1、二次函数基础过关训练1、已知关于x的方程x2 -2x+2k -1=0有实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且，试求k的值.2、已知关于x的一元二次方程x26x+（4m+1）0有实数根（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1x2|4，求m的值3、已知于x的元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值4、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=3，求k的值及
2、方程的根5、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1） 若a为正数，求a的值；（5分）（2） 若满足，求a的值.6、关于x的一元二次方程有实数根.（1） 求实数k的取值范围；（2） 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值.7、一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0m4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.8、如图，在平面
3、直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（1）求拋物线的解析式；（2）过点D（0，3）作直线MNx轴，点P在直线NN上且SPACSDBC，直接写出点P的坐标9、已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m210有两不相等的实数根求m的取值范围设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2170，求m的值10、已知k是常数，抛物线yx2（k2k6）x3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.（1）求k的值：（2）若点P在抛物线yx2（k2k6）x3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 11、已知关于x的一元二次方程：x22xk2=
4、0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程12、已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x24x（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=2时，求OAB的面积13、已知关于x的方程x22x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1x2=2，求实数m的值14、已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m22=0（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1x2）2+m2=21，求m的值15、己知关于x的一元二次方程x2+（2
5、k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若1x1+1x2=1，求k的值16、如图，ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：作BAC的平分线AM交BC于点D；作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；连接PB，PC请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 ；（2）若ABC=70，求BPC的度数17、已知二次函数y=2（x1）（xm3）（m为常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？18、如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出
6、，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？19、关于x的方程2x25xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中A是锐角三角形ABC的一个内角（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y210y+k24k+29=0的两个根恰好是ABC的两边长，求ABC的周长20、知识背景当a0且x0时，因为（xax）20，
7、所以x2a+ax0，从而x+ax2a（当x=a时取等号）设函数y=x+ax（a0，x0），由上述结论可知：当x=a时，该函数有最小值为2a应用举例已知函数为y1=x（x0）与函数y2=4x（x0），则当x=4=2时，y1+y2=x+4x有最小值为24=4解决问题（1）已知函数为y1=x+3（x3）与函数y2=（x+3）2+9（x3），当x取何值时，y2y1有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001若设该设备的租赁使用天数为x天，则
8、当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？21、已知抛物线L：y=x2+x6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C（1）求A、B、C三点的坐标，并求ABC的面积；（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L，且L与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C，要使ABC和ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式22、若关于x的一元二次方程x2（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围23、已知x1，x2是一元二次方程x22x1=0的两实数根，则12x1+1+12x2+1的值是24、已知关于x的一元二次方程
9、x2（2m2）x+（m22m）=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值25、已知关于x的一元二次方程x22x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x20，求a的取值范围26、已知二次函数y=316x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（4，92）两点（1）求b，c的值（2）二次函数y=316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况27、设二次函数y=ax2+bx（a+b）（a，b是常数，a0）（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由（2）若该二次函数图象经过A（1，4
10、），B（0，1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式（3）若a+b0，点P（2，m）（m0）在该二次函数图象上，求证：a028、已知抛物线y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0），（3，0），求a，b的值29、学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）30、已知抛物线y=12x2+bx+
11、c经过点（1，0），（0，32）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式31、如图，抛物线y=ax2+bx（a0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B（1）求a，b的值（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP设点P的横坐标为m，OBP的面积为S，记K=Sm求K关于m的函数表达式及K的范围二次函数基础过关训练答案1、已知关于x的方程x2 -2x+2k -1=0有实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x
12、1、x2，且，试求k的值.（1）解：原方程有实数根，b2-4ac0 (-2)2-4(2k-1) 0k1 （2）x1,x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x1 + x2 2，x1 x2 2k-1 又x12+x22x1x2=x1x2(x1 + x2)2-2x1 x2 = (x1 x2)2 22-2(2k-1)= (2k-1)2 解之，得： k152 , k2=-52 . 经检验，都符合原分式方程的根 k1， Gk=-52 . 2、已知关于x的一元二次方程x26x+（4m+1）0有实数根（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1x2|4，求m的值解：（
13、1）关于x的一元二次方程x26x+（4m+1）0有实数根，（6）241（4m+1）0，解得m2（2）方程x26x+（4m+1）0的两个实数根为x1、x2，x1+x26，x1x24m+1，（x1x2）2（x1+x2）24x1x242，即3216m16，解得m13、已知于x的元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值解：（1）关于x的一元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2，0，即（6）24（2a+5）0，解得a2；（2）由根与系数的关系知：x1+x26，x1x22a+5，x1，x
14、2满足x12+x22x1x230，（x1+x2）23x1x230，363（2a+5）30，a，a为整数，a的值为1，0，14、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=3，求k的值及方程的根解：（1）关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，0，（2k+1）2-4（k2+1）0，整理得4k-30，解得k34，故实数k的取值范围为k34；（2）方程的两个根分别为x1，x2，x1+x2=2k+1=3，解得k=1，原方程为x2-3x+2=0，x1=1，x2=25、已知关于x的一元
15、二次方程有两个不相等的实数根.（3） 若a为正数，求a的值；（5分）（4） 若满足，求a的值.【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根，=-2（a-1）2-4（a2-a-2）0，解得a3，a为正整数， a=1，2；（2）x1+x2=2（a-1），x1x2=a2-a-2，x12+x22-x1x2=16，（x1+x2）2-x1x2=16，-2（a-1）2-3（a2-a-2）=16，解得a1=-1，a2=6，a3， a=-16、关于x的一元二次方程有实数根.（3） 求实数k的取值范围；（4） 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一
16、个相同的根，求此时m的值.解.(1)由一元二次方程有实根，则判别式(2)k的最大整数为2，所以方程的根为1和2.由方程与一元二次方程有一个相同根，则即或，即；当时，不合题意，故7、一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0m4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，又二次函数顶点为（0,4），c=4把（1,2）带入二次函数表达
17、式得a+c=2，解得a=-2（2） 由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，W=OA2+BC2=当m=1时，W取得最小值78、如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（1）求拋物线的解析式；（2）过点D（0，3）作直线MNx轴，点P在直线NN上且SPACSDBC，直接写出点P的坐标解：（1）将点A（3，0）、点B（1，0）代入yx2+bx+c，可得b2，c3，yx22x3；（2）C（0，3）， SDBC613，SPAC3，设P（x，3），直线
18、CP与x轴交点为Q，则SPAC6AQ，AQ1，Q（2，0）或Q（4，0），直线CQ为yx3或yx3，当y3时，x4或x8，P（4，3）或P（8，3）；9、已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m210有两不相等的实数根求m的取值范围设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2170，求m的值解：根据题意得（2m+1）24（m21）0，解得m，根据题意得：x1+x2（2m+1），x1x2m21，x12+x22+x1x217x1x217（2m+1）2（m21）17 0，解得：m1，m23（不合题意，舍去），m的值为10、已知k是常数，抛物线yx2（k2k6）x3k的对称轴是y轴，并且
19、与x轴有两个交点.（1）求k的值：（2）若点P在抛物线yx2（k2k6）x3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 解：（1）抛物线y=x2+（k2+k6）x+3k的对称轴是y轴，即k2+k6=0.解得k=3或k=2当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，当k=3时，二次函数解析式为y=x29，它的图象与x轴有两个交点，满足题意.k=3（2）P到y轴的距离为2， 点P的横坐标为2或2.当x=2时，y=5；当x=2时，y=5.点P的坐标为（2，5）或（2，5）11、已知关于x的一元二次方程：x22xk2=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（
20、2）给k取一个负整数值，解这个方程【解答】解：（1）根据题意得=（2）24（k2）0，解得k3；（3） 取k=2，则方程变形为x22x=0，解得x1=0，x2=212、已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x24x（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=2时，求OAB的面积【解答】解：（1）联立&y=kx+1&y=x2-4x化简可得：x2（4+k）x1=0， =（4+k）2+40，故直线l与该抛物线总有两个交点；（2）当k=2时， y=2x+1过点A作AFx轴于F，过点B作BEx轴于E，联立&y=x2-4x&y=-2x+1， 解得：&x=
21、1+2&y=-1-22或&x=1-2&y=22-1A（12，221），B（1+2，122）AF=221，BE=1+22易求得：直线y=2x+1与x轴的交点C为（12，0）OC=12SAOB=SAOC+SBOC = 12OCAF+12OCBE = 12OC（AF+BE）=1212（221+1+22）= 213、已知关于x的方程x22x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1x2=2，求实数m的值【解答】解：（1）由题意得：=（2）241m=44m0，解得m1，即实数m的取值范围是m1；（2）由根与系数的关系得x1+x2=2，即&x1+x2=2&x1-x2=2，
22、解得x1=2，x2=0，由根与系数的关系得：m=20=014、已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m22=0（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1x2）2+m2=21，求m的值【解答】解：（1）根据题意得=（2m+1）24（m22）0，解得m94，所以m的最小整数值为2；（2）根据题意得x1+x2=（2m+1），x1x2=m22，（x1x2）2+m2=21， （x1+x2）24x1x2+m2=21，（2m+1）24（m22）+m2=21，整理得m2+4m12=0，解得m1=2，m2=6，m94， m的值为215、己知关于x的一元二
23、次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若1x1+1x2=1，求k的值【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，=（2k+3）24k20，解得：k34（2）x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，x1+x2=2k3，x1x2=k2， 1x1+1x2=x1+x2x1x2=-(2k+3)k2=1，解得k1=3，k2=1，经检验，k1=3，k2=1都是原分式方程的根又k34， k=316、如图，ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：作BAC的平分线AM交BC于点
24、D；作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；连接PB，PC请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 ；（2）若ABC=70，求BPC的度数【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：AB=AC，AM平分BAC，AD是BC的垂直平分线，PB=PC，EP是AB的垂直平分线，PA=PB， PA=PB=PC；故答案为：PA=PB=PC；（2）AB=AC，ABC=ACB=70，BAC=180270=40，AM平分BAC，BAD=CAD=20，PA=PB=PC，ABP=BAP=ACP=20，BPC=ABP+BAC+ACP=20+40+20=8017、已知二次函数y
25、=2（x1）（xm3）（m为常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？【解答】（1）证明：当y=0时，2（x1）（xm3）=0，解得：x1=1，x2=m+3当m+3=1，即m=2时，方程有两个相等的实数根；当m+31，即m2时，方程有两个不相等的实数根不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）解：当x=0时，y=2（x1）（xm3）=2m+6，该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，当2m+60，即m3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方18、如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是
26、一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【解答】解：（1）当y=15时，15=5x2+20x，解得，x1=1，x2=3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）当y=0时，05x2+20x，解得，x3=0，x2=4，40=4，在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）y=5x2
27、+20x=5（x2）2+20，当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m19、关于x的方程2x25xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中A是锐角三角形ABC的一个内角（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y210y+k24k+29=0的两个根恰好是ABC的两边长，求ABC的周长【解答】解：（1）根据题意得=25sin2A16=0，sin2A=1625， sinA=45或 45，A为锐角， sinA=45；（2）由题意知，方程y210y+k24k+29=0有两个实数根，则0，1004（k24k+29）0，（k2）20，（k2）2
28、0，又（k2）20， k=2，把k=2代入方程，得y210y+25=0，解得y1=y2=5，ABC是等腰三角形，且腰长为5分两种情况：当A是顶角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=AC=5sinA=45， AD=3，BD=4DC=2， BC=25ABC的周长为10+25；当A是底角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=5，sinA=45， A D=DC=3，AC=6ABC的周长为16，综合以上讨论可知：ABC的周长为10+25或1620、知识背景当a0且x0时，因为（xax）20，所以x2a+ax0，从而x+ax2a（当x=a时取等号）设函数y=x+ax（
29、a0，x0），由上述结论可知：当x=a时，该函数有最小值为2a应用举例已知函数为y1=x（x0）与函数y2=4x（x0），则当x=4=2时，y1+y2=x+4x有最小值为24=4解决问题（1）已知函数为y1=x+3（x3）与函数y2=（x+3）2+9（x3），当x取何值时，y2y1有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？【解答】解：（
30、1）y2y1=(x+3)2+9x+3=（x+3）+9x+3，当x+3=9x+3时，y2y1有最小值，x=0或6（舍弃）时，有最小值=6（2）设该设备平均每天的租货使用成本为w元则w=490+200x+0.0001x2x=490x+0.001x+200，当490x=0.001x时，w有最小值，x=700或700（舍弃）时，w有最小值，最小值=201.4元21、已知抛物线L：y=x2+x6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C（1）求A、B、C三点的坐标，并求ABC的面积；（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L，且L与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴
31、相交于点C，要使ABC和ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式【解答】解：（1）当y=0时，x2+x6=0，解得x1=3，x2=2，A（3，0），B（2，0），当x=0时，y=x2+x6=6， C（0，6），ABC的面积=12ABOC=12（2+3）6=15；（2）抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L，AB=AB=5，ABC和ABC的面积相等，OC=OC=6，即C（0，6），设抛物线L的解析式为y=x2+bx6，设A（m，0）、B（n，0），则m、n为方程x2+bx6=0的两根，m+n=b，mn=6，|nm|=5，（nm）2=25，（m+n）24mn=25，b24（6）=25，解
32、得b=1或1，抛物线L的解析式为y=x2+x6或y=x2x622、若关于x的一元二次方程x2（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围【解答】解：关于x的一元二次方程x2（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，=（2a+1）24a2=4a+10，解得：a1423、已知x1，x2是一元二次方程x22x1=0的两实数根，则12x1+1+12x2+1的值是【解答】解：x1、x2是一元二次方程x22x1=0的两实数根，x1+x2=2，x1x2=1，x12=2x1+1，x22=2x2+1，12x1+1+12x2+1=1x12+1x22=x12+x22(x1x2)2=(x1+x2)
33、2-2x1x2(x1x2)2=22-2(-1)(-1)2=6故答案为：624、已知关于x的一元二次方程x2（2m2）x+（m22m）=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值【解答】解：（1）由题意可知：=（2m2）24（m22m）=40，方程有两个不相等的实数根（2）x1+x2=2m2，x1x2=m22m， x12+x22=（x1+x2）22x1x2=10，（2m2）22（m22m）=10，m22m3=0， m=1或m=325、已知关于x的一元二次方程x22x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x20，求a的取值
34、范围【解答】解：该一元二次方程有两个实数根，=（2）241a=44a0，解得a1，由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，x1x2+x1+x20， a+20，解得：a2， 2a126、已知二次函数y=316x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（4，92）两点（1）求b，c的值（2）二次函数y=316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况【解答】解：（1）把A（0，3），B（4，92）分别代入y=316x2+bx+c，得&c=3&-31616-4b+c=-92，解得&b=98&c=3；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=316x2+98x+3=（
35、98）24（316）3=225640，所以二次函数y=316x2+bx+c的图象与x轴有公共点316x2+98x+3=0的解为：x1=2，x2=8公共点的坐标是（2，0）或（8，0）27、设二次函数y=ax2+bx（a+b）（a，b是常数，a0）（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由（2）若该二次函数图象经过A（1，4），B（0，1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式（3）若a+b0，点P（2，m）（m0）在该二次函数图象上，求证：a0【解答】解：（1）由题意=b24a（a+b）=b2+4ab+4a2=（2a+b）20二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一
36、个（2）当x=1时，y=a+b（a+b）=0抛物线不经过点C把点A（1，4），B（0，1）分别代入得&4=a-b-(a+b)&-1=-(a+b)，解得&a=3&b=-2抛物线解析式为y=3x22x1（3）当x=2时，m=4a+2b（a+b）=3a+b0a+b0ab0相加得：2a0a028、已知抛物线y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0），（3，0），求a，b的值【解答】解：抛物线y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0），（3，0），&a-b-3=0&9a+3b-3=0，解得&a=1&b=-2，即a的值是1，b的值是229、学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，
37、P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）【解答】解：（1）P1（4，0），P2（0，0），40=40，绘制线段P1P2，P1P2=4；（2）P1（0，0），00=0， 绘制抛物线，设y=ax（x4），把（6，6）代入得6=12a，解得a=12，y=12x（x4）=12x22x30、已知抛物线y=12x2+bx+c经过点（1，0），（0，32）（1）求该抛物线的函数表达式；
38、（2）将抛物线y=12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式【解答】解：（1）把（1，0），（0，32）代入抛物线解析式得：&-12+b+c=0&c=32，解得：&b=-1&c=32，则抛物线解析式为y=12x2x+32；（2）抛物线解析式为y=12x2x+32=12（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=12x231、如图，抛物线y=ax2+bx（a0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B（1）求a，b的值（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP设点P的横坐标为m，OBP的面积为S，记K=Sm求K关于m的函数表达式及K的范围【解答】解：（1）将x=2代入y=2x，得y=4， 点M（2，4），由题意，得：&-b2a=2&4a+2b=4， &a=-1&b=4；（2）如图，过点P作PHx轴于点H，点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=x2+4x， PH=m2+4m，B（2，0）， OB=2，S=12OBPH = 122（m2+4m）=m2+4m，K=Sm=m+4，由题意得A（4，0），M（2，4），2m4，K随着m的增大而减小，0K2
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