侧时，OMMAOAt4，SOMON4(t4)2t8.(3)NOMAOB，MOOB2，点M的坐标为(2，0)则4t2，解得t2.(4)OM2，ON4，MN2.MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，NMGOMG，NGONOG，解得
19、OG1，即点G的坐标为(0，1)6解：(1)点E(m，5)在一次函数yx3的图象上，m35，m2.设直线l1的表达式为ykxb，将点A，E代入得解得直线l1的表达式为yx2.(2)由(1)可知，B点坐标为(，0)，C点坐标为(0，3)，SSOBESOCE523.(3)a或3a6.【例2】 解：(1)点A(，4)在反比例函数y的图象上，n6.点B(3，m)在反比例函数y的图象上，m2，点B(3，2)，设直线AB的表达式为ykxb，将点A，B的坐标代入得解得直线AB的表达式为：yx6 .(2)ACx轴于C，AC4，点B到AC的距离为，S143.如解图，设AB与y轴交于点E，则点E的坐标为(0，6)
20、，D(0，1)，DE5，S2SBDESADE535，S2S13 .跟踪训练1A2解：(1)由题意得AB8，SABC16，即8AC16，AC4.b0，点C在第一象限，点C的坐标为(6，4)把点B(2，0)，C(6，4)分别代入ykxb得解得l1的解析式为yx1.(2)当点M是AC中点时，M(6，2)，MNx轴，点N的纵坐标为2，把y2代入yx1得x2，点N的坐标为(2，2)，则点D的坐标为(4，2)点D在双曲线y上，m428，双曲线的函数解析式为y，当x6时，y，点E的坐标为(6，)(3)设M(6，n)，当MD1时，D(5，n)，N(4，n)，把N(4，n)代入yx1得n3，点D的坐标为(5，3
21、)，则m15.【例3】 解：(1)由题意，得x1，解得b2.(2)抛物线yx2bx与y轴相交于点A，A(0，)OA.OBOA，点B的坐标为(，0)或(，0)当B(，0)在抛物线yx2bx上时，b0，解得b，x2x0，解得x11，x2，C(1，0)，当B(，0)在yx2bx上时，点C在点B的右侧，不符合题意，综上可知，BC，b，此时抛物线yx2x的顶点纵坐标为，SBCP.(3)抛物线yx2bx的对称轴为直线x.当1即b2时，最高点纵坐标为1bb，最低点纵坐标为1bb，h2b，当b2时，h4.跟踪训练1B【解析】 令x0得y143，点C的坐标为(0，3)，即OC3，故错误；抛物线的对称轴为直线x1
22、，点D与点C关于直线x1对称，点D的坐标为(2，3)，故正确；令y(x1)240，解得x11，x23，则点A的坐标为(1，0)，点P在AC段抛物线上，3n0，n30，故正确；点M是抛物线顶点，点M的坐标为(1，4)，点C(0，3)，D(2，3)，CDM是等腰直角三角形，且CMD90，点P在AC段抛物线上(不与点A，C重合)，PMDCMD，则不存在点P，使得PMDM，故错误故选B.2.D【解析】 如解图，连接AO，AB，BP，作PHOA于H，BCAO于C，当y0时，x22x0，解得x10，x22，则点B的坐标为(2，0)，由顶点坐标公式得点A的坐标为(，3)，OAAB2，OAABOB，AOB是等
23、边三角形，APx轴，PAO30，PHAP.AP垂直平分OB，POPB，OPAPPBPH，即当点B，P，H共线时，PBPH最小，最小值为BC的长BCAB3，OPAP的最小值为3.3解：(1)D点的坐标为(2，2)；(2)把B(1，1)、C(2，1)代入l的解析式可得解得l的解析式为yx23x1；(3)当E与D重合时，顶点E的坐标为(2，2)，得抛物线解析式为y(x2)22.把y0代入得(x2)220，解得x12，x22，即N(2，0)，M(2，0)，MN2(2)2.当点E的坐标为(1，1)时，得抛物线解析式为y(x1)21，把y0代入得(x1)210，解得x10，x22，即N(2，0)，M(0，
24、0)，MN202.由抛物线平移特点可知，点E在线段AD上任意一点时，MN最大，点E在线段BC上任意一点时，MN最小；当顶点E在正方形ABCD内或边上时，线段MN的取值范围是2MN2；(4)当l经过点B，C时，二次函数的解析式为yx23x1，c1；当l经过点A、D时，E点不在正方形ABCD内或边上，故排除；当l经过点B、D时，解得即c2；当l经过点A、C时，解得即c1；综上所述：l经过正方形ABCD的两个顶点，所有符合条件的c的值为1，1，2.4解：探究：(1)抛物线yax22x3经过点A(3，0)，(3)2a2(3)30，解得a1，该函数的表达式为yx22x3.(2)如解图，过点P作PNAO于
25、点N，交AC于点Q，设直线AC的函数解析式为ykxb，将点A(3，0)，C(0，3)代入得解得直线AC的解析式为yx3.点P在抛物线上，点Q在AC上，P(t，t22t3)，Q(t，t3)，PQyPyQ(t22t3)(t3)t23t，S(t23t)3t2t.St2t(t)2，当t时S最大，最大值为，此时点P的坐标为(，)拓展：a2.【例4】 解：(1)当x0时，yxbb，B (0，b)，AB8，而A(0，b)，b(b)8，b4.L：yx24x，L的对称轴x2，当x2时，yx42，L的对称轴与直线a的交点为(2，2 )；(2)y(x )2 ，L的顶点C的坐标为(，)点C在l下方，C与l的距离b(b
26、2)211，点C与l距离的最大值为1；(3)由題意得y3，即y1y22y3，得bx0b2(x02bx0)，解得x00或x0b.但x00，取x0b，对于L，当y0时，0x2bx，即0x(xb)，解得x10，x2b，b0，右交点D(b，0)点(x0，0)与点D间的距离为b(b ).(4)当b2 019时，抛物线解析式L：yx22 019x, 直线解析式a：yx2 019.联立上述两个解析式并求解得：x11，x22 019，可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且1和2019之间(包括1和2 019)共有2 021个整数；所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，线段和抛物线上各有2 021个
27、整数点，总计4 042个整点，这两段图象交点有2个点重复，美点的个数为4 04224 040(个)；当b2 019.5时，抛物线解析式L：yx22 019.5x，直线解析式a：yx2 019.5，联立上述两个解析式可得：x11，x22 019.5，当x取整数时，在一次函数yx2 019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”个数为0，在二次函数yx22 019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知1到2 019.5之 间有1 009个偶数，当x0时，y0，符合题意，“美点”共有1 010个故b2 019时，“美点”的个数为4 040，b2 019.5时，“美点”的个数为1 0
28、10.跟踪训练1C【解析】 由题意，点A的坐标为(1，2)，则反比例函数解析式为y.当m2时，点B的坐标为(2，4)，则点C的坐标为(2，1)，BC3，AB，OB2，cosOBD，AC与OB不垂直，故A错误；当AB2OA时，点B的横坐标为3，则点B的坐标为(3，6)，点C的坐标为(3，)，则BC6，则BC8CD2CD，故B错误；SOCD|k|21，SBOD3ODBDm2mm2，解得m(负的舍去)即存在m，使得SBOD3SCOD.故C正确；随着点B向右移动，点C到线段AB的距离逐渐增大，则AOC的面积逐渐增大，而SOCD1固定不变，则四边形AODC的面积逐渐增大，故D错误2.【解析】 要使点P到
29、直线y1的距离最小，则过点P作直线y1的平行线y3，当y3与抛物线y2只有一个交点时满足题意设y3的函数解析式为y3xb，与抛物线联立得，整理得x22x2b0，直线y3与抛物线y2只有一个交点，(2)242b0，解得b.y3x，设y1与x轴交于点A，y3与x轴交于点C，过点C作CD直线y1于点D，易得点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(，0)，AC，易得ACD是等腰直角三角形，CD，点P到直线y1的最小距离为.3解：(1)把x0代入y2x2得y2，点B的坐标为(0，2)，OBMH，ABMB，MH2BO4，点M在直线y2x2上，2x24，解得x1，点M的坐标为(1，4)，点M在反比例函数y的图
30、象上，k144.(2)如解图所示，过点N作关于x轴的对称点N，连接MN，交x轴的正半轴于点P，此时PMPN的值最小点N(a，1)在反比例函数y的图象上，a4，则点N的坐标为(4，1)设直线MN的函数解析式为ykxb，将点M，N的坐标代入得解得直线MN的函数解析式为yx，令y0，得x0，解得x，则点P的坐标为(，0)(3)4.754解：(1)4；(2，1)；y(x2)21(2)yx22x5即y(x1)26，顶点坐标为(1，6)点(1，6)关于点(0，m)的对称点为(1，2m6)，衍生抛物线为y(x1)22m6，则(x1)26(x1)22m6，化简得x2m5，两抛物线有交点，m50，m5.(3)yax22axba(x1)2ab，顶点为(1，ab)ybx22bxa2b(x1)2ba2，顶点为(1，ba2)两抛物线交点恰好是顶点，解得(舍去)或顶点分别为(1，0)和(1，12)(1，0)，(1，12)关于衍生中心对称，衍生中心为它们的中点，0，6，衍生中心为(0，6)
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