1、2018-2019学年浙江省慈溪市六校联考高二（下）期中数学试卷一选择题（共10小题，每题4分，共40分）1（3分）已知i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（3分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A144B120C72D243（3分）若，则x的值为（）A4B4或5C6D4或64（3分）设f（x）x22x4lnx，则f（x）的递减区间为（）A（1，2）B（0，2）C（，1），（2，+）D（2，+）5（3分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A324B328C360D6486（3分）用反证
2、法证明“已知x，yR，x2+y20，求证：xy0”时，应假设（）Axy0Bxy0Cx0且y0Dx0或 y07（3分）将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）A420B180C64D258（3分）已知f（x）alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是（）A（0，1B（1，+）C（0，1）D1，+）9（3分）如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面
3、现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动，若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则p（4）（）A33B31C17D1510（3分）定义在R上的可导函数f（x），当x（1，+）时，f（x）+f（x）xf（x）恒成立，af（2），bf（3），c（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）AcabBbcaCacbDcba二填空题（共7小题，1114每题6分，1517每题4分，共36分）11（6分）在如图所示的74的方格纸上（每个小方格均为正方
4、形），共有 个矩形、 个正方形12（6分）若复数，则z的虚部为 ，|z| 13（6分）实数ai（i0，1，2，3，4，5）满足：对任意xR，都有（1+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0 ，a1+2a2+3a3+4a4+5a5 14（6分）已知函数yx3+x2+ax5若函数在（，+）上是单调函数，则实数a的取值范围是 ；若函数在1，+）上是增函数，则实数a的取值范围是 15（6分）函数的导函数为f（x） 16（6分）用数学归纳法证明：“1+”由nk（kN*，k1）不等式成立，推理nk+1时，不等式左边应增加的项数为 17（6分）将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆
5、、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有 种三解答题（共5题，18题14分，1922题每题15分，共74分）18（14分）已知函数f（x）x3+x2（）求曲线yf（x）在点（2，8）处的切线方程；（）直线l为曲线yf（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标19（15分）在（x2）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项20（15分）已知函数f（x）x2ex（）求f（x）的极小值和极大值；（）当曲线yf（x）的切线l的斜率为
6、负数时，求l在x轴上截距的取值范围21（15分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）22（15分）已知函数f（x）ax2+（12a）x2lnx，aR；（1）讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年浙江省慈溪市六校联考高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析
7、一选择题（共10小题，每题4分，共40分）1（3分）已知i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可【解答】解：z，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题2（3分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A144B120C72D24【分析】使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张
8、凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法根据分步计数原理可得结论【解答】解：使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法根据分步计数原理，6424故选：D【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键3（3分）若，则x的值为（）A4B4或5C6D4或6【分析】根据组合数的性质：CC【解答】解：依题意得：2x1x+3或2x1+x+320，解得：x4，或x6，经
9、检验x4和x6都符合题意故选：D【点评】本题考查了组合及组合数公式，属基础题4（3分）设f（x）x22x4lnx，则f（x）的递减区间为（）A（1，2）B（0，2）C（，1），（2，+）D（2，+）【分析】求函数的定义域，然后求函数导数，解导数不等式即可【解答】解：函数f（x）x22x4lnx的定义域为x|x0，则f（x）2x2，由题意，f（x）0，得x2x20，解得1x2，x0，不等式的解为0x2，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，比较基础5（3分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A324B328C360D648
10、【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数【解答】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172 根据分类计数原理知共有256+72328故选：B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不
11、漏6（3分）用反证法证明“已知x，yR，x2+y20，求证：xy0”时，应假设（）Axy0Bxy0Cx0且y0Dx0或 y0【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可反面有多种情况，需一一否定【解答】解：用反证法证明“已知x，yR，x2+y20，求证：xy0”时，应先假设x0或 y0故选：D【点评】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定7（3分）将5种不同的花卉种
12、植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）A420B180C64D25【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论A，D同色和异色，根据乘法原理可得结论【解答】解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，A，D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5432120种，A，D同色，D有4种涂法，C有3种涂法，有54360种，共有180种不同的涂色方案故选：B【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区
13、域相邻的情况8（3分）已知f（x）alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是（）A（0，1B（1，+）C（0，1）D1，+）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立”转换成f（x1）2x1f（x2）2x2，构造函数h（x）f（x）2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，假设x1x2，f（x1）f（x2）2x12x2，即f（x1）2x1f（x2）2x2对于任意x1x20成立，令h（x）f（x）2x，h（x）在（0，+）为增函数，h（x）+x20在（0，+）上恒成
14、立，+x20，则a（2xx2）max1故选：D【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题9（3分）如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱已知起始柱上套有n个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动，若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则p（4）（）A33B31C1
15、7D15【分析】由简单的合情推理得：是以P（1）+12为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+12n，所以P（n）2n1，得解【解答】解：设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n1），则有P（n）2P（n1）+1，则有P（n）+12P（n1）+1，又P（1）1，即是以P（1）+12为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+12n，所以P（n）2n1，即P（4）24115，故选：D【点评】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题10（3分
16、）定义在R上的可导函数f（x），当x（1，+）时，f（x）+f（x）xf（x）恒成立，af（2），bf（3），c（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）AcabBbcaCacbDcba【分析】根据x（1，+）时，f（x）+f（x）xf（x），可得g（x）在（1，+）上单调增，由于，即可求得结论【解答】解：x（1，+）时，f（x）+f（x）xf（x）f（x）（x1）f（x）00g（x）在（1，+）上单调增g（）g（2）g（3）cab故选：A【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键二填空题（共7小题，1114每题6分，1517每题4分，共36分）11（6分）在如
17、图所示的74的方格纸上（每个小方格均为正方形），共有280个矩形、60个正方形【分析】对于第一空：分析可得在方格纸上，有5条水平方向的线，8条竖直方向的线，在5条水平方向的线中任选2条，在8条竖直方向的线中任选2条，就可以组成一共矩形，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：设方格纸上的小方格的边长为1，按正方形的边长进行分类讨论，求出每种情况下正方形的个数，由加法原理即可得答案【解答】解：根据题意，74的方格纸上，有5条水平方向的线，8条竖直方向的线，在5条水平方向的线中任选2条，在8条竖直方向的线中任选2条，就可以组成一共矩形，则可以组成C52C82280个矩形；设方格纸上的小方格的边长为
18、1，当正方形的边长为1时，有7428个正方形，当正方形的边长为2时，有6318个正方形，当正方形的边长为3时，有5210个正方形，当正方形的边长为4时，有414个正方形，则有28+18+10+460个正方形；故答案为：280，60【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题12（6分）若复数，则z的虚部为3，|z|3【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，z的虚部为3，|z|3故答案为：3，3【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题13（6分）实数ai（i0，1，2，3，4，5）满足：对任意xR，都有（1+x）5a0+a
19、1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a01，a1+2a2+3a3+4a4+5a580【分析】由二项式展开式系数的求法得：由（1+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x0得：a01，等式两边同时求导得；5（1+x）4a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x1得：a1+2a2+3a3+4a4+5a580，得解【解答】解：由（1+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x0得：a01由（1+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，等式两边同时求导得；5（1+x）4a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5
20、a5x4，令x1得：a1+2a2+3a3+4a4+5a580，故答案为：80【点评】本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，属中档题14（6分）已知函数yx3+x2+ax5若函数在（，+）上是单调函数，则实数a的取值范围是1，+）；若函数在1，+）上是增函数，则实数a的取值范围是3，+）【分析】函数f（x）x3+x2+ax5f（x）x2+2x+a，函数在（，+）上是单调函数，f（x）x2+2x+a0在R上恒成立，化简解出即可得出函数在1，+）上是增函数，利用二次函数的单调性求出其最大值即可【解答】解：函数f（x）x3+x2+ax5f（x）x2+2x+a，函数在（，+）上是单调函数，f（x）x2
21、+2x+a0恒成立，化为：a（x2+2x）（x+1）2+1的最大值a1函数在1，+）上是增函数，则a22+13故答案为：1，+），3，+）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，方程与不等式的解法、等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（6分）函数的导函数为f（x）【分析】利用商的导数运算法则求出函数的导函数【解答】解：故答案为【点评】求应该函数的导函数，先判断出函数的形式，然后选择合适的导数运算法则及导数公式16（6分）用数学归纳法证明：“1+”由nk（kN*，k1）不等式成立，推理nk+1时，不等式左边应增加的项数为2k【分析】分别计算当nk和nk+1
22、时左侧最后一项的分母即左侧的项数即可得出答案【解答】解：当nk时，不等式左侧为1+，当nk+1时，不等式左侧为1+不等式左边增加的项数是（2k+11）（2k1）2k故答案为：2k【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题17（6分）将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有114种【分析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有C52C32A33，当按照1，1，3安排时，有C53A33，其中包括甲和
23、乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3当安照2，2，1安排时，共有C52C32A3390，当按照1，1，3安排时，有C53A3360，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，当甲和乙在同一个馆里时，共有C42A3336，满足条件的排列法共有90+6036114，故答案为：114【点评】本题考查的是分类计数问题问题，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题三解答题（共5题，18题14分，1922题每题
24、15分，共74分）18（14分）已知函数f（x）x3+x2（）求曲线yf（x）在点（2，8）处的切线方程；（）直线l为曲线yf（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标【分析】（）求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程；（）设切点为（m，m3+m2），求得切线的斜率，可得切线方程，代入原点，可得m的值，即可得到切点和所求切线方程【解答】解：（）函数f（x）x3+x2的导数为f（x）3x2+1，所以曲线f（x）在x2处的斜率为f（2）13，则切线方程为y813（x2），即13xy180；（）设切点为（m，m3+m2），则f（m）3m2+1，所以切线方程为y（
25、m3+m2）（3m2+1）（xm），因为切线过原点，所以（m3+m2）（3m2+1）（m），所以2m32，解得m1，所以f（1）4，故所求切线方程为y4x，又因为f（1）4，切点为（1，4）【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，注意切点的确定，考查化简运算能力，属于中档题19（15分）在（x2）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项【分析】（1）由题意根据二项展开式的通项公式，求得m的值（2）令x的幂指数等于整数，求得r的值，可得结论（3）设展开式中第r+1项的系数最大，根据，求得r的范
26、围，可得结论【解答】解：（1）由题意知：通项公式为Tr+12r，则第4项的系数为23，倒数第4项的系数为2n3，则有，即，n7（2）由（1）可得当2n为整数时，即r0，2，4，6时，为有理项故所有的有理项为T1x14，T384x9，T5560x4，T7448x1（3）设展开式中第r+1项的系数最大，则，求得 r，r5，故系数最大项为T625672【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题20（15分）已知函数f（x）x2ex（）求f（x）的极小值和极大值；（）当曲线yf（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围【分析】（）利用导数的运
27、算法则即可得出f（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可【解答】解：（）f（x）x2ex，f（x）2xexx2exex（2xx2），令f（x）0，解得x0或x2，令f（x）0，可解得0x2；令f（x）0，可解得x0或x2，故函数在区间（，0）与（2，+）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数x0是极小值点，x2极大值点，又f（0）0，f（2）故f（x）的极小值和极大值分别为0，（）设切点为（），则切线方程为y（xx0），令y0，
28、解得x，曲线yf（x）的切线l的斜率为负数，（0，x00或x02，令，则当x00时，0，即f（x0）0，f（x0）在（，0）上单调递增，f（x0）f（0）0；当x02时，令f（x0）0，解得当时，f（x0）0，函数f（x0）单调递增；当时，f（x0）0，函数f（x0）单调递减故当时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（，0）【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力21（15分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女
29、生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：，将4名男生全排列，有A4424种情况，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析：，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，将这个整体与三名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情况讨论：，女生甲站在右端，其余6人全排列，女生甲不站在右端，甲有5种
30、站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有A33种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：，将4名男生全排列，有A4424种情况，排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A5360种情况，则三名女生不能相邻的排法有24601440种；（2）根据题意，分2步进行分析：，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有A4424种情况，将这个整体与三名女生全排列，有A4424种情
31、况，则四名男生相邻的排法有2424576种；（3）根据题意，分2种情况讨论：，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66720种情况，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55120种站法，则此时有551203000种站法，则一共有720+30003720种站法；（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有A77种结果，甲乙丙三人内部的排列共有A336种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840种【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素22（15分）已知函数f（x）ax2+（12
32、a）x2lnx，aR；（1）讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）求出导函数后，用导数符号讨论单调性；（2）对a分类讨论求f（x）的最小值，用最小值使不等式成立代替恒成立【解答】解：（1）f（x）ax2+（12a）x2lnx，x0，f（x），当a0时，令f（x）0，得0x2；令f（x）0，得x2；当a0时，令f（x）0，得x或x2；（）当2，即时，令f（x）0，得0x2或x；令f（x）0，得 2x；（）当2时，即a时，则f（x）0恒成立；（）当2时，即a时，令f（x）0，得0x或x2； 令f（x）0，得x2；综上所述：当a0时，f（x）在（0，2）上递减，在（2，+）上递增；当时，f（x）在（0，2）和（，+）上递减，在（2，）上递增；当a时，f（x）在（0，+）上递减；当a时，f（x）在（0，）和（2，+）上递减，在（，2）上递增（2）由（1）得当a时，f（x）在（0，1）上递减，f（1）1a，；当a时，（）当1，即a1时，f（x）在（0，）上递减，在（，1）上递增，f（）2+2ln（a）2，a1符合题意；（）当1，即1a时，f（x）在（0，1）上递减，f（1）1a，1a符合题意；综上，实数a的取值范围为（，【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性属难题
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