1、2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）抛物线的焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）2（4分）圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1，则a（）ABCD23（4分）已知直线l的参数方程是，则直线l的斜率为（）ABC1D14（4分）已知椭圆：+1的焦距为4，则m等于（）A4B8C4或8D以上均不对5（4分）已知向量，则k等于（）A12B12C6D66（4分）已知 f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0对，f
2、（x），f（f（16）（）ABCD7（4分）已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点，若|AB|5，则ABF1的周长为（）A16B20C21D268（4分）已知直线ax+by+c10（bc0）经过圆x2+y22y50的圆心，则的最小值是（）A9B8C4D29（4分）函数f（x）ln（x2+1）的图象大致是（）ABCD10（4分）已知椭圆1（ab0）的左，右焦点为F1，F2，离心率为eP是椭圆上一点，满足PF2F1F2，点Q在线段PF1上，且若0，则e2（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）11（4分）若直
3、线x+2my10与直线（3m1）xmy10平行，那么实数m的值为 12（4分）圆心在A（2，0）半径为1的圆的极坐标方程是 13（4分）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2（ab）2+6，C，则ABC的面积是 14（4分）长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是 三、解答题（大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（8分）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）若bnlog2an，求数列an+bn的前n项和Tn
4、16（8分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程是x+2y10，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线l和圆C的极坐标方程；（）已知射线OM：（其中0）与圆C交于O、P，射线OQ：+与直线l交于点Q，若|OP|OQ|6，求的值17（8分）已知圆C：x2+y2+2x4y+10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）当|PO|PM|时，求点P的轨迹方程P；（3）求两切点所在直线方程18（10分）已知函数f（x）sin（2x）+2cos2x1（0）的最小正周期为（）求的值；（
5、）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值19（10分）椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与椭圆C相较于P、Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围四、附加题（本大题共2小题，共20分）20（10分）数列an满足，求的值21（10分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（RtFHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知AB20米，AD10米，记BHE（1）试将污水净
6、化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（2）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）抛物线的焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）【分析】根据题意，先将抛物线的方程变形为标准方程的形式，分析可得抛物线的焦点位置以及p的值，进而可得其焦点坐标，即可得答案【解答】解：根据题意，抛物线的方程为：，则其标准方程为：x24y，其焦点在y轴正半轴上，且p2，则其焦点
7、坐标为（0，1）；故选：D【点评】本题考查抛物线的标准方程和性质，注意先将抛物线的方程变形为标准方程的形式2（4分）圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1，则a（）ABCD2【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案【解答】解：圆x2+y22x8y+130的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y10的距离d1，解得：a，故选：A【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档3（4分）已知直线l的参数方程是，则直线l的斜率为（）ABC1D1【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，分析可得答案【解答】解：根据题意，直线l的参数
8、方程是，其普通方程为（y2）+（x1）0，即yx+3，直线l的斜率为1；故选：D【点评】本题考查直线的参数方程，注意将直线的参数方程变形为普通方程，属于基础题4（4分）已知椭圆：+1的焦距为4，则m等于（）A4B8C4或8D以上均不对【分析】首先分两种情况：（1）焦点在x轴上时：10m（m2）4（2）焦点在y轴上时m2（10m）4分别求出m的值即可【解答】解：（1）焦点在x轴上时：10m（m2）4解得：m4（2）焦点在y轴上时m2（10m）4解得：m8故选：C【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题5（4分）已知向量，则k等于
9、（）A12B12C6D6【分析】用数量积公式列方程计算【解答】解：因为（2，1），（1，k），2（5，2k），25+1（2k）0，解得：k12，故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质及其运算属基础题6（4分）已知 f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0对，f（x），f（f（16）（）ABCD【分析】由题意，利用奇偶性可得f（16）f（16）log2164；再求f（4）即可【解答】解：由题意，f（16）f（16）log2164；故f（f（16）f（4）f（4）cos；故选：C【点评】本题考查了分段函数的应用，属于基础题7（4分）已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该
10、双曲线的右支交于A、B两点，若|AB|5，则ABF1的周长为（）A16B20C21D26【分析】根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长【解答】解：由双曲线的方程可知a4，则|AF1|AF2|8，|BF1|BF2|8，则|AF1|+|BF1|（|BF2|+|AF2|）16，即|AF1|+|BF1|BF2|+|AF2|+16|AB|+165+1621，则ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|21+526，故选：D【点评】本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到A，B到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键8（4分）已知直线ax+by+c10（bc0）经过圆x2+y22y50的
11、圆心，则的最小值是（）A9B8C4D2【分析】将圆化成标准方程可得圆心为C（0，1），代入题中的直线方程算出b+c1，从而化简得+5，再根据基本不等式加以计算，可得当b且c时，的最小值为9【解答】解：圆x2+y22y50化成标准方程，得x2+（y1）26，圆x2+y22y50的圆心为C（0，1），半径r直线ax+by+c10经过圆心C，a0+b1+c10，即b+c1，因此，（b+c）（）+5，b、c0，24，当且仅当时等号成立由此可得当b2c，即b且c时，+5的最小值为9故选：A【点评】本题给出已知圆的圆心在直线ax+by+c10上，在b、c0的情况下求的最小值着重考查了直线与圆的位置关系、圆
12、的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题9（4分）函数f（x）ln（x2+1）的图象大致是（）ABCD【分析】x2+11，又ylnx在（0，+）单调递增，yln（x2+1）ln10，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案【解答】解：x2+11，又ylnx在（0，+）单调递增，yln（x2+1）ln10，函数的图象应在x轴的上方，又f（0）ln（0+1）ln10，图象过原点，综上只有A符合故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题10（4分）已知椭圆1（ab0）的左，右焦点为F1，F2，离心率为eP是椭圆上一点，满足PF2F1F2，点Q在
13、线段PF1上，且若0，则e2（）ABCD【分析】由题意求得P点坐标，根据向量的坐标运算求得Q点坐标，由0，求得b42c2a2，则b2a2c2，根据离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率【解答】解：由题意可知：PF2F1F2，则P（c，），由，（xQ+c，yQ）2（cxQ，yQ），则Q（，），（2c，），（，），由0，则2c（）+0，整理得：b42c2a2，则（a2c2）22c2a2，整理得：a44c2a2+c40，则e44e2+10，解得：e22，由0e1，则e22，故选：C【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题
14、4分，共16分.把答案填在题中横线上）11（4分）若直线x+2my10与直线（3m1）xmy10平行，那么实数m的值为0或【分析】先检验m0时，两条直线的斜率都不存在的情况再考虑m0时，两条直线的斜率都存在的情况，此时，两直线平行的充要条件是斜率相等，且在y 轴上的截距不相等，解出实数m的值【解答】解：当m0时，两条直线的斜率都不存在，两直线的方程分别为x10和 x+10，显然两直线平行当m0时，两条直线的斜率都存在，两直线平行的充要条件是斜率相等，且在y 轴上的截距不相等，即 ，且 ，解得 m，综上，实数m的值为 0或，故答案为0或【点评】本题考查两条直线平行的条件，注意检验两条直线的斜率都
15、不存在的情况，体现了分类讨论的数学思想12（4分）圆心在A（2，0）半径为1的圆的极坐标方程是24cos+30【分析】根据xcos，2x2+y2将普通方程转化为极坐标方程即可【解答】解：由题意，圆的标准方程是：（x2）2+y21，展开得：x24x+4+y21，由xcos，2x2+y2得：24cos+30，故答案为：24cos+30【点评】本题考查了普通方程和极坐标方程的转化，是一道基础题13（4分）在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2（ab）2+6，C，则ABC的面积是【分析】利用余弦定理，结合c2（ab）2+6，C，求出ab6，利用SABCabsinC，求出ABC的面
16、积【解答】解：由c2（ab）2+6，可得c2a2+b22ab+6，由余弦定理：c2a2+b22abcosCa2+b2aba2+b2ab，所以：a2+b22ab+6a2+b2ab，所以ab6；所以SABCabsinC6故答案为：【点评】本题考查余弦定理，正弦定理的运用，考查学生的计算能力，确定ab6是关键14（4分）长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是【分析】设A、B、M抛物线的准线上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN根据梯形中位线定理证出|MN|（|AC|+|BD|），利用抛物线的定义得|AC|+|BD|AF|+|BF|，由此结合平面几
17、何的知识证出|MN|AB|1，即可求出AB中点M到y轴距离的最小值【解答】解：设抛物线的准线为l，A、B、M在l上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN由梯形的中位线定理，可得|MN|（|AC|+|BD|）连结AF、BF，根据抛物线的定义得|AF|AC|，|BF|BD|根据平面几何知识，可得|AF|+|BF|AB|，当且仅当点F在AB上时取等号|AC|+|BD|AB|2，可得|MN|（|AC|+|BD|）|AB|1设M的横坐标为a，抛物线的准线方程为x则|MN|a+1，得a因此，当且仅当线段AB为抛物线经过焦点的弦时，AB中点M到y轴距离的最小值为故答案为：【点评】本题给出抛物线长度为2
18、的弦，当弦在抛物线上滑动时求它的中点到y轴的最小距离着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题三、解答题（大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（8分）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）若bnlog2an，求数列an+bn的前n项和Tn【分析】（1）当n2时，anSnSn1，可得出数列an是等比数列，再用等比数列的通项公式可得；（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）n2时Sn2an2Sn12an12得an2an1，2，又S12a12a12，数列an是首项为2，公比为2的等比
19、数列，an2n；（2）bnlog2ann，Tn（a1+b1）+（a2+b2）+（an+bn）（a1+a2+an）+（b1+b2+bn）（2+22+2n）+（1+2+n）+2（2n1）+【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、利用分组求和法是解决本题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16（8分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程是x+2y10，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线l和圆C的极坐标方程；（）已知射线OM：（其中0）与圆C交于O、P，射线OQ：+与直线l交于点Q，若|OP|OQ|6，求的值【分析】（
20、）由xcos，ysin，能求出直线l的极坐标方程；由曲线C的参数方程求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆C的极坐标方程（）由|OP|6cos，|OQ|，由6，得tan1，由此能求出的值【解答】解：（）直线l的方程是x+2y10，xcos，ysin，直线l的极坐标方程为cos+2sin10，即曲线C的参数方程为（为参数），圆C的直角坐标方程为（x3）2+y29，圆C的极坐标方程为6cos（）由题意得|OP|6cos，|OQ|，则6，解得tan1，又0，【点评】本题考查直线与圆的极坐标的求法，考查角的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想
21、，是中档题17（8分）已知圆C：x2+y2+2x4y+10，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）当|PO|PM|时，求点P的轨迹方程P；（3）求两切点所在直线方程【分析】（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线的方程；（2）设出P的坐标，代入平面两点间的距离公式，化简得轨迹方程（3）设P（m，n），另一切点为N，则PMCN四点共圆，两圆方程相减可得切点所在的直线方程【解答】解：C：x2+y2+2x4y+10，即C：（x+1）2+（y2）24，（1）当x1时，圆心（1，2）到直线x1的距离d2r，此时直线
22、x1与圆相切，当斜率存在时，可设直线y3k（x1）即kxy+3k0由直线与圆相切的性质可知，解方程可得，k，直线方程为3x+4y150故所求的切线l的方程为x1或3x+4y150；（2）|PM|，|PO|，整理可得2x4y+10P的轨迹方程为2x4y+10（3）设P（m，n），另一切点为N，连接CM，CN则CMPM，CNPN，则PMCN四点共圆，且此圆的方程为（C：x2+y2+2x4y+10可得（m+1）x+（n2）y+1+m2n0，两切点所在直线方程为（m+1）x+（n2）y+1+m2n0【点评】本题主要考查了用点斜式求解直线方程，注意分类讨论思想的应用，还考查了直线与圆相切的性质，点到直线
23、的距离公式及轨迹方程的求解，属于中档试题18（10分）已知函数f（x）sin（2x）+2cos2x1（0）的最小正周期为（）求的值；（）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值【分析】（）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可（）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可【解答】解：（）因为f（x）sin（2x）+2cos2x1sin2xcoscos2xsin+cos2xsin2x+cos2xsin（2x+），所以f（x）的最小正周期T，解得1（）由（）得 f（x）sin（2x+），因为0x，所以2x+，所以，当2x+，即x时，f（x）取得最大值为1；当2x+，即x
24、时，f（x）取得最小值为【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键19（10分）椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与椭圆C相较于P、Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围【分析】（1）根据离心率和长轴，求出a，b即可；（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利
25、用判别式大于0得到m的范围，将OPQ面包用m表示，求出面积的范围【解答】解：（1）由得a2，c，b1椭圆C的方程为：+y21（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为：ykx+m（m0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y 得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）0则64k2m216（m21）（1+4k2）16（4k2m2+1）且x1+x2，x1x2，故y1y2（kx1+m）（kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2+m2，因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，即+m20，又m0，所以k2，即k，由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m
26、22，m21设d为点O到直线l的距离，则SOPQd|PQ|x1x2|m|，所以SOPQ的取值范围是（0，1）【点评】本题考查了直线与椭圆的综合属难题四、附加题（本大题共2小题，共20分）20（10分）数列an满足，求的值【分析】由题意可得，运用数列恒等式，以及数列的求和方法：错位相减法，计算可得所求值【解答】解：数列an满足，可得，即有ana122n（n+1）2n1，设Sna1+a2+an220+321+（n+1）2n1，2Sn22+322+（n+1）2n，两式相减可得Sn2+21+22+2n1（n+1）2n1+（n+1）2n，化简可得Snn2n，则【点评】本题考查数列的求和方法：错位相减法，
27、考查等比数列的求和公式和化简变形能力，属于中档题21（10分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（RtFHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知AB20米，AD10米，记BHE（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（2）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 LEH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明的范围（2）设sin+cost，根据函数 L 在，上是单调减函数，可求得L的最大值【解答】解：（1）由题意可得EH，FH，EF，由于 BE10tan10，AF10，而且 tan，L+，即L10，（2）设sin+cost，则 sincos，由于，sin+costsin（+），由于L 在，上是单调减函数，当t时，即 或 时，L取得最大值为 20（+1）米【点评】本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题
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