1、直线的一般式方程及综合编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】1掌握直线的一般式方程；2能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一、直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式要点诠释：1A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线当B=0，A0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线由上可知，关于
2、x、y的二元一次方程，它都表示一条直线2在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2xy+1=0，也可以是，还可以是4x2y+2=0等）要点二、直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy1=k(xx1)（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的
3、非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C为系数任何位置的直线要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1x2，y1y2），应用时若采用(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)=0的形式，即可消除局限性截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式一般式常化为斜截式与截距式若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不
4、同，得到的方程也不同要点三、直线方程的综合应用1已知所求曲线是直线时，用待定系数法求2根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同（1）从斜截式考虑 已知直线, ；于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为（2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 （1）斜率是，经过点A（8，2）；（2）经过点B（4，2），平行于x轴；（3）在x轴和y轴上的截距分别是，3；（4）经过两点P1
5、（3，2），P2（5，4）【答案】（1）x+2y4=0（2）y2=0（3）2xy3=0（4）【解析】 （1）由点斜式方程得，化成一般式得x+2y4=0（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y2=0（3）由截距式得，化成一般式得2xy3=0（4）由两点式得，化成一般式方程为【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式举一反三：【变式1】已知直线经过点，且倾斜角是，求直线的点斜式方程和一般
6、式方程.【答案】 【解析】因为直线倾斜角是，所以直线的斜率，所以直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：. 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2的一个顶点为，、 的平分线在直线和上，求直线BC的方程. 【答案】【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A点关于的平分线的对称点在BC上，B点关于的平分线的对称点也在BC上写出直线的方程，即为直线BC的方程. 例3求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线的方程【答案】3x+4y11=0【解析】解法一：设直线的斜率为k，与直线3x+4y+1=0平行，又经过点（1，2），可得所求直线方程为，即
7、3x+4y11=0解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线的方程为3x+4y+m=0，经过点（1，2），31+42+m=0，解得m=11所求直线方程为3x+4y11=0【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程参数m可以取mC的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线当m=C时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合（2）一般地，经过点A（x0，y0），且与直线Ax+By+C=0平行
8、的直线方程为A(xx0)+B(yy0)=0（3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为BxAy+m=0（A，B不同时为零）举一反三：【高清课堂：直线的一般式 381507 例1】【变式1】已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:（1）与平行（2）与垂直. 【答案】（1）（2）【解析】当时，：8y-10=0；：x-4=0，当时，：；：由，得，由得而无解综上所述（1），与平行（2），与垂直【变式2】 求经过点A（2，1），且与直线2x+y10=0垂直的直线的方程 【答案】x2y=0【解析】因为直线与直线2x+y10=0垂直，可设直线的方程为
9、，把点A（2，1）代入直线的方程得：，所以直线的方程为：x2y=0类型二：直线与坐标轴形成三角形问题例4已知直线的倾斜角的正弦值为，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数直线在y轴上的截距b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出，再根据它的斜率已知，从而得到关于a，b的方程组，解之即可【答案】或【解析】解法一：设的倾斜角为，由，得设的方程为，令y=0，得直线与x轴、y轴的交点分别为，（0，b），即b2=9，b=3故所求的直线方程分别为或解法二：
10、设直线的方程为，倾斜角为，由，得，解得故所求的直线方程为或【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏举一反三
11、：【变式1】如下图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45、30过点P（1，0）作直线AB分别交OA、OB于点A、B当AB的中点C恰好落在直线上时，求直线AB的方程 【答案】【解析】设直线AB的方程为，因为直线为：，直线为：，求得两点坐标分别是：，求得C点坐标，进一步求出斜率，所以直线方程为高清：直线方程的点斜式与两点式 381492例3例5.过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程.【思路点拨】因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k0且1-2k0故k0，b0，点P(2，1)在直线上，故，由均值不等式:1=当
12、且仅当，即a=4，b=2时取等号，且S=ab=4，此时方程为即:x+2y-4=0.解法三：如图，过P(2，1)作x轴与y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，设=PAM=BPN，则AOB面积S=S矩形OMPN+SPAM+SBPN=4，当且仅当时，SAOB有最小值4，故此时直线的方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.【总结升华】解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”. 已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而
13、直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.举一反三：【变式1】已知a（0，2），直线1：ax2y2a+4=0和直线2：2x+a2y2a2y2=0与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形面积最小，求a的值 【答案】【解析】直线l1与y轴交点为A（0，2-a），直线l2与x轴交点为B（a2+2，0），如图由直线1：ax2y2a+4=0，2：2x+a2y2a2y2=0知，两直线的交点为（2，2），过C点作轴垂线，垂足为D，于是S四边形AOBC=S梯形AODC+SBCD=所以当时，S四过形AOBC最小类型三：直线方程的实际应用例6一条光线从点
14、出发，经轴反射，通过点，求入射光线和反射光线所在直线的方程【思路点拨】利用对称的知识来求解。【答案】 【解析】点关于轴的对称点为，由两点式可得直线的方程为即同理：点关于轴的对称点为，由两点式可得直线的方程为入射光线所在直线方程为，反射光线所在直线方程为【总结升华】一般地，点关于轴的对称点的坐标为，关于轴的对称点的坐标为例7如图，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m2） 【答案】6017【解析】 建立坐标系，则B（30，0），A（0，20）由直线的截距方程得到线段AB的方程为（0x30）设点P的坐标为（x，y），则有公寓的占地面积为（0x30）当x=5，时，S取最大值，最大值为即当点P的坐标为时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m2【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P的位置由两个条件确定，一是A、P、B三点共线，二是矩形的面积最大借三点共线寻求x与y的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法举一反三：【变式1】由点发出的光线射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般方程为 .【解析】设点P关于直线的对称点，则满足条件，解得所以由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为，即.
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