1、2017-2018学年山西大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）一选择题（本题共12小题，每小题3，共36在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1（3分）i是虚数单位，则复数的虚部为（）A2iB2C2D2i2（3分）若f（x）x22x4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A（1，0）B（1，0）（2，+）C（2，+）D（0，+）3（3分）已知函数yx33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c（）A2或2B9或3C1或1D3或14（3分）若f（x）在R上可导，f（x）x2+2f（2）x+3，则f（x）dx（）A16B54C24D185（3分）5个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序
2、出现不同的排法有（）A120种B80种C48种D20种6（3分）设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R（）ABCD7（3分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ae2B2e2C4e2D8（3分）若x3是函数f（x）（x2+ax+1）ex的极值点，则f（x）的极大值为（）A2eB2e3C2e3D6e19（3分）某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课程
3、表的不同排法种数为（）A600B288C480D50410（3分）函数f（x）xlnx+x2ax+2恰有一个零点，则实数a的值为（）A1B1C2D311（3分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）A150种B180种C200种D280种12（3分）若对于x1，x2（，m），且x1x2，都有，则m的最大值是（）A2eBeC0D1二、填空题（本大题共4小题，每小题4，共16分13（4分）计算：+ （用数字作答）14（4分）由直线yx+2与曲线yx2围成的封闭图形的面积是 15（4分）如果函数f（x）lnx+ax22x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是
4、16（4分）已知函数f（x）是函数f（x）的导函数，f（1）e，对任意实数x都有2f（x）f（x）0，则不等式的解集为 三、解答题（本大题共5题，共48分）17（8分）已知复数z1+mi（i是虚数单位，mR），且为纯虚数（是z的共轭复数）（）设复数，求|z1|；（）设复数，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围18（10分）若函数f（x）ax3bx+4当x2时，函数f（x）取得极值（1）求函数的解析式；（2）求函数f（x）在区间3，3上的最值19（10分）已知函数f（x）ex（ax+b）x24x，曲线yf（x）在点（0，f（0）处切线方程为y4x+4（）求a，b的值；（）讨论f（x
5、）的单调性，并求f（x）的极大值20（10分）已知函数f（x）mlnx（1）求函数f（x）的极值；（2）若m1，试讨论关于x的方程f（x）x2（m+1）x的解的个数，并说明理由21（10分）已知函数f（x）lnxa2x2+ax，aR，且a0（1）若函数f（x）在区间1，+）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）（3a+1）x（a2+a）x2，当x1时，f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围2017-2018学年山西大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本题共12小题，每小题3，共36在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1（3分）i是虚数单
6、位，则复数的虚部为（）A2iB2C2D2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，复数的虚部为2，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（3分）若f（x）x22x4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A（1，0）B（1，0）（2，+）C（2，+）D（0，+）【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f（x）的单调递增区间【解答】解：函数的定义域为（0，+）求导函数可得：f（x）2x2，令f（x）0，可得2x20，x2x20，x1或x2x0，x2f（x）的单调递增区间为（2，+）故选：C【点评】本题考查导数知识的
7、运用，考查函数的单调性，正确求导是关键3（3分）已知函数yx33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c（）A2或2B9或3C1或1D3或1【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数yx33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值【解答】解：求导函数可得y3（x+1）（x1），令y0，可得x1或x1；令y0，可得1x1；函数在（，1），（1，+）上单调增，（1，1）上单调减，函数在x1处取得极大值，在x1处取得极小值函数yx33x+c的图象与x轴恰有两个公共点，极大值等于0或极小值等于013+c0或1+3+c0，c2或2故选：A【点评】
8、本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于04（3分）若f（x）在R上可导，f（x）x2+2f（2）x+3，则f（x）dx（）A16B54C24D18【分析】首先通过已知等式两边求导令x2得到f（2），求出f（x），然后代入定积分计算即可【解答】解：由已知得到f（x）2x+2f（2），令x2，则f（2）4+2f（2），解得f（2）4，所以f（x）x28x+3，所以f（x）dx（x28x+3）dx（）18；故选：D【点评】本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等基础知识，关键是求出x 的系数f（2）5（3分）5个节目，若甲、乙、丙三个节目按
9、给定顺序出现不同的排法有（）A120种B80种C48种D20种【分析】根据题意，设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为a，b；分2步进行分析：先将甲乙丙三个节目按给定顺序排好，再将a、b依次插入到空位之中，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为a，b；分2步进行分析：，将甲乙丙三个节目按给定顺序排好，排好后有4个空位，将a安排到空位中，有4种情况，排好后有5个空位，将b安排到空位中，有5种情况，则不同的排法有4520种；故选：D【点评】本题考查排列、组合的应用，注意分步计数原理的应用，属于基础题6（3分）设ABC的三边长分别为a、b、c，AB
10、C的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R（）ABCD【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 R故选：C【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到
11、另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）7（3分）曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ae2B2e2C4e2D【分析】由题意作图，求导y，从而写出切线方程为ye2e2（x4）；从而求面积【解答】解：如图，y；故y|x4e2；故切线方程为ye2e2（x4）；当x0时，ye2，当y0时，x2；故切线与坐标轴所围三角形的面积S2e2e2；故选：A【点评】本题考查了导数的求法及曲线切线的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题8（3分）若x3是函数f（x）（x2+ax+1）ex的极值点，则
12、f（x）的极大值为（）A2eB2e3C2e3D6e1【分析】求得f（x）的导数，由题意可得得f（3）（16+4a）e30，解得a，再由单调区间，可得f（x）的极大值【解答】解：函数f（x）（x2+ax+1）ex的导数为f（x）（x2+ax+1+2x+a）ex，由x3是函数f（x）（x2+ax+1）ex的极值点，可得f（3）（16+4a）e30，解得a4，可得f（x）（x22x3）ex，则1x3时，f（x）递减；x3或x1时，f（x）递增，可得f（x）的极大值为f（1）6e1，故选：D【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查方程思想和运算能力，属于基础题9（3分）某学校周五安排有语文、
13、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为（）A600B288C480D504【分析】该题这种学校安排课表是有条件限制排列问题，可看做是6个不同的元素填6个空的问题，条件限制是体育不排第一节，数学不排第四节，所以解答时分体育在第四节和体育不在第四节两类，体育在第四节既满足了体育不在第一节的条件，也满足了数学不在第四节的条件，当体育不在第四节时，数学也不能在第四节，则先安排第四节课，然后安排第一节课，最后安排剩余的四节课，安排完后利用分布乘法计数原理求第二类的方法种数，最后两类的方法种数作和即可【解答】解：学校安排六节课程可看做是
14、用6个不同的元素填6个空的问题，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类一类是体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是120种；一类是体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课中任取1节来安排，有4种安排方法，然后安排第一节课，第一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的3各科目及数学科目4个科目中任选1节，有4种安排方法，最后剩余的4各科目和4节课可全排列有24种排法，由分步计数原理，第二类安排方法共有4424384种所以这天课表的不同排法种数为120+384504种故选：D【点评】本题考查了排列
15、、组合既简单的计数问题，解答的关键是正确分类，求解时做到不重不漏，是基础题10（3分）函数f（x）xlnx+x2ax+2恰有一个零点，则实数a的值为（）A1B1C2D3【分析】“函数f（x）xlnx+x2ax+2恰有一个零点”即“alnx+x+在（0，+）上有且只有一个根”，所以利用导数判断出函数h（x）lnx+x+的单调性，求出最值，即可求得a的值【解答】解：由题意得，方程xlnx+x2ax+20在（0，+）上有且只有一个根，即alnx+x+在（0，+）上有且只有一个根，令h（x）lnx+x+，则h（x）+1，易知h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以h（x）minh（
16、1）3，由题意可知，若使函数f（x）xlnx+x2ax+2恰有一个零点，则ah（x）min3故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值、最值，考查转化思想和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题11（3分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）A150种B180种C200种D280种【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3；分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有60种，若是1，2，2，则有90种所以共有150种，故选：A【点评】本题
17、考查组合的运用，难点在于分组的情况的确定12（3分）若对于x1，x2（，m），且x1x2，都有，则m的最大值是（）A2eBeC0D1【分析】令f（x），利用导数法可得f（x）的单调递增区间，进而得到答案【解答】解：当x1x2时，若有，则，即，即，即，令f（x），则f（x），当x0时，f（x）0，f（x）为增函数，满足条件，故m的最大值是0，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，将已知转化为求f（x）的单调递增区间是解答的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题4，共16分13（4分）计算：+84（用数字作答）【分析】由组合数的性质Cn+1mnm+nm1化简并计算可得【解答】解：由组合
18、数的性质可得+84故答案为：84【点评】本题考查组合数的性质和组合数的运算，属基础题14（4分）由直线yx+2与曲线yx2围成的封闭图形的面积是【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：由得x2x+2，即x2x20，解得x1或x2，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S（x+2x2）dx（x3+x2+2x）|，故答案为：【点评】本题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键15（4分）如果函数f（x）lnx+ax22x有两个不同的极值点，那么实数a的范围是【分析】求出函数的导数，利用导函数有
19、两个极值点，列出不等式求解即可【解答】解：函数f（x）lnx+ax22x，函数的定义域：x0，可得：f（x）+2ax2，函数f（x）lnx+ax22x有两个不同的极值点，可得：2ax22x+10，有两个不相等的正实数根，可得a0，并且48a0，解得a（0，）故答案为：（0，）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力16（4分）已知函数f（x）是函数f（x）的导函数，f（1）e，对任意实数x都有2f（x）f（x）0，则不等式的解集为（1，+）【分析】利用已知条件，构造新函数，判断其单调性，然后依托新函数来解给定的不等式【解答】解：注意到已知条件f（x
20、）2f（x）0，以及可以变形为，构造函数，则由已知条件可得，f（x）2f（x）0，即g（x）0，故函数g（x）单调递减，令x1，则，又待求解不等式可以变形为，即g（x）g（1），由函数g（x）的单调性可知，x1则所求不等式的解集为（1，+）故答案是（1，+）【点评】利用已知条件，来构造函数以解决给定的不等式，这需要学生有一定的数学素养，同时提醒注意构造函数的技巧三、解答题（本大题共5题，共48分）17（8分）已知复数z1+mi（i是虚数单位，mR），且为纯虚数（是z的共轭复数）（）设复数，求|z1|；（）设复数，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围【分析】由已知列式求出m值（）把
21、m值代入，直接利用复数模的计算公式求解；（）把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解【解答】解：z1+mi，又为纯虚数，解得m3z13i（），；（）z13i，又复数z2所对应的点在第四象限，解得【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是中档题18（10分）若函数f（x）ax3bx+4当x2时，函数f（x）取得极值（1）求函数的解析式；（2）求函数f（x）在区间3，3上的最值【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值点，以及函数的极值，求出a，b，即可得到函数的解析式（2）求出函数的极值点，判断函数的
22、单调性，求出极值与端点的函数值，即可得到函数的最值【解答】（8分）解：（1）f（x）3ax2b，由题知：f（2）0且，则代入有：f（2）12ab0且解得，则函数解析式为：（3分）（2）由（1）知：f（x）x24，令f（x）0解得x2或x2当x（3，2）时，f（x）0，则f（x）在（3，2）上单调递增当x（2，2）时，f（x）0，则f（x）在（2，2）上单调递减当x（2，3）时，f（x）0，则f（x）在（2，3）上单调递增则f（x）在x2处取极大值，在x2处取极小值又f（3）7，f（3）1，则f（x）在3，3上的最大值为，最小值为（8分）【点评】本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性以及
23、函数的最值的求法，考查计算能力19（10分）已知函数f（x）ex（ax+b）x24x，曲线yf（x）在点（0，f（0）处切线方程为y4x+4（）求a，b的值；（）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值【分析】（）求导函数，利用导数的几何意义及曲线yf（x）在点（0，f（0）处切线方程为y4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值【解答】解：（）f（x）ex（ax+b）x24x，f（x）ex（ax+a+b）2x4，曲线yf（x）在点（0，f（0）处切线方程为y4x+4f（0）4，f（0）4b4，a+b8a4，b4；（）由（）知，
24、f（x）4ex（x+1）x24x，f（x）4ex（x+2）2x44（x+2）（ex），令f（x）0，得xln2或x2x（，2）或（ln2，+）时，f（x）0；x（2，ln2）时，f（x）0f（x）的单调增区间是（，2），（ln2，+），单调减区间是（2，ln2）当x2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（2）4（1e2）【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键20（10分）已知函数f（x）mlnx（1）求函数f（x）的极值；（2）若m1，试讨论关于x的方程f（x）x2（m+1）x的解的个数，并说明理由【分析】（1）求出函数的导数，通过
25、讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性求出函数的零点的个数即可【解答】解：（1）依题意得，x（0，+）当m0时，f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）无极值；2分当m0时，令f（x）0，或（舍）当时，f（x）0，函数f（x）在上单调递减；当时，f（x）0，函数f（x）在上单调递增故函数f（x）有极小值5分综上所述：当m0时，f（x）无极值；当m0时，f（x）有极小值，无极大值 6分（2）令F（x）f（x）x2+（m+1）xx2+（m+1）xmlnx，x0，问题等价于求F（x）函数的零点个数易得当m1时，
26、F（x）0，函数F（x）为减函数，因为，F（4）ln40，所以F（x）有唯一零点； 8分当m1时，则当0x1或xm时，F（x）0，而当1xm时，F（x）0，所以，函数F（x）在（0，1）和（m，+）上单调递减，在（1，m）单调递增，因为，F（2m+2）mln（2m+2）0，所以函数F（x）有唯一零点综上，若m1，函数F（x）有唯一零点，即方程方程f（x）x2（m+1）x有唯一解12分【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题21（10分）已知函数f（x）lnxa2x2+ax，aR，且a0（1）若函数f（x）在区间1，+）上是减函数，求实数a
27、的取值范围；（2）设函数g（x）（3a+1）x（a2+a）x2，当x1时，f（x）g（x）恒成立，求a的取值范围【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a的取值范围，（2）当x1时，f（x）g（x）恒成立，转化为lnxx2axax2，在（1，+）恒成立，构造函数h（x）lnxx，利用导数求出函数最值，得到ax22ax10，在（1，+）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a的取值范围【解答】解：（1）f（x）lnxa2x2+ax，其定义域为（0，+），f（x）2a2x+a当a0时，f（x）0，f（x）在区间（0，+）上为增函数，不合题意当a0时，f（x）
28、0（x0）等价于（2ax+1）（ax1）0（x0），即x此时f（x）的单调递减区间为（，+）依题意，得解之，得a1当a0时，f（x）0（x0）等价于（2ax+1）（ax1）0（x0），即x此时f（x）的单调递减区间为（，+）依题意，得解之，得a综上所述，实数a的取值范围是（，1，+）（2）g（x）（3a+1）x（a2+a）x2，f（x）g（x）lnx（2a+1）x+ax20，即lnxx2axax2，在（1，+）恒成立，设h（x）lnxx，则h（x）10恒成立，h（x）在（1，+）为减函数，h（x）h（1）1，ax22ax10，在（1，+）上恒成立，设（x）ax22ax1当a0时，10，符合题意，当a0时，显然不满足题意，当a0，由于对称轴x1，则（1）0，即a2a10，解得1a0，综上所述，a的取值范围为（1，0【点评】本题考查了导数和函数的单调性以及最值的关系，和二次函数的性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题
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