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    2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二(下)期中数学试卷(文科)含详细解答

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    2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二(下)期中数学试卷(文科)含详细解答

    1、2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二(下)期中数学试卷(文科)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(4分)设i为虚数单位,复数z满足,则|z|()A2BCD2(4分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为600件、400件、300件,用分层抽样方法抽取容量为n的样本,若从丙车间抽取6件,则n的值为()A18B20C24D263(4分)命题“x(0,1),x2x0”的否定是()Ax0(0,1),Bx0(0,1),Cx0(0,1),Dx0(0,1),4(4分)宋元时期数学名著算学启蒙中关于“松竹并生”的问

    2、题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的b()A8B16C32D645(4分)已知等比数列an的各项都是正数,且3a1,a3,2a2成等差数列,则()A1B3C6D96(4分)“m1”是“直线l1:mx+(2m1)y+10与直线l2:3x+my+30垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7(4分)如图是甲、乙两位学生在高一至高二七次重大考试中,数学学科的考试成绩(单位:分)的茎叶图,若8,x,6的平均数是x,乙的众数是81,设甲7次数学成绩的中位数是a,则的值为()AB

    3、C85D878(4分)设m,n是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()Am,n且,则mnBm,n且,则mnCm,n,mn,则Dm,n,m,n,则9(4分)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”:乙说:“我没有作案,是丙偷的”:丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”:丁说:“乙说的是事实”经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()A甲B乙C丙D丁10(4分)设椭圆C:+1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,其焦距为2c,点Q(c,)在椭圆的内部,点P是椭圆C

    4、上的动点,且|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立,则椭圆离心率的取值范围是()A(,)B(,)C(,)D(,)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题纸相应位置)11(4分)将样本容量为n的样本数据分成5组,在绘制频率分布直方图时,若第一至第五个小长方形的面积之比为3:3:6:2:1,且最后两组数据频数之和等于20,则n 12(4分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱C1D1、C1C的中点,则直线AM和BN所成角的正弦值是 13(4分)在区间0,3上随机地取两个实数a,b,则直线ax+by+30与圆x2+y21有公共点的概率是 14(4分)已知函数f

    5、(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x(0,1)时,f(x)3x1,则f() 三、解答题(在答题纸相应位置写岀文字说明、证明过程或演算步骤)15(8分)在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c()若asinCccosA+c,求A;()如图,点D为ABC外一点,若四边形ABCD的内角B与D互补,且AB6,BC4,CD3,AD1,求cos D16(8分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin,曲线C3:2cos(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C2与C1相交于点A,C3与C1相交于点B,A、B都异于原点O,求|

    6、AB|的最大值17(8分)设抛物线C:y22px(p0)的顶点为O,焦点为F,过点M(2,0)的直线l(l不垂直x轴)与抛物线相交于A、B两点,且点A到y轴的距离等于(1)求抛物线C的方程;(2)若AOB的面积为3,求直线l的方程;18(10分)如图,在直角梯形ABCP中,CPAB,CPCB,ABBCCP2,D是CP中点,将PAD沿AD折起,使得PD面ABCD;()求证:平面PAD平面PCD;()若E是PC的中点求三棱锥APEB的体积19(10分)设函数,g(x)x2(a+1)x(x0,aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,讨论函数f(x)与g(x)的图象的交点个数四、附加题2

    7、0(8分)已知数列an的前n项和为,求S2019的值21(12分)已知f(x)是定义在区间(0,+)上的可导函数,满足f(x)0,f(x)是f(x)的导函数,且f(x)+f(x)0(1)讨论函数F(x)exf(x)的单调性;(2)设0x1,比较函数xf(x)与的大小2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二(下)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(4分)设i为虚数单位,复数z满足,则|z|()A2BCD【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,代入求模即可【解答

    8、】解:,z|z|,故选:C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,属基础题2(4分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为600件、400件、300件,用分层抽样方法抽取容量为n的样本,若从丙车间抽取6件,则n的值为()A18B20C24D26【分析】根据分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础【解答】解:由分层抽样得,解得n26,故选:D【点评】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键,比较基础3(4分)命题“x(0,1),x2x0”的否定是()Ax0(0,1),Bx0(0,1),Cx0(0,1),Dx0(0,1

    9、),【分析】“全称命题”的否定一定是“特称命题”,写出结果即可【解答】解:“全称命题”的否定一定是“特称命题”,命题“x(0,1),x2x0”的否定是x0(0,1),故选:B【点评】本题考查命题的否定“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”;“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”4(4分)宋元时期数学名著算学启蒙中关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的b()A8B16

    10、C32D64【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:当n1时,a,b4,满足进行循环的条件,当n2时,a,b8满足进行循环的条件,当n3时,a,b16满足进行循环的条件,当n4时,a,b32不满足进行循环的条件,故输出的b值为32故选:C【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答,属于基础题5(4分)已知等比数列an的各项都是正数,且3a1,a3,2a2成等差数列,则()A1B3C6D9【分析】设各项都是正数的等比数列an的公比为q,(q

    11、0),由题意可得关于q的式子,解之可得q,而所求的式子等于q2,计算可得【解答】解:设各项都是正数的等比数列an的公比为q,(q0)由题意可得2a33a1+2a2,即q22q30,解得q1(舍去),或q3,故q29故选:D【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,求出公比是解决问题的关键,属基础题6(4分)“m1”是“直线l1:mx+(2m1)y+10与直线l2:3x+my+30垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线垂直的等价条件求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:若直线l1:mx+(2m1)y+10与直线l

    12、2:3x+my+30垂直,则满足3m+m(2m1)0,即m(2m+2)0,得m0或m1,则“m1”是“直线l1:mx+(2m1)y+10与直线l2:3x+my+30垂直”的充分不必要条件,故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合直线垂直的等价条件求出m的值是解决本题的关键7(4分)如图是甲、乙两位学生在高一至高二七次重大考试中,数学学科的考试成绩(单位:分)的茎叶图,若8,x,6的平均数是x,乙的众数是81,设甲7次数学成绩的中位数是a,则的值为()ABC85D87【分析】分别求出x,y的值,从而读出甲和乙的数据,求出a的值即可得解【解答】解:若8,x,6的平均数是x,乙的众

    13、数是81,则x7,y1,甲数据是:78,79,80,85,87,92,96;故中位数a85,则的值为85故选:C【点评】本题考查了考查茎叶图的读法,考查平均数,众数和中位数的定义,是一道基础题8(4分)设m,n是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()Am,n且,则mnBm,n且,则mnCm,n,mn,则Dm,n,m,n,则【分析】对于A、由面面平行的判定定理,得A是假命题对于B、由m,n且,可知m与n不平行,借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面,则所得平面与、都相交,根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理,

    14、判断正误即可;对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可【解答】解:对于A,若m,n且,说明m、n是分别在平行平面内的直线,它们的位置关系应该是平行或异面,故A错;对于B,由m,n且,则m与n一定不平行,否则有,与已知矛盾,通过平移使得m与n相交,且设m与n确定的平面为,则与和的交线所成的角即为与所成的角,因为,所以m与n所成的角为90,故命题B正确对于C,根据面面垂直的性质,可知m,n,mn,n,也可能l,也可能,故C不正确;对于D,若“m,n,m,n”,则“”也可能l,所以D不成立故选:B【点评】本题考查直线与平面平行与垂直,面面垂直的性质和判断的应用,考查逻辑推理能力,基本知识的应

    15、用题目9(4分)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”:乙说:“我没有作案,是丙偷的”:丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”:丁说:“乙说的是事实”经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()A甲B乙C丙D丁【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话,另外两人说了假话,这是解决本题的突破口;然后进行分析、推理即可得出结论【解答】解:在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中,可以看出乙、丁两人的观点是一致的,因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假(即都是真话或者都是假话,不会出现一真

    16、一假的情况);假设乙、丁两人说的是真话,那么甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯的结论;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论;显然这两个结论是相互矛盾的;所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话;由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯,乙、丙、丁中有一人是罪犯,由丁说假说,丙说真话,推出乙是罪犯故选:B【点评】此题解答时应结合题意,进行分析,进而找出解决本题的突破口,然后进行推理,得出结论10(4分)设椭圆C:+1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,其焦距为2c,点Q(c,)在椭圆的内部,点P是椭圆C上的动点,且|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立,则椭圆离心率的取

    17、值范围是()A(,)B(,)C(,)D(,)【分析】点Q(c,)在椭圆的内部,|PF1|+|PQ|2a|PF2|+|PQ|,由|QF2|+|PQ|PQ|PF2|QF2|,且|QF2|,要|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立,即2a|PF2|+|PQ|2a+52c【解答】解:点Q(c,)在椭圆的内部,2b2a2a22c2|PF1|+|PQ|2a|PF2|+|PQ|又因为|QF2|PQ|PF2|QF2|,且|QF2|,要|PF1|+|PQ|5|F1F2|恒成立,即2a|PF2|+|PQ|2a+52c,则椭圆离心率的取值范围是(,)故选:B【点评】本题考查了椭圆的方程、性质,椭圆的离心率,转化思

    18、想是解题关键,属于难题二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题纸相应位置)11(4分)将样本容量为n的样本数据分成5组,在绘制频率分布直方图时,若第一至第五个小长方形的面积之比为3:3:6:2:1,且最后两组数据频数之和等于20,则n100【分析】在绘制频率分布直方图时,第一至第五个小长方形的面积之比为3:3:6:2:1,最后两组数据频数之和等于20,从而2k+k20,解得k,再由n3k+3k+6k+2k+k15k,能求出n的值【解答】解:将样本容量为n的样本数据分成5组,在绘制频率分布直方图时,第一至第五个小长方形的面积之比为3:3:6:2:1,且最后两组数据频数之和

    19、等于20,2k+k20,解得k,n3k+3k+6k+2k+k15k15100故答案为:100【点评】本题考查样本容量的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题12(4分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱C1D1、C1C的中点,则直线AM和BN所成角的正弦值是【分析】由题意画出图形,找出直线AM和BN所成角,利用余弦定理求直线AM和BN所成角的余弦值,则正弦值可求【解答】解:如图,取DD1中点为G,连接AG,MG,则AGBN,MAG为直线AM和BN所成角,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则,MG,AM,在AGM中,由余弦定理可得:cosM

    20、AG,sinMAG故答案为:【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查余弦定理的应用,是基础题13(4分)在区间0,3上随机地取两个实数a,b,则直线ax+by+30与圆x2+y21有公共点的概率是1【分析】利用直线和圆有公共点,得到a,b满足的条件,利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论【解答】解;a,b是区间0,3上的两个随机数,a,b满足不等式,对应区域面积为339,若直线ax+by+30与圆x2+y21没有公共点,则原点到直线的距离d1,即a2+b29,对应的区域为半径为3的圆及其外部部分,作出对应的图象如图:则阴影部分的面积为99,则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为:

    21、P1故答案为:1【点评】本题考查概率的求法,考查扇形面积、几何概型等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题14(4分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x(0,1)时,f(x)3x1,则f()【分析】根据题意,由函数的周期性可得f()f(21010)f(),又由函数的奇偶性以及解析式,分析可得f()的值,即可得答案【解答】解:根据题意,函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数,则f()f(21010)f(),又由f(x)为奇函数,则f()f()(1)+1,故答案为:+1【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用,涉及函数值的计算,属于基础题三、解答题(在

    22、答题纸相应位置写岀文字说明、证明过程或演算步骤)15(8分)在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c()若asinCccosA+c,求A;()如图,点D为ABC外一点,若四边形ABCD的内角B与D互补,且AB6,BC4,CD3,AD1,求cos D【分析】()由已知等式结合正弦定理得sin(A),再结合A(0,)可得A;()由cosBcosD结合余弦定理可求结果【解答】解:()asinCccosA+c,由正弦定理得sinAsinCsinCcosA+sinC,sinC0,sinAcosA+1,2(sinAcosA)1,sin(A),A(0,),A;()四边形ABCD的内角B与D互补,c

    23、osBcosD在ACD中,由余弦定理得AC2AD2+CD22ADCDcosD106cosD在ABC中,由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosB5248cosB由得cosD【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、辅助角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题16(8分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin,曲线C3:2cos(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C2与C1相交于点A,C3与C1相交于点B,A、B都异于原点O,求|AB|的最大值【分析】(I)由曲线C2:2sin,化为22sin,把代入可得直角坐标方程

    24、同理由C3:2cos可得直角坐标方程,联立解出可得C2与C3交点的直角坐标(2)由曲线C1的参数方程,消去参数t,化为普通方程:yxtan,其中0,;时,为x0(y0)其极坐标方程为:(R,0),利用|AB|即可得出【解答】解:(I)由曲线C2:2sin,化为22sin,x2+y22y同理由C3:2cos可得直角坐标方程:,联立,解得或,C2与C3交点的直角坐标为(0,0),(,)(2)曲线C1:,化为普通方程:yxtan,其中0,;当时,为x0(y0),其极坐标方程为:(R,0),A,B都在C1上,A(2sin,),B(,)|AB|4|,当时,|AB|取得最大值4【点评】本题考查了极坐标方程

    25、化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题17(8分)设抛物线C:y22px(p0)的顶点为O,焦点为F,过点M(2,0)的直线l(l不垂直x轴)与抛物线相交于A、B两点,且点A到y轴的距离等于(1)求抛物线C的方程;(2)若AOB的面积为3,求直线l的方程;【分析】(1)根据抛物线的定义可得;(2)设直线l的方程,并代入抛物线,根据弦长公式得现场|AB|,根据点到直线的距离得三角形的高,根据面积公式求出面积与已知面积相等,解得【解答】解:(1)点A到y轴的距离等于又|AF|等于A到准线的距离,p,抛物线C的方

    26、程为y2x(2)设直线l的方程为;yk(x+2),将其代入抛物线得:k2x2(4k2+1)x+4k20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2,x1x24,|AB|,O到直线l的距离d,AOB的面积为|AB|d3,解得k21,k1,所以直线l的方程为:xy+20或x+y+20【点评】本题考查了抛物线的性质,属中档题18(10分)如图,在直角梯形ABCP中,CPAB,CPCB,ABBCCP2,D是CP中点,将PAD沿AD折起,使得PD面ABCD;()求证:平面PAD平面PCD;()若E是PC的中点求三棱锥APEB的体积【分析】()证明AD底面PCD,利用面面垂直的判定,可得平面PAD

    27、平面PCD;()证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离,利用等体积转换,即可求三棱锥APEB的体积【解答】()证明:PD底面ABCD,PDAD(1分)又由于CPAB,CPCB,ABBC正方形ABCD,ADCD,(3分)又PDCDD,故AD底面PCD,(5分)AD平面PAD,PAD底面PCD (6分)()解:ADBC,BC平面PBC,AD平面PBC,AD平面PBC点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离 (7分)又PDDC,E是PC的中点PCDE由()知有AD底面PCD,有ADDE由题意得ADBC,故BCDE又PCBCCDE面PBC(9分),又AD底面PCD,ADCP,AD

    28、BC,ADBC(12分)【点评】本题考查面面垂直,考查三棱锥体积的计算,解题的关键是掌握面面垂直的判定定理,正确转换底面,属于中档题19(10分)设函数,g(x)x2(a+1)x(x0,aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a0时,讨论函数f(x)与g(x)的图象的交点个数【分析】(1)求出函数f(x)的定义域为(0,+),通过当a0时,当a0时,导函数的符号,判断函数的单调性即可(2)令,问题等价于求函数F(x)的零点个数通过当a0时,当a0时,当a1时,当a1时,当0a1时,判断函数的单调性以及函数的最值,然后求解零点的个数【解答】解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),当a0

    29、时,f(x)0,所以f(x)的增区间是(0,+),无减区间;当a0时,当时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当时,f(x)0,函数f(x)单调递增综上,当a0时,函数f(x)的增区间是(0,+),无减区间;当a0时,f(x)的增区间是,减区间是(2)令,问题等价于求函数F(x)的零点个数当a0时,F(x)有唯一零点;当a0时,当a1时,F(x)0,当且仅当x1时取等号,所以F(x)为减函数注意到,所以F(x)在(1,4)内有唯一零点;当a1时,当0x1,或xa时,F(x)0;1xa时,F(x)0所以F(x)在(0,1)和(a,+)上单调递减,在(1,a)上单调递增注意到,所以F(x)在(1,

    30、2a+2)内有唯一零点;当0a1时,0xa,或x1时,F(x)0;ax1时,F(x)0所以F(x)在(0,a)和(1,+)上单调递减,在(a,1)上单调递增注意到,所以F(x)在(1,2a+2)内有唯一零点综上,F(x)有唯一零点,即函数f(x)与g(x)的图象有且仅有一个交点【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的极值,函数的零点个数的求法,考查转化思想以及计算能力四、附加题20(8分)已知数列an的前n项和为,求S2019的值【分析】由分母有理化可得an,再由数列的裂项相消求和,化简可得所求和【解答】解:an,则S2019+11+【点评】本题考查数列的裂项相消求和,考查

    31、化简运算能力,属于中档题21(12分)已知f(x)是定义在区间(0,+)上的可导函数,满足f(x)0,f(x)是f(x)的导函数,且f(x)+f(x)0(1)讨论函数F(x)exf(x)的单调性;(2)设0x1,比较函数xf(x)与的大小【分析】(1)求导,利用导数即可得出函数的单调性;(2)由题意得即证当0x1时,有xf(x)f(),然后将问题转化为证明 即证+2lnx0,构造函数设函数g(x)+2lnx,利用导数可得g(x)g(1)0,即可证明【解答】解:(1)F(x)exf(x)+exf(x)exf(x)+f(x)F(x)exf(x)+exf(x)exf(x)+f(x)0,F(x)在(0,+)上单调递减(2)当0x1时,有xf(x)f(),证明如下:当0x1时,x,故由()可得exf(x),即f(x),下面证明 即证x+2lnx0,设函数g(x)x+2lnx,当0x1时,有g(x)1+0,g(x)在(0,1)上单调递减故g(x)g(1)0,于是f(x)f()f(),即xf(x)f()【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,比较大小等知识,考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力,属中档题


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