1、高考专题突破四高考中的立体几何问题题型一平行、垂直关系的证明例1 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC.AD平面ABC，ADCC1.又ADDE，DECC1E，DE，CC1平面BCC1B1，AD平面BCC1B1.AD平面ADE，平面ADE平面BCC1B1.(2)A1B1C1中，A1B1A1C1，F为B1C1的中点，A1FB1C1.CC1平面A1B1C1，A1F平面A1
2、B1C1，A1FCC1.又B1C1CC1C1，B1C1，CC1平面BCC1B1，A1F平面BCC1B1.又AD平面BCC1B1，A1FAD.A1F平面ADE，AD平面ADE，直线A1F平面ADE.思维升华 (1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直
3、作好铺垫应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题跟踪训练1 (2018北京)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB
4、平面ABCD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.题型二立体几何中的计算问题例2如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，A1CB是等边三角形，ACA
5、B1，B1C1BC，BC2B1C1.(1)求证：AB1平面A1C1C；(2)求多面体ABCA1B1C1的体积(1)证明如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D，B1C1BC，BC2B1C1，BDB1C1，BDB1C1，CDB1C1，CDB1C1，四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形，C1DB1B，C1DB1B，CC1B1D，又B1D平面A1C1C，C1C平面A1C1C，B1D平面A1C1C.在正方形ABB1A1中，BB1AA1，BB1AA1，C1DAA1，C1DAA1，四边形ADC1A1为平行四边形，ADA1C1.又AD平面A1C1C，A1C1平面A1C1C，AD平面A1C1C，
6、B1DADD，B1D，AD平面ADB1，平面ADB1平面A1C1C，又AB1平面ADB1，AB1平面A1C1C.(2)解在正方形ABB1A1中，A1B，A1BC是等边三角形，A1CBC，AC2AAA1C2，AB2AC2BC2，AA1AC，ACAB.又AA1AB，AA1平面ABC，AA1CD，易得CDAD，又ADAA1A，CD平面ADC1A1.易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABDA1B1C1和四棱锥CADC1A1组成的，直三棱柱ABDA1B1C1的体积为1，四棱锥CADC1A1的体积为1，多面体ABCA1B1C1的体积为.思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，
7、则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练2 (2019阜新调研)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.(1)证明：平面PAC平面PCE；(2)若ABC60，求三棱锥PACE的体积(1)证明如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，所以OFPA，且OFPA.因为DEPA，且DE
8、PA，所以OFDE，且OFDE，所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.因为BDEF，所以EF平面PAC.因为EF平面PCE，所以平面PAC平面PCE.(2)解因为ABC60，所以ABC是等边三角形，所以AC2.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.所以SPACPAAC2.因为EF平面PAC，所以EF是三棱锥EPAC的高易知EFDOBO，所以三棱锥PACE的体积V三棱锥PACEV三棱锥EPACSPACEF2.题型
9、三立体几何中的探索性问题例3 如图，梯形ABCD中，BADADC90，CD2，ADAB1，四边形BDEF为正方形，且平面BDEF平面ABCD.(1)求证：DFCE；(2)若AC与BD相交于点O，那么在棱AE上是否存在点G，使得平面OBG平面EFC？并说明理由(1)证明连接EB.在梯形ABCD中，BADADC90，ABAD1，DC2，BD，BC，BD2BC2CD2，BCBD.又平面BDEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，BC平面ABCD，BC平面BDEF，BCDF.又正方形BDEF中，DFEB，且EB，BC平面BCE，EBBCB，DF平面BCE.又CE平面BCE，DFCE.(2)解在
10、棱AE上存在点G，使得平面OBG平面EFC，且.理由如下：连接OG，BG，在梯形ABCD中，BADADC90，AB1，DC2，ABDC，.又，OGCE.又正方形BDEF中，EFOB，且OB，OG平面EFC，EF，CE平面EFC，OB平面EFC，OG平面EFC.又OBOGO，且OB，OG平面OBG，平面OBG平面EFC.思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设跟踪训练3 (2018全国)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)
11、证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由(1)证明由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM的中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.1.如
12、图所示，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，BACACD90，AECD，DCAC2AE2.(1)求证：平面BCD平面ABC；(2)求证：AF平面BDE.证明(1)平面ABC平面ACDE，平面ABC平面ACDEAC，CDAC，CD平面ACDE，DC平面ABC.又DC平面BCD，平面BCD平面ABC.(2)如图，取BD的中点P，连接EP，FP，则PFDC，PFDC，EADC，EADC，EAPF，EAPF，四边形AFPE是平行四边形，AFEP，AF平面BDE，EP平面BDE，AF平面BDE.2.如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F
13、为CE的中点(1)证明：AE平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由(1)证明连接AC交BD于点O，连接OF.四边形ABCD是矩形，O为AC的中点又F为EC的中点，OFAE.又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.(2)解当点P为AE的中点时，有PMBE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH.P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB.又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面平面ABCD平面BCE，且平面ABCD平面BCEBC，CDBC，CD平面ABCD，CD平面BCE.又BE
14、平面BCE，CDBE，BCCE，且H为BE的中点，CHBE.又CHCDC，且CH，CD平面DPHC，BE平面DPHC.又PM平面DPHC，PMBE.3(2018江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B
15、1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC上的点，B1C平面A1BD.(1)求证：BD平面A1ACC1；(2)若AB1，且ACAD1，求三棱锥ABCB1的体积(1)证明如图，连接ED，平面AB1C平面A1BDED，B1C平面A1BD，B1CED，E为AB1的中点，D为AC的中点，ABBC，BDAC，由A1A平面ABC，BD平面ABC，得A1ABD，又ACA1AA，AC，A1A平
16、面A1ACC1，BD平面A1ACC1.(2)解由AB1，得BCBB11，由(1)知ADAC，又ACAD1，AC22，AC22AB2BC2，ABBC，SABCABBC，SABCBB11.5(2019呼伦贝尔联考)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BC平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积(1)证明AC2，BACACD45，AB4，在ABC中，BC2AC2AB22ACABcos 458，AB2AC2BC
17、216，ACBC，平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解AD平面BEF，AD平面ACD，平面ACD平面BEFEF，ADEF，E为AC的中点，EF为ACD的中位线，由(1)知，VFBCEVBCEFSCEFBC，SCEFSACD22，VFBCE2.6.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABC60，AA1AC2，A1BA1D2，点E在A1D上(1)证明：AA1平面ABCD；(2)当为何值时，A1B平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离(1)证明因为四边形ABCD是菱形，ABC60，所以ABADAC2，在AA1B中，
18、由AAAB2A1B2，知AA1AB，同理AA1AD，又ABADA，AB，AD平面ABCD，所以AA1平面ABCD.(2)解当1时，A1B平面EAC.证明如下：如图，连接BD交AC于点O，当1，即点E为A1D的中点时，连接OE，则OEA1B，又A1B平面EAC，OE平面EAC，所以A1B平面EAC.直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离，因为E为A1D的中点，所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离，VDEACVEACD，设AD的中点为F，连接EF，则EFAA1，且EF1，所以EF平面ACD，可求得SACD，所以VEACD1.又AE，AC2，CE2，所以SEAC，所以SEACd(d表示点D到平面EAC的距离)，解得d，所以直线A1B与平面EAC之间的距离为.
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