1、2018-2019学年山西省运城中学、芮城中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）在一次数学测试中，成绩在区间125，150上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为（）A（p）（q）Bp（q）C（p）（q）Dpq2（5分）抛物线y3x2的焦点坐标是（）ABCD3（5分）2x25x30的一个必要不充分条件是（）Ax3Bx0C3xD1x64（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）AyxByxCyxDy2x5（5分）四面
2、体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点（靠近N），若，则（）ABCD6（5分）点P（2，3）到直线ax+y2a0的距离为d，则d的最大值为（）A3B4C5D77（5分）如图：在直棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，P，Q，M分别是A1B1，BC，CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）ABCD8（5分）九章算术商功：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，ABBC4，AA15，M是A1C1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体
3、，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（）A40BC50D9（5分）直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（）ABC1D10（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为A，若|AA|2p，则|BF|（）ABCDP11（5分）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（1，0），F2（1，0），短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为A1，A2，若F1MN为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且 TA2斜率的取值范围是，那么 T
4、A1斜率的取值范围是（）A1，2BC4，2D2，112（5分）如图：已知双曲线中，A1，A2为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i1，2），使得PiA1A2（i1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（）ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）“”是假命题，则实数m的取值范围是 14（5分）已知，若三向量共面，则实数 15（5分）如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，则CD的长为 16（5分）椭圆
5、有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为 三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知命题p：方程表示双曲线；命题q：（xk）（xk+1）0，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围18（12分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：（x1）2+（y2）21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为（R），设C2与
6、C3的交点为M，N，求C2MN的面积19（12分）如图：直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BCAC2，AA14，D为棱CC1上的一动点，M，N分别是ABD，A1B1D的重心，（1）求证：MNBC；（2）若点C在ABD上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值20（12分）设抛物线C：x24y，点P（1，0），过点P作直线l，（1）若l与C只有一个公共点，求l的方程（2）l过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长|AB|； 以A，B为直径的圆的方程21（12分）如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AEBF2，AB2，现将梯形沿CB，DA折起，使EFAB且EF2A
7、B，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点（）求证：MN平面BCF；（）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小22（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率e（）求椭圆E的方程；（）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由2018-2019学年山西省运城中学、芮城中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）在一次数
8、学测试中，成绩在区间125，150上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为（）A（p）（q）Bp（q）C（p）（q）Dpq【分析】求出p，q，结合或且非的意义进行求解即可【解答】解：由题意值p是“甲测试成绩不优秀”，q是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用（p）（q）表示，故选：A【点评】本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键2（5分）抛物线y3x2的焦点坐标是（）ABCD【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线y3x2的焦
9、点坐标【解答】解：在抛物线y3x2，即x2y，p，焦点坐标是 （0，），故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础3（5分）2x25x30的一个必要不充分条件是（）Ax3Bx0C3xD1x6【分析】通过解二次不等式求出2x25x30的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到2x25x30的一个必要不充分条件【解答】解：2x25x30的充要条件为对于A是2x25x30的充要条件对于B，是2x25x30的充分不必要条件对于C，2x25x30的不充分不必要条件对于D，是2x25x30的一个必要不充分条件故选：D【点评】解决一个命题是另一个命题的什
10、么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法4（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）AyxByxCyxDy2x【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程【解答】解：由题意可得e，即为c2a2，由c2a2+b2，可得b2a2，即a2b，双曲线的渐近线方程为yx，即为y2x故选：D【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题5（5分）四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点（靠近N），若，则（
11、）ABCD【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题【解答】解：根据题意得，+（）+（+故选：B【点评】本题考查平面向量基本定理的简单应用6（5分）点P（2，3）到直线ax+y2a0的距离为d，则d的最大值为（）A3B4C5D7【分析】直线ax+y2a0即a（x2）+y0，令，解得直线经过定点Q则当PQl时，d取得最大值|PQ|【解答】解：直线ax+y2a0即a（x2）+y0，令，解得x2，y0可得直线经过定点Q（2，0）则当PQl时，d取得最大值|PQ|PQ|3故选：A【点评】本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）如图：在直棱柱ABCA1B1C1
12、中，AA1ABAC，ABAC，P，Q，M分别是A1B1，BC，CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）ABCD【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1ABAC2，分别求出与的坐标，利用空间向量求解【解答】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设AA1ABAC2，则A（0，0，0），M（0，2，1），P（1，0，2），Q（1，1，0），cos直线PQ与AM所成的角是故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题8（5分）九章算术商功：“今有堑堵，下
13、广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，ABBC4，AA15，M是A1C1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（）A40BC50D【分析】取A1B1的中点N，连结MN，BN，则三棱台A1MNABC的表面积为S+S梯形MNBC+【解答】解：几何体是一个“堑堵”，ABBC4，AA15，M是A1C1的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取A1B1的中点N，连结MN，BN，2，BN，三棱台A1MNABC的表面积为：S+S梯
14、形MNBC+（）5+（2+4）+25+15故选：B【点评】本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题9（5分）直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（）ABC1D【分析】由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率【解答】解：由+y21，得a22，b21，c2a2b2211则c1，则左焦点F（1，0）由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的
15、方程为ykx+k设l与椭圆相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k220则PQ的中点M的横坐标为FMO是以OF为底边的等腰三角形，解得：k故选：B【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题10（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为A，若|AA|2p，则|BF|（）ABCDP【分析】讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为yk（x），与抛物线联立消去y得x1x2的值；利用|AA|求出x
16、A的值，再求xB的值，从而求得|BF|的值【解答】解：抛物线y22px（p0）的焦点为F（，0），准线为l：x，当直线m的斜率不存在时，|AA|p，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为yk（x），与抛物线联立，得，消去y整理得k2x2（k2p+2p）x+0，x1x2，又|AA|2p，xAp，xB，|BF|xB（）+故选：C【点评】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题11（5分）已知椭圆C的两个焦点分别是F1（1，0），F2（1，0），短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为A1，A2，若F1MN为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且 TA2
17、斜率的取值范围是，那么 TA1斜率的取值范围是（）A1，2BC4，2D2，1【分析】由已知求得椭圆方程，分别求出A1，A2的坐标，再由斜率之间的关系列式求解【解答】解：设椭圆方程为（ab0）由F1MN为等腰直角三角形，且F1（1，0），得，解得a，b1则椭圆C的方程为则，设T（x0，y0）（），则，得，又，解得：TA1斜率的取值范围是4，2故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题12（5分）如图：已知双曲线中，A1，A2为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i1，2），使得PiA1A2（i1，2）构成以A
18、1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（）ABCD【分析】求出直线BF的方程为bx+cybc0，利用直线与圆的位置关系，结合ab，即可求出双曲线离心率e的取值范围【解答】解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cybc0，在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i1，2），使得PiA1A2（i1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，a，e43e2+10，e1，e在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i1，2），使得A1PiA2，可得ab，a2c2a2，e，e故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系
19、，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）“”是假命题，则实数m的取值范围是（1，+）【分析】特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可【解答】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：x0R，x02+2x0+m0”是真命题，则224m0，解得：m1故答案为：（1，）【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题14（5分）已知，若三向量共面，则实数1【分析】推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出【解答】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，解得x1，y1，3+21故答案为：
20、1【点评】本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，则CD的长为【分析】由已知可得，利用数量积的性质即可得出【解答】解：由条件，知，所以+2+2+262+42+82+268cos12068所以CD2故答案为：2【点评】本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键16（5分）椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其
21、长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为或或【分析】由题意画出图形，分类求解得答案【解答】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：4a5c，则e；图2中：2（ac）5c，则e；图3中，2（a+c）5c，则e椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知命题p：方程表示双曲线；命题q：（xk）（xk+1）0，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围【分析】求
22、出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可【解答】解：p真：（4k）（k1）0得k4或k1，q真：k1xk，p是q的充分不必要条件，若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件qp，pq，则有k14或k1，k5或k1，即实数k的取值范围是k5或k1【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键18（12分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：（x1）2+（y2）21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为（
23、R），设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积【分析】（）由条件根据xcos，ysin求得C1，C2的极坐标方程（）把直线C3的极坐标方程代入23+40，求得1和2的值，结合圆的半径可得C2MC2N，从而求得C2MN的面积C2MC2N的值【解答】解：（）由于xcos，ysin，C1：x2 的极坐标方程为 cos2，故C2：（x1）2+（y2）21的极坐标方程为：（cos1）2+（sin2）21，化简可得2（2cos+4sin）+40（）把直线C3的极坐标方程（R）代入圆C2：（x1）2+（y2）21，可得2（2cos+4sin）+40，即2（+2）+40，求得12，2，|MN|12|，由于
24、圆C2的半径为1，C2MC2N，C2MN的面积为 C2MC2N11【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于中档题19（12分）如图：直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BCAC2，AA14，D为棱CC1上的一动点，M，N分别是ABD，A1B1D的重心，（1）求证：MNBC；（2）若点C在ABD上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值【分析】（1）由CC1，C1A1，C1B1两两互相垂直，以C1为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明MNBC（2）求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值【解答】证明：（1）有题意知，CC1，C1A
25、1，C1B1两两互相垂直，以C1为原点建立空间直角坐系如图所示，则A1（2，0，0），B1（0，2，0），A（2，0，4），B（0，2，4）设D（0，0，a）（0a4）C（0，0，4）M，N分别为ABD和A1B1D的重心，BCMN解：（2）C在ABD上的射影为M，CM面ABD，又，得，解得得a2，或a6（舍）a2，（），设面ABD的法向量为（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设DN与平面ABD所成角为则sin，DN与平面ABD所成角的正弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12
26、分）设抛物线C：x24y，点P（1，0），过点P作直线l，（1）若l与C只有一个公共点，求l的方程（2）l过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长|AB|； 以A，B为直径的圆的方程【分析】（1）讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；（2）写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长|AB|，再求以AB为直径的圆的方程【解答】解：（1）若l的斜率不存在，则l：x1，符合题意；1分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：yk（x1）；2分由，消去y得x24kx+4k0，由16k216k0，解得k0或k1，直线l的方程为：y0或yx1；5分综上所述，直线l的方程为：x1或y0或yx1；
27、6分（2）抛物线的焦点为F（0，1），直线l的方程为：yx+1；设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x得y26y+10，y1+y26；又|AB|y1+y2+p，|AB|8；9分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为M（x0，y0），则y03，x02，圆心为M（2，3），所求圆的方程为（x+2）2+（y3）216；综上所述，|AB|8，所求圆的方程为（x+2）2+（y3）21612分【点评】本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题21（12分）如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AEBF2，AB2，现将梯形沿CB，DA折起，使EFAB且EF2AB，得一
28、简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点（）求证：MN平面BCF；（）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小【分析】（I）连结AC，通过证明MNCF，利用直线与平面平行的判定定理证明MN平面BCF（II）先由线面垂直的判定定理可证得AD平面ABFE，可知DEA就是DE与平面ABFE所成的角，解RtDAE，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案【解答】证明：（）连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，N为
29、AC中点在ACF中，M为AF中点，故MNCFCF平面BCF，MN平面BCF，MN平面BCF（）依题意知DAAB，DAAE且ABAEAAD平面ABFE，DE在面ABFE上的射影是AEDEA就是DE与平面ABFE所成的角故在RtDAE中：设PEF且APEF，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大22（12分）已知椭圆E的中心在原点，
30、焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率e（）求椭圆E的方程；（）过点（1，0）作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（），由此能导出所求椭圆E的方程（）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：xky+，由1，整理得：（k2+2）y2+2ky10，假设存在定点M（m，0），使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有（恒为定值）【解答】解：（），所求椭圆E的方程为：（5分）（）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：xky+1，把（2）代入（1）整理得：（k2+2）y2+2ky10（3），（8分）假设存在定点M（m，0），使得为定值（ky1+1m）（ky2+1m）+y1y2（k2+1）y1y2+k（1m）（y1+y2）+（1m）2当且仅当54m0，即时，（为定值）这时（12分）再验证当直线l的倾斜角0时的情形，此时取，存在定点使得对于经过（1，0）点的任意一条直线l均有（恒为定值）【点评】本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化
浙公网安备33030202001339号