1、2018-2019学年浙江省绍兴市高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）复数z1i（i为虚数单位）的虚部为（）A1B1CiDi2（4分）已知空间向量（1，1，0），（3，2，1），则|（）ABC5D3（4分）已知函数f（x）3x2，则f（x）在x3处的导数为（）A6B12C18D274（4分）设xR，则“2x3”是“|x2|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（4分）已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，则此双曲线的离心率为（）A5BCD6（4分）
2、已知椭圆1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，若以原点为圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆方程为（）ABCD7（4分）若函数f（x）mx3+2x23x1存在单调递增区间，则实数m的值可以为（）ABCD8（4分）若过点P（1，n）可作两条不同直线与曲线yx2+2x（1x2）相切，则n（）A既有最大值又有最小值B有最大值无最小值C有最小值无最大值D既无最大值也无最小值9（4分）已知ab0，则下列不等式正确的是（）A|b|a|B|3ab|3ba|C|lgab|lgba|D|lgab|lgba|10（4分）对任意的nN*，不等式（1+）ne（）a恒成立（其中e是自然对
3、数的底数），则实数a的最大值为（）Aln21BCln31D1二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11（6分）已知向量（x，1，1），（4，1，0），|，则x ， 12（6分）复数z12i，则|z| ，| 13（6分）用数学归纳法证明“1+（nN*）”，第一步应验证的等式是 ，从“nk”到“nk+l”左边需增加的代数式是 14（6分）已知函数f（x）x4+ax3+2x2+b，其中a，bR若f（x）仅在x0处有极值，则a的取值范围是 ；若a4，则f（x）的所有极值点之
4、和为 15（4分）已知F为抛物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|FB|，则 16（4分）函数f（x）lnx2的零点个数为 17（4分）已知椭圆C1：m2x2+y21（0m1）与双曲线C2：n2x2y21（n0）有共同的焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的取值范围是 三、解答题本大共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f（x）x3+ax+4，aR（）若a4，求函数f（x）的单调递增区间；（）若a9，且函数f（x）在区间0，3上单调递减，求a的值1
5、9（15分）如图，FA平面ABC，ABC90，ECFA，FA3，EC1，AB2，AC4，BDAC交AC于点D（）证明：FDBE；（）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值20（15分）已知等比数列an，bn的公比分别为p，q（pq，nN*）（）若a1b11，p2q4，求数列的前n项和Sn；（）若数列cn满足cnan+bn，求证：数列cn不是等比数列21（15分）如图，F是椭圆C：1（ab0）的右焦点，直线AB：x2y+20与椭圆C相切于点A（）若a，求b；（）若|，0，求椭圆C的方程22（15分）已知函数f（x）ln（1+），f （1）ln2（）证明：f（）x；（）若f（2）+f（22）+f（2
6、n）m对任意的nN*均成立，求实数m的最小值2018-2019学年浙江省绍兴市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）复数z1i（i为虚数单位）的虚部为（）A1B1CiDi【分析】利用虚部的定义即可得出【解答】解：复数z1i（i为虚数单位）的虚部是1故选：B【点评】本题考查了复数的虚部，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（4分）已知空间向量（1，1，0），（3，2，1），则|（）ABC5D【分析】利用向量坐标运算法则先求出，由此能求出|【解答】解：空间向量（1，1，0），（3，2，
7、1），（4，3，1），|故选：D【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（4分）已知函数f（x）3x2，则f（x）在x3处的导数为（）A6B12C18D27【分析】可求导函数得出f（x）6x，从而得出f（x）在x3处的导数为f（3）18【解答】解：f（x）6x；f（3）18故选：C【点评】考查基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法4（4分）设xR，则“2x3”是“|x2|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】“2x3”“|x2|1”，|x2|11x3【解答】解：xR，“2x3”“|x2
8、|1”，|x2|11x3，“2x3”是“|x2|1”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（4分）已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为y2x，则此双曲线的离心率为（）A5BCD【分析】根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为yx，双曲线的一条渐近线方程为y2x，即2，则b2a，则双曲线的离心率为e故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，结合双曲线的渐近线方程是解决本题的关键6（4分）已知椭圆1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，若以原
9、点为圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆方程为（）ABCD【分析】利用椭圆的性质以及圆与椭圆的位置关系，求出b，c，a即可得到椭圆方程【解答】解：椭圆1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，c2；若以原点为圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，可得bc2，则a2所以椭圆的方程为：故选：A【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（4分）若函数f（x）mx3+2x23x1存在单调递增区间，则实数m的值可以为（）ABCD【分析】若函数f（x）在R上存在单调递增区间存在区间I，使得xI时，f（x）0，
10、求解即可【解答】解：函数f（x）mx3+2x23x1，所以f'（x）3mx2+4x3，当m0时导函数是开口向下的抛物线，要使f'（x）在R上存在子区间使f'（x）0，只需16+36m0，解得0m，当m0时，导函数存在满足f（x）0的x的区间，所以m的取值范围是（，+）因为，所以D正确；故选：D【点评】本题主要考查了函数存在极值的性质：函数在xx0处取得极值，则f（x0）0，但f（x0）0，函数在处不一定是极值点；函数f（x）在R存在单调递增区间与函数f（x）在R调递增是两个完全不同的概念，要注意区分8（4分）若过点P（1，n）可作两条不同直线与曲线yx2+2x（1x2）
11、相切，则n（）A既有最大值又有最小值B有最大值无最小值C有最小值无最大值D既无最大值也无最小值【分析】设切点为（x0，）（1x02），求出曲线在切点处的切线方程，把点P（1，n）代入，可得关于x0的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的分布列式求解【解答】解：设切点为（x0，）（1x02），由yx2+2x（1x2），得y2x0+2，则过切点处的切线方程为y（2x0+2）（xx0），代入点（1，n），可得，即由方程x22x+n20在1，2上有两个不同实数根，得，解得2n3n有最小值无最大值故选：C【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查一元二次方程根的分布，是中档题9（4分）已
12、知ab0，则下列不等式正确的是（）A|b|a|B|3ab|3ba|C|lgab|lgba|D|lgab|lgba|【分析】取a4，b1可排除B，C，取a1，b可排除A，从而得到正确选项【解答】解：由ab0，取a4，b1，则|3ab|341|80，|3ba|34|1故B不正确；|lgab|lg41|lg14|4，故C不正确；取a1，b，则，故A不正确故选：C【点评】本题考查了基本不等式的性质，属基础题10（4分）对任意的nN*，不等式（1+）ne（）a恒成立（其中e是自然对数的底数），则实数a的最大值为（）Aln21BCln31D1【分析】不等式（1+）ne（）a，构造函数，研究其最值，即可得解
13、【解答】解：不等式（1+）ne（）a，构造函数，x（0，1，则，令，x0，1，则，令，x0，1，则，函数h（x）在（0，1上为减函数，h（x）h（0）0，即g（x）0，函数g（x）在0，1上为减函数，g（x）g（0）0，即f（x）0，函数f（x）在（0，1上为减函数，f（x）f（1），nN*，即实数a的最大值为故选：B【点评】本题考查对数不等式的恒成立问题，考查变形及化简能力，考查函数思想，属于中档题二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11（6分）已知向量（x，1，1），（4，1，0），|，则x0，1【分析】利用向量的模求出x，然后求解空间向量的数量积即可【解
14、答】解：向量（x，1，1），|，则x0，向量（0，1，1），（4，1，0），04+11+101故答案为：0；1【点评】本题考查空间向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查12（6分）复数z12i，则|z|，|【分析】利用复数商的模等于模的商求解即可得答案【解答】解：由z12i，得|z|，|故答案为：，【点评】本题考查了复数模的求法，是基础题13（6分）用数学归纳法证明“1+（nN*）”，第一步应验证的等式是1，从“nk”到“nk+l”左边需增加的代数式是【分析】直接利用数学归纳法写出n1时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项从nk到nk+1时，左边需增加的代数式即可【
15、解答】解：用数学归纳法证明“1+（nN*）”，第一步应验证不等式为：1；从nk到nk+1时，左边需增加的代数式是：，故答案为：1；【点评】在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误14（6分）已知函数f（x）x4+ax3+2x2+b，其中a，bR若f（x）仅在x0处有极值，则a的取值范围是，；若a4，则f（x）的所有极值点之和为3【分析】求导函数，要保证函数f（x）仅在x0处有极值，必须满足f（x）在x0两侧异号利用韦达定理求解极值点之和即可【解答】解：由题意，f（x）4x3+3ax2+4xx（4x2
16、+3ax+4），要保证函数f（x）仅在x0处有极值，必须满足f（x）在x0两侧异号，所以要4x2+3ax+40恒成立，由判别式有：（3a）2640，9a264，a，a的取值范围是，a4，则f（x）x4+4x3+2x2+b，f（x）4x3+12x2+4x4x（x2+3x+1），所以函数的极值点之和为：0+33故答案为：，；3【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题15（4分）已知F为抛物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|FB|，则3+2【分析】先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一
17、元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），F为抛物线y24x的焦点（1，0）x26x+10，x1，x2（x1x2）由抛物线的定义知3+2故答案为：3+2【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用16（4分）函数f（x）lnx2的零点个数为2【分析】求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1y2lnx+2（x0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+），由函数零点的定义，f（x）在（0，+）内的零点即是方程lnx20的根，令y1，y2lnx+2
18、（x0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：两个函数都是增函数，函数在（0，1）内有1个交点，xe时，y13，y2lne+23，x98时，y110，y2ln98+27，由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故答案为：2【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数17（4分）已知椭圆C1：m2x2+y21（0m1）与双曲线C2：n2x2y21（n0）有共同的焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的取值范围是（1，+）【分析】化椭圆和双曲线方程为标准方程，结合椭圆和双曲线的基本量的关系、离心率公式和换元法
19、，以及基本不等式可得所求范围【解答】解：椭圆C1：m2x2+y21（0m1）即为+y21，即有e1，双曲线C2：n2x2y21（n0）即为y21，可得e2，由题意可得1+1，即n2，则则e1e2，可令t12m2，0t1，即m2，则1，可得则e1e2的取值范围是（1，+）故答案为：（1，+）【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要是离心率的范围，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题本大共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f（x）x3+ax+4，aR（）若a4，求函数f（x）的单调递增区间；（）若a9，且函数f（x）在区间0，3上单调递减，求
20、a的值【分析】（）求出导函数，通过导函数的符号列出不等式求解函数的单调增区间即可（）通过导函数的符号，得到a的范围与已知条件比较可得a 的值【解答】解：（）a4，函数f（x）x34x+4，可得f（x）x24，由x240，解得x2或x2，函数f（x）的单调递增区间：（，2），（2，+）（）函数f（x）在区间0，3上单调递减，f（x）x2+a0，则ax2，因为x0，3，所以a9，因为a9，所以a9【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力19（15分）如图，FA平面ABC，ABC90，ECFA，FA3，EC1，AB2，AC4，BDAC交AC于点D（）证明：FDB
21、E；（）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值【分析】（）通过证明FD平面BDE得出FDBE；（）利用垂直关系建立空间坐标系，借助空间向量计算线面角的正弦值【解答】解：（）证明1：在ABC中，ABC90，AB2，AC4，因为BDAC交AC于点D，所以AD1，CD3因为FA平面ABC，ECFA，EC1，AC4，所以FADDCE，所以FDDE又因为BDAC，FA平面ABC，所以BD平面FDE，BDFD，所以FD平面BDE，所以FDBE证明2：如图，以D为原点，分别以DB，DC为x，y轴，建立空间直角坐标系，在ABC中，ABC90，AB2，AC4，因为BDAC，所以，所以，所以DFBE（）解：由（）可
22、知，设平面BEF的法向量为，所以即令，y，所以 设直线BC与平面BEF所成角为，则【点评】本题考查空间垂直关系的证明以及空间角（线面角）的计算，属于中档题目20（15分）已知等比数列an，bn的公比分别为p，q（pq，nN*）（）若a1b11，p2q4，求数列的前n项和Sn；（）若数列cn满足cnan+bn，求证：数列cn不是等比数列【分析】（）由已知根据等比数列定义可以轻松写出通项，做商化简即可；（）用反证法，假设数列cn是等比数列，根据已知条件推出矛盾即可【解答】解：（）由已知可得，所以（）证明：假设数列cn是等比数列，则，n2，即，所以，即，所以2，所以pq，与已知条件中p，q不相等矛盾
23、，因此假设不成立，故数列cn不是等比数列【点评】此题考查了等比数列的定义、通项公式，在证明的过程中使用了反证法证明，很简洁有力中档题21（15分）如图，F是椭圆C：1（ab0）的右焦点，直线AB：x2y+20与椭圆C相切于点A（）若a，求b；（）若|，0，求椭圆C的方程【分析】（）根据相切建立方程求出b的值；（）过A、B作x轴的垂线段，利用三角形相似建立方程求出c的值，进而a、b的值【解答】解：（）由消去y，整理得（*）因为直线与椭圆相切，所以0，整理得，又，所以（）将代入（*）式，整理得，所以，即过A、B作x轴的垂线段，垂足分别为E、D；因为AFBF，AFB90，所以AEFFDB，设F（c，
24、0），所以FDAEb2，所以，代入x2y+20，得c+b2（a2+2c）+20，即a2b2+c20，即c2+c20，因为c0，所以c1；由及a2b2+c2，解得因此椭圆C的方程为【点评】本题考查椭圆的方程与性质，属于中档题目22（15分）已知函数f（x）ln（1+），f （1）ln2（）证明：f（）x；（）若f（2）+f（22）+f（2n）m对任意的nN*均成立，求实数m的最小值【分析】（）证明：f（）x；设新函数F（x）ln（1+x）x，利用新函数的单调性求最值F（x）F（0）0即可证明（）利用f（2）+f（22）+f（2n）m对任意的nN*均成立，求令g（n）f（2）+f（22）+f（23
25、）+f（2n）的最大值即可求实数m的最小值【解答】解：（1）证明：因为函数f（x）ln（1+），f （1）ln2由f（1）ln2得：a1，f（x）ln（1+），x（，1）（0，+）；设F（x）ln（1+x）x，F（x）1，所以，函数F（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）单调递减，所以，F（x）F（0）0又因为f（）xln（1+x）x，其中x（1，0）（0，+），所以，f（）x0，所以，f（）x成立；（）解：设Tln（1+）+ln（1+）+ln（1+），g（n）f（2）+f（22）+f（23）+f（2n）；g（1）ln（1+）lnln（3+）；g（2）ln（1+）+ln（1+）Inln（3+），所以，g（2）g（1）；下面证明当n2，nN+时，g（n+1）g（n）成立，g（n+1）g（n）Tn+ln（1+）+；因为：01+1+1+，所以：ln（1+）ln（1+）ln（1+）；所以：ln（1+）ln（1+）0，ln（1+）ln（1+）0；又因为当n2时，（1+）2（1+）0所以：2ln（1+）1n（1+）0，所以：g（n+1）g（n）0，所以，当n2时，g（n+1）g（n）故，g（1）g（2）g（3）g（4），所以，g（n）的最大值为g（2）ln，所以，m的最小值为：ln【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于难题
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