1、2018-2019学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）设集合AxR|0x2，BxR|x|1，则AB（）A（0，1）B（0，2）C（1，2）D（1，2）2（4分）已知复数z满足z（i为虚数单位），则|z|（）A1B2C3D3（4分）已知曲线f（x）x3ax2+2在点 （1，f （1）处的切线的倾斜角为，则实数a（）A2B1C2D34（4分）若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）ACCBCCCCCDCC5（4分）若定义在a，b上的函数f（x）的导
2、函数f（x）的图象如图所示，则（）A函数 f （x） 有1个极大值，2 个极小值B函数 f （x） 有 2 个极大值，3个极小值C函数 f （x） 有 3个极大值，2 个极小值D函数 f （x） 有 4 个极大值，3个极小值6（4分）把函数ysinx（xR）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）Aysin（+）Bysin（2x+）Cysin（x）Dysin（2x）7（4分）用数学归纳法证明不等式（nN*），则当nk+1时，左端应在nk的基础上加上（）ABCD8（4分）有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照
3、相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A144B216C288D4329（4分）ABC中，C90，M是BC的中点，若sinBAM，则sinBAC（）ABCD10（4分）若存在实数a，b，使不等式4elnxax+b2x2+2对一切正数x都成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的最小值是（）A2eB4CeD2二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知多项式 （12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则a0 ，a3 12（6分）已知an是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a21，则
4、a1 ，d 13（6分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，b，ABC的面积为，则c ，B 14（6分）设函数f（x）x3x2已知a0，且f（x）f（a）（xb）（xa）2（xR），则实数a ，b 15（4分）今有4张卡片上分别写着1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张的片上的数字之和为奇数的概率是 16（4分）已知两非零向量满足，则向量夹角的最大值是 17（4分）若函数f（x）x（lnx1）axb（a，bR）在1，e存在零点（其中e为自然对数的底数），则a2+2b的最小值是 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5、18（14分）已知函数f（x）x33ax2x在x1处取到极值（）求实数a的值，并求出函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在1，2上的最大值与最小值及相应的x的值19（15分）一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为（）求m，n的值；（）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率20（15分）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD6，E在线段AD上，DE2，现沿BE将ABE折起，使A至位置A，F在线段AC上，且CF2FA（）
6、求证：DF平面ABE；（）若A在平面BCDE上的射影O在直线BC上，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值21（15分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y216x上的相异两点，且x1+x28（）若直线AB过M （2，0），求AB的值；（）若直线AB的垂直平分线交x轴与点P，求PAB面积的最大值22（15分）已知函数f（x）lnx+2x2mx（mR）（）若函数f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的最大值；（）若存在正实数对（a，b），使得当f（a）f（b）1时，ab1能成立，求实数m的取值范围2018-2019学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大
7、题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）设集合AxR|0x2，BxR|x|1，则AB（）A（0，1）B（0，2）C（1，2）D（1，2）【分析】分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合AxR|0x2，BxR|x|1x|1x1，ABx|0x1（0，1）故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（4分）已知复数z满足z（i为虚数单位），则|z|（）A1B2C3D【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，然后求模即可【解答】解：z（i+2i2）2i，故选：D【点评】本题主要考查复数
8、模长的计算，属基础题3（4分）已知曲线f（x）x3ax2+2在点 （1，f （1）处的切线的倾斜角为，则实数a（）A2B1C2D3【分析】求得导函数，利用f（x）x3ax2+2在点（1，f（1）处切线的倾斜角为，可得f（1）1，由此可求a的值【解答】解：求导函数可得f（x）3x22ax函数f（x）x3ax2+2在x1处的切线倾斜角为，f（1）1，32a1，a2故选：C【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题4（4分）若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）ACCBCCCCCDCC【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从90件产品中任
9、取3件的取法，再排除其中全部为正品的取法，分析可得答案【解答】解：根据题意，用间接法分析：从90件产品中任取3件，有C903种取法，其中没有次品，即全部为正品的取法有C853种取法，则至少有一件是次品的取法有C903C853种；故选：C【点评】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题5（4分）若定义在a，b上的函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则（）A函数 f （x） 有1个极大值，2 个极小值B函数 f （x） 有 2 个极大值，3个极小值C函数 f （x） 有 3个极大值，2 个极小值D函数 f （x） 有 4 个极大值，3个极小值【分析】利用函数取得
10、极大值的充分条件即可得出【解答】解：只有一个极大值点x2当x1xx2时，f（x）0，当x2xx3时，f（x）0当x3xx4时，f（x）0，x4xx5时，f（x）0，x5x时，f（x）0，且f（x1）0，f（x2）0，f（x3）0，f（x4）0，f（x5）0，函数f（x）在xx2xx4处取得极大值xx1，xx3，xx5处取得极小值故选：B【点评】熟练掌握函数取得极大值的充分条件是解题的关键6（4分）把函数ysinx（xR）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）Aysin（+）Bysin（2x+）Cysin（x
11、）Dysin（2x）【分析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w的值变为原来的 倍，得到答案【解答】解：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数ysin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以 x代x，得到函数：ysin（ x+）故选：A【点评】本题主要考查三角函数的平移变换属基础题7（4分）用数学归纳法证明不等式（nN*），则当nk+1时，左端应在nk的基础上加上（）ABCD【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明不等式（nN*），当nk+1时左端应在nk的基础上加上的式子，可以分别使得nk，和nk+1代入等式，然后把nk+1时等式的左端减去nk时等
12、式的左端，即可得到答案【解答】解：当nk时，等式左端，当nk+1时，等式左端增加了故选：D【点评】此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目8（4分）有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）A144B216C288D432【分析】利用排列组合知识直接求解【解答】解：有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是：432故选：D【点评】本题考查排法总数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能
13、力，考查函数与方程思想，是中档题9（4分）ABC中，C90，M是BC的中点，若sinBAM，则sinBAC（）ABCD【分析】作出图象，设出未知量，在ABM中，由正弦定理可得sinAMB，进而可得cos，在RTACM中，还可得cos，建立等式后可得ab，再由勾股定理可得cb，即可得出结论【解答】解：如图，设ACb，ABc，CMMB，MAC，在ABM中，由正弦定理可得，代入数据解得sinAMB，故coscos（AMC）sinAMCsin（AMB）sinAMB，而在RTACM中，cos，故可得，化简可得a44a2b2+4b4（a22b2）20，解之可得ab，再由勾股定理可得a2+b2c2，联立可得
14、cb，故在RTABC中，sinBAC，故选：D【点评】本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题10（4分）若存在实数a，b，使不等式4elnxax+b2x2+2对一切正数x都成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的最小值是（）A2eB4CeD2【分析】分别画出f（x）4elnx和g（x）2x2+2的图象，确定a0，存在b0，由基本不等式和导数，得到最值，可得所求最小值【解答】解：分别画出f（x）4elnx和g（x）2x2+2的图象，可得a0，若b0，可得4elnxax2x2+2，即有4ea2x+，由2x+24，当且仅当x1时，取得最小值4，由y4e的导数为y
15、4e，可得xe处y取得极大值，且为最大值4，可得a的最小值为4故选：B【点评】本题考查利用导数分析恒成立问题以及函数单调性问题的方法，注意讨论a的取值范围二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知多项式 （12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，则a01，a3160【分析】由二项式定理及用赋值法求展开式项的系数得：令x0得：a0（120）60，（12x）6展开式含x3的项为（2x）3160，即a3160，得解【解答】解：因为（12x）6a0+a1x+a2x2+a6x6，令x0得：a0（120）60，多项式 （12x）6展开式含x3的项为（2x）31
16、60，即a3160，故答案为：1；160【点评】本题考查了二项式定理及用赋值法求展开式项的系数，属中档题12（6分）已知an是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a21，则a1，d1【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得da1，再由条件2a1+a21，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差【解答】解：由a2，a3，a7成等比数列，则a32a2a7，即有（a1+2d）2（a1+d）（a1+6d），即2d2+3a1d0，由公差d不为零，则da1，又2a1+a21，即有2a1+a1+d1，即3a1a11，解得a1，d1故答案为：，1【点评】本题
17、考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用13（6分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，b，ABC的面积为，则c1+，B【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而可求cosB的值，结合B的范围即可求得B的值【解答】解：A，b，ABC的面积为bcsinAc，解得：c1+，由余弦定理可得：a2，可得：cosB，B（0，），B故答案为：1+，【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题14（6分）设函数f（x）x3x2已知a0，且f（x）f（
18、a）（xb）（xa）2（xR），则实数a，b【分析】函数与方程的综合运用及解方程组得：分别令x0，令xb解方程组可得解【解答】解：因为函数f（x）x3x2又f（x）f（a）（xb）（xa）2，令x0得：f（0）f（a）ba2a2a3，又a0，所以ba1，令xb得：f（b）f（a）0，所以a3a2b3+b20，联立得：3a25a+20，解得：或，经检验得a1，b0不合题意，即a，b，故答案为：，【点评】本题考查了函数与方程的综合运用及解方程组，属中档题15（4分）今有4张卡片上分别写着1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张的片上的数字之和为奇数的概率是【分析】列举出所有情况，看
19、取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可【解答】解：列树状图得：共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为8种，所以概率为故答案为：【点评】考查用列树状图的方法解决等可能事件的概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比16（4分）已知两非零向量满足，则向量夹角的最大值是【分析】设向量夹角为，由余弦定理求得 cos，再利用基本不等式求得cos取得最小值，即可求得的最大值【解答】解：两非零向量满足，设向量夹角为，由于非零向量以及构成一个三角形，设|x，则由余弦定理可得14+x24xc
20、os，解得 cos，当且仅当x时，cos取得最小值为，角取得最大值为 ，故答案为 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题17（4分）若函数f（x）x（lnx1）axb（a，bR）在1，e存在零点（其中e为自然对数的底数），则a2+2b的最小值是e2【分析】令g（x）lnx1，则其与函数在1，e上有交点，由图象观察可知，需满足，可得bea，则答案可求【解答】解：令f（x）x（lnx1）axb0得，令g（x）lnx1，x1，e，作函数g（x）的图象如下图所示，要使a2+2b取得最小值，则b0，函数在1，e上为增函数，函数f（x）x（ln
21、x1）axb（a，bR）在1，e存在零点，函数g（x）lnx1与函数在1，e上有交点，则需满足，bea，a2+2ba22ea（ae）2e2e2，即a2+2b的最小值是e2故答案为：e2【点评】本题考查函数零点及最值问题，考查分析问题解决问题的能力及数形结合思想，是难题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）已知函数f（x）x33ax2x在x1处取到极值（）求实数a的值，并求出函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在1，2上的最大值与最小值及相应的x的值【分析】（）先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出，（）根据导数和函数的最值得关系即
22、可求出【解答】解：（）f（x）x33ax2x，f（x）3x26ax1，f（x）在x1取得极值，f（1）26a0，解得a，此时f（x）3x22x1（3x+1）（x1），由f（x）0，解得x或x1，由f（x）0，解得x1，函数f（x）在（，1）上单调递减，在（，），（1，+）上单调递增；（）由（）可知函数f（x）f（x）x3x2x，f（x）在（1，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，f（），f（2）2，f（1）1，f（1）1，当x2时，函数有最大值，最大值为2，当x1时，函数有最小值，最小值为1【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，最值问题，考查转化思想，属于中档题19
23、（15分）一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为（）求m，n的值；（）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率【分析】（）设该盒子里有红球m个，白球n个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m，n（）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A，设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B，设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”为事件C，则P（A
24、）P（B）+P（C），由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率【解答】解：（）设该盒子里有红球m个，白球n个，根据，解方程组，得m4，n8（）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A，设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B，则P（B）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”为事件C，则P（C），P（A）P（B）+P（C），取到的白球个数不小于红球个数的概率为【点评】本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，是基础题20（15分）如图，在矩形
25、ABCD中，AB3，AD6，E在线段AD上，DE2，现沿BE将ABE折起，使A至位置A，F在线段AC上，且CF2FA（）求证：DF平面ABE；（）若A在平面BCDE上的射影O在直线BC上，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值【分析】（）法一：延长BE，CD，交于点G，连结AG，推导出CD2DG，DFAG，由此能证明DF平面ABE法二：在平面BCDE内作DHBE，交BC于H，连结FH，则四边形BHDE是平行四边形，推导出FHAB，从而FH平面ABE，同理DH平面ABE，进而平面FDH平面ABE，由此能证明DF平面ABE（）过O作OMBE于M，连结AM，由三垂线定理得AMBE，设点C到平面ABE的
26、距离为d，由VCABEVACBE，得d，由此能求出直线AC与平面ABE所成角的正弦值【解答】证明：（）证法一：延长BE，CD，交于点G，连结AG，DEBC，且BC3DE6，CD2DG，CF2FA，DFAG，DF平面ABE，AG平面ABE，DF平面ABE证法二：在平面BCDE内作DHBE，交BC于H，连结FH，则四边形BHDE是平行四边形，CH42BH，又CF2FA，FHAB，FHAB，FH平面ABE，AB平面ABE，FH平面ABE，同理DH平面ABE，又FHDHH，平面FDH平面ABE，DF平面DFH，DF平面ABE解：（）过O作OMBE于M，连结AM，由三垂线定理得AMBE，在RtAOBk，
27、OB，AB3，AO，3，设点C到平面ABE的距离为d，则由VCABEVACBE，得，解得d，直线AC与平面ABE所成角的正弦值sin【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（15分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y216x上的相异两点，且x1+x28（）若直线AB过M （2，0），求AB的值；（）若直线AB的垂直平分线交x轴与点P，求PAB面积的最大值【分析】（）设直线AB的方程为xty+2，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，计算可得所求值；（）设线段AB的
28、中点为M（x0，y0），运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及直线方程，可得P的坐标，设出直线AB的方程代入抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最大值【解答】解：（）设直线AB的方程为xty+2，联立抛物线方程y216x，可得y216ty320，可得y1+y216t，y1y232，由x1+x28，可得t（y1+y2）+48，解得t，即有|AB|4；（）设线段AB的中点为M（x0，y0），则 x04，y0，kAB线段AB的垂直平分线的方程是yy0（x4），由题意知x12，y0是的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点P坐
29、标为（12，0）直线AB的方程为yy0（x4），即 x（yy0）+4，代入y216x得y22y0（yy0）+64，即y22yy0+2y02640，依题意，y1，y2是方程的两个实根，且y1y2，所以4y024（2y0264）0，即8y08y1+y22y0，y1y22y0264，|AB|，点P（12，0）到线段AB的距离h|PM|，SABPh|AB|当且仅当64+y021282y02，即y0时，上式取得等号所以ABP面积的最大值为【点评】本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明，考查三角形面积的表达式的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用22（15分）已知函
30、数f（x）lnx+2x2mx（mR）（）若函数f（x）在其定义域内单调递增，求实数m的最大值；（）若存在正实数对（a，b），使得当f（a）f（b）1时，ab1能成立，求实数m的取值范围【分析】（）先求导，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出m的范围，（）根据题意可得f（a）f（b）4b+2+ln（1+）m，因此原问题转化为存在正实数b使得等式4b+2+ln（1+）m1成立，构造函数g（b）4b+1+ln（1+），利用导数求出函数的值域，即可求出b的取值范围【解答】解：（）f（x）lnx+2x2mx的定义域为（0，+），且f（x）在其定义域内单调递增，f（x）+4xm0，即m+4x在区间（0，
31、+）恒成立，+4x24，当且仅当x时取等号，m4，实数m的最大值为4（）由题意可得ab+1，则f（a）f（b）f（b+1）f（b）4b+2+ln（1+）m，因此原问题转化为存在正实数b使得等式4b+2+ln（1+）m1成立，整理并分离得m4b+1+ln（1+），记g（b）4b+1+ln（1+），要使上面的方程有解，下面求g（b）的值域，g（b）+4，故g（b）在b（0，上是单调递减，在b（，+）上单调递增，g（b）ming（）2ln（+1）+21，g（b）4b+1+ln（1+）4b+1，当b+，g（b）+，综上所述，m2ln（+1）+21，即实数m的取值范围为2ln（+1）+21，+）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查转化思想，属于难题
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