1、提分专练(三)以四边形为背景的计算题与证明题|类型1|特殊四边形的综合1.2017酒泉 如图T3-1,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.图T3-1|类型2|动点问题2.2019徐州树人一模如图T3-2,在菱形ABCD中,已知BAD=120,对角线BD长为12.(1)求菱形ABCD的周长.(2)动点P从点A出发,沿AB的方向,以每秒1个单位长度的速度向点B运动;在点P出发的同时,动点Q从点D出发,沿DCB的方向,以每秒2个单位长度的速度向点B运动.设运动时间
2、为t(s).当PQ恰好被BD平分时,试求t的值;连接AQ,试求:在整个运动过程中,当t取怎样的值时,APQ恰好是一个直角三角形?图T3-2|类型3|四边形的折叠3.2019金华 将一张正方形纸片按如图T3-3步骤,通过折叠得到图,再沿虚线剪去一个角,展开铺平后得到图,其中FM,GN是折痕,若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等,则FMGF的值是()图T3-3A.5-22B.2-1C.12D.224.2019杭州 如图T3-4,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A点,D点的对称点为D点,若FPG
3、=90,AEP的面积为4, DPH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于.图T3-45.2019青岛 如图T3-5,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4 cm,则CF的长是 cm.图T3-56.2016连云港 如图T3-6,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N.若AD=2,则MN=.图T3-67.2014淮安 如图T3-7,在ABC中,AD平分BAC,将ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB,AC于点E,F
4、,连接DE,DF.求证:四边形AEDF是菱形.图T3-78.如图T3-8,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=3,点E在边CD上移动,连接AE,将四边形ABCE沿直线AE折叠,得到四边形ABCE,点B,C的对应点分别为点B,C.(1)当BC恰好经过点D时(如图),求线段CE的长;(2)若BC分别交边AD,CD于点F,G,且DAE=22.5(如图),求DFG的面积;(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C运动的路径长.图T3-89.2017威海 如图T3-9,四边形ABCD为一个矩形纸片,AB=3,BC=2,动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止.ADP以直线AP为轴翻折,点D落到
5、点D1的位置.设DP=x,AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时,直线AD1过点C?(2)当x为何值时,直线AD1过BC的中点E?(3)求出y与x的函数关系式.图T3-9|类型4|四边形的平移、旋转10.2019绍兴 如图T3-10,正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D,在点E从点A移动到点B的过程中,矩形ECFG的面积()图T3-10A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变11.问题:如图T3-11,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,EAF=45,试判断BE,EF,FD之间的数量关系.【发现证明】小聪把ABE
6、绕点A逆时针旋转90至ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图证明上述结论.【类比引申】如图,四边形ABCD中,BAD90,AB=AD,B+D=180,点E,F分别在边BC,CD上,则当EAF与BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD.【探究应用】如图,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,B=60,ADC=120,BAD=150,道路BC,CD上分别有景点E,F,且AEAD,DF=40(3-1)米,现要在E,F之间修一条笔直道路,求这条道路EF的长(结果取整数,参考数据:21.41,31.73).图T3-1112.2019德州 (1)如图T3-12,菱
7、形AEGH的顶点E,H在菱形ABCD的边上,且BAD=60,请直接写出HDGCEB的结果(不必写计算过程).(2)将图中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图,求HDGCEB.(3)把图中的菱形都换成矩形,如图,且ADAB=AHAE=12,此时HDGCEB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.图T3-12【参考答案】1.解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,ABDC,OB=OD,OBE=ODF,又BOE=DOF,BOEDOF(ASA),EO=FO,四边形BEDF是平行四边形.(2)当四边形BEDF是
8、菱形时,设BE=x则DE=x,AE=6-x,在RtADE中,DE2=AD2+AE2,x2=42+(6-x)2,x=133,S菱形BEDF=BEAD=1334=523=12BDEF,又BD=AB2+AD2=62+42=213,12213EF=523,EF=4133.2.解:(1)连接AC,交BD于点O.则AOB=90,BO=6.在ABO中,求得AB=43,菱形ABCD的周长为163.(2)当点Q在CD边上时,设PQ交BD于M,则PM=QM,ABCD,BPDQ=PMQM=1,BP=DQ,根据题意得:AP=t,DQ=2t,则BP=43-t,43-t=2t,解得t=43 3;当点Q在CB边上时,不存在
9、.当点Q在CD边上时,若PAQ=90,如图所示:ABCD,AQD=PAQ=90,DAQ=30,DQ=12AD=23,即2t=23,得t=3.若APQ=90,如图,作ANCD于N,则PAN=90,NQ=AP=t,DAN=30,DN=12AD=23.DQ=DN+NQ,2t=23+t,解得:t=23;当点Q在CB边上时,如图所示:根据题意得:AP=t,BP=43-t,CQ=2t-43,BQ=43-(2t-43)=83-2t,BP=12BQ.作QHBP于H,ABC=60,BQH=30,BH=12BQ=43-t,BP=BH,即H与P重合,BPQ=90,即APQ=90恒成立.当23t43时,APQ都为直角
10、三角形.综上可得,当t=3或23t43时,APQ恰好为直角三角形.3.A解析连接EG,FH交于点O,由题意得OGF是等腰直角三角形,OF=22GF.正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等,(OF+FM)2=54GF2,22GF+FM=52GF,FM=52GF-22GF,FMGF=5-22.故选A.4.2(5+35)解析四边形ABCD是矩形,AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x,由翻折可知:PA=AB=x,PD=CD=x,AEP的面积为4,DPH的面积为1,AE=4DH,设DH=a,则AE=4a,易求AEPDPH,DHPA=PDEA,ax=x4a,x2=4a2,x=2a或x=-2a(舍去
11、),PA=PD=2a,12a2a=1,a=1或a=-1(舍去),x=2,AB=CD=2,PE=22+42=25,PH=12+22=5,AD=4+25+5+1=5+35,矩形ABCD的面积=2(5+35).故答案为2(5+35).5.(6-25)解析由勾股定理得AE=25 cm,根据题意得GE=(25-4)cm,设BF=x cm,则FC=(4-x) cm,所以(25-4)2+x2=22+(4-x)2,解得x=25-2,所以CF=(6-25)cm.6.13解析设DH=x,则CH=2-x,再根据翻折变换的性质得出DE,EH,然后利用勾股定理列出方程求出x,再根据相似三角形的性质,可得NE的长,根据线
12、段的和、差,可得答案.设DH=x,则CH=2-x.由翻折的性质,知DE=1,EH=CH=2-x,在RtDEH中,DE2+DH2=EH2,即12+x2=(2-x)2,解得x=34,EH=2-x=54.MEH=C=90,AEN+DEH=90,ANE+AEN=90,ANE=DEH,又A=D,ANEDEH,AEDH=ENEH,即134=EN54,解得EN=53,MN=ME-EN=2-53=13,故答案为13.7.证明:由折叠可知AE=ED,AF=DF,1=2,3=4.又AD平分BAC,1=3.1=2=3=4,AEDF,AFED,四边形AEDF为平行四边形,又AE=ED,四边形AEDF为菱形.8.解:(
13、1)由折叠得B=B=90,AB=AB=1,BC=BC=3,CE=CE,由勾股定理得,BD=AD2-AB2=(3)2-12=2,所以DC=3-2,因为ADE=90,所以ADB+EDC=90,又因为EDC+DEC=90,所以ADB=DEC,又B=C=90,所以ABDDCE,所以ABDC=BDCE,即13-2=2CE,所以CE=CE=6-2.(2)BAD=B=D=90,DAE=22.5,BAE=90-22.5=67.5,BAF=67.5-22.5=45,BAF=BFA=45,DFG=AFB=DGF=45,DF=DG.在RtABF中,AB=FB=1,AF=2AB=2,DF=DG=3-2,SDFG=12
14、(3-2)2=52-6.(3)如图,点C运动的路径长为CC的长,在RtADC中,tanDAC=CDAD=33,DAC=30,AC=2CD=2.CAD=DAC=30,CAC=60,CC的长=602180=23.9.解:(1)如图,由题意得,ADPAD1P.AD1=AD=2,PD=PD1=x,PDA=PD1A=90.直线AD1过点C,PD1AC.在RtABC中,AB=3,BC=2,AC=22+32=13,CD1=13-2.在RtPCD1中,PC2=PD12+CD12,即(3-x)2=x2+(13-2)2,解得x=213-43.当x=213-43时,直线AD1过点C.(2)如图,连接PE.E为BC中
15、点,BE=CE=1.在RtABE中,AE=AB2+BE2=10.AD1=AD=2,PD=PD1=x,D1E=10-2,PC=3-x.在RtPD1E和RtPCE中,x2+(10-2)2=(3-x)2+12,解得x=210-23.当x=210-23时,直线AD1过BC的中点E.(3)如图,当0x2时,y=x.如图,当2x3时,点D1在矩形外部,PD1与AB交于点F.ABCD,1=2.1=3,2=3,FP=FA.作PGAB,垂足为点G,设FP=FA=a,由题意得,AG=DP=x,FG=x-a.在RtPFG中,由勾股定理,得(x-a)2+22=a2,解得a=4+x22x,y=1224+x22x=x2+
16、42x.综上所述,当0x2时,y=x;当2x3时,y=x2+42x.10.D解析四边形ABCD是正方形,四边形ECFG是矩形,B=F=BCD=ECF=90,又BCE+ECD=ECD+FCD=90,BCE=FCD,BCEFCD.BCEC=CFCD,BCCD=FCCE,矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等,故选D.11.解析 【发现证明】 根据旋转的性质可以得到AE=AG,BE=DG,B=ADG=90,EAG=90,再根据“SAS”证明AFGAFE可得EF=GF,由此证得结论.【类比引申】 根据上面的特殊情况中EAF=12BAD,猜想一般情况下也应满足EAF=12BAD才能得到结论,证明过程与上
17、面类似.【探究应用】 连接AF.要运用这个几何模型必须先证明EAF=75.过点A作AHCD于点H,解两个直角三角形RtAHD和RtAHF来得以实现.解:【发现证明】 证明:由旋转可得AE=AG,BE=DG,B=ADG=90,EAG=BAD=90.四边形ABCD为正方形,ADC=90,ADC+ADG=180,G,D,C三点共线.EAF=45,GAF=45,GAF=FAE.又AF=AF,AFGAFE(SAS),GF=EF.GF=GD+DF,EF=BE+DF.【类比引申】 EAF=12BAD理由如下:如图,将ABE绕点A逆时针旋转BAD的度数至ADG,使AB与AD重合.由旋转可得AE=AG,BE=D
18、G,B=ADG,BAE=DAG.B+ADC=180,ADC+ADG=180,G,D,C三点共线.BAE=DAG,BAD=EAG.EAF=12BAD,GAF=FAE.又AF=AF,AFGAFE(SAS),GF=EF.GF=GD+DF,EF=BE+DF.故答案为EAF=12BAD.【探究应用】 BAD=150,DAE=90,BAE=60.又B=60,ABE是等边三角形,BE=AB=80.如图,连接AF,过点A作AHCD交CD的延长线于点H.在RtAHD中,ADH=180-ADC=60,AD=80,HAD=30,HD=12AD=40,AH=AD2-DH2=403.DF=40(3-1),HF=HD+D
19、F=40+40(3-1)=403,在RtAHF中,AH=HF,HAF=45,DAF=15,EAF=90-15=75,EAF=12BAD.运用上面的结论可得EF=BE+DF=80+40(3-1)=40+403109.即这条道路EF的长约为109米.12.分析 (1)连接AG,由菱形AEGH的顶点E,H在菱形ABCD的边上,且BAD=60,易得A,G,C共线,延长HG交BC于点M,延长EG交DC于点N,连接MN,交GC于点O,则四边形GMCN也为菱形,利用菱形对角线互相垂直,结合三角函数可得结论;(2)连接AG,AC,由ADC和AHG都是等腰三角形,易证DAHCAG与DAHBAE,利用相似三角形的
20、性质及菱形的性质可得结论;(3)连接AG,AC,易证ADCAHG,DAHCAG和ADHABE,利用相似三角形的性质可得结论.解:(1)如图,连接AG,菱形AEGH的顶点E,H在菱形ABCD的边上,且BAD=60,GAE=CAB=30,AE=AH,AB=AD,A,G,C共线,AB-AE=AD-AH,HD=EB,延长HG交BC于点M,延长EG交DC于点N,连接MN,交GC于点O,则四边形GMCN也为菱形,GCMN,NGO=AGE=30,OGGN=cos30=32,GC=2OG,GNGC=13,四边形HGND为平行四边形,HD=GN,HDGCEB=131.(2)如图,连接AG,AC,ADC和AHG都是等腰三角形,ADAC=AHAG=13,DAC=HAG=30,DAH=CAG,DAHCAG,HDGC=ADAC=13,DAB=HAE=60,DAH=BAE,在DAH和BAE中, AD=AB,DAH=BAE,AH=AE,DAHBAE(SAS),HD=EB,HDGCEB=131.(3)有变化.如图,连接AG,AC,ADAB=AHAE=12,ADC=AHG=90,ADCAHG,ADAC=AHAG=15,DAC=HAG,DAH=CAG,DAHCAG,HDGC=ADAC=15.DAB=HAE=90,DAH=BAE,DAAB=HAAE=12,ADHABE,DHBE=ADAB=12,HDGCEB=152.
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