1、8.3 实际问题与二元一次方程组,第一课时,第二课时,人教版 数学 七年级 下册,利用二元一次方程组解答实际问题,第一课时,返回,2,悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.,归时四分行六百，风速多少才称雄？,1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.,2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题.,素养目标,3.经历用方程组解决实际图形问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.,养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天
2、约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？,列二元一次方程组解答较简单问题,问题1： 题中有哪些未知量，你如何设未知数？,未知量:每头大牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.,问题2：题中有哪些等量关系？,(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;,(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.,设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，,解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，,根据等量关系，列方程组：,答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克
3、，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.,+ = 675,+ = 940.,30x,15y,42x,20y,解方程组，得： x= , y= .,20,5,例1 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?,列二元一次方程组解答数量问题,解:设每餐甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:,0.5x,x,0.7y,0.4y,35,40,根据题意,得方程组,化简,得,- ,得 5y=150,y=30,把y=30代入
4、,得x=28,答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.,归纳总结,用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的_； (2)设元：用_表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据_个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用_法或_解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.,数量关系,字母,2,代入消元,加减消元法,1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐. （1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？
5、 （2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.,解: (1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，,x+2y=1680,2x+y=2280,解得:,x=960,y=360,(2)若7个餐厅同时开放，则有 5960+2360=5520,答： (1) 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生就餐. (2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐.,55205300,依题意得,据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物怎样划分这块土
6、地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？,列二元一次方程组解答几何问题,转换成数学语言：,已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.,14,这里研究的实际上是什么问题？,把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？,方法1,竖着画，把长分成两段，则宽不变,方法2,横着画，把宽分成两段，则长不变,我们可以画出示意图来帮助分析,动手试着画一画,目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4,问题分析,竖着画，把长分成两段，则宽不变,A,D,C,F,B,E,1.大长方形的长=2
7、00m,2.甲、乙两种作物总产量比=3:4,等量关系式有几个？,方法1,16,竖着画，把长分成两段，则宽不变,A,D,C,F,B,E,1.大长方形的长=200m,2.甲、乙两种作物总产量比=3:4,设AExm，BEym.,先求出两种作物的面积,SAEFD=100x,SEFCB=100y,再写出两种作物的总产量,甲：100x1,乙：100y2,则列方程为,100x:200y=3:4,总产量=,？,1 : 2,x,y,200m,100,如何设未知数呢？,则列方程为,x+y=200,单位面积产量面积,方法1,17,竖着画，把长分成两段，则宽不变,A,D,C,F,B,E,根据题意列方程组为,100x:
8、200y=3:4,x,y,200m,100m,x+y=200,解得,x=120,y=80,甲种作物,乙种 作物,解：,过点E作EFAB，交CD于点F.,设AExm，BEym.,答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.,方法1,解法一,18,横着画，把宽分成两段，则长不变,A,D,C,B,E,x,y,F,x+y=100,乙种作物,甲种作物,解：过点E作EFBC，交BC于点F. 设DExm，AEym.,200x:400y=3:4,200y,200x,x=60,y=40,解得,根据题意列方程组为,200m,100m,答：将这块土地分为长2
9、00m,宽60m和长200m,宽40m的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.,方法2,解法二,19,例2 某校现有校舍20000m2计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2 ）,解：设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2,列二元一次方程组解答几何问题,由题意得： 解得： 答：应该拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍.,2. 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）,解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y, 由题意,得,解此方
10、程组得：,x =45,y=15.,答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.,小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？,列二元一次方程组解答行程问题,分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.,平路：60 m/min,下坡路：80 m/min,上坡路：40 m/min,走平路的时间+走下坡路的时间=_， 走上坡路的时间+走平路的时间= _,路程=平均速度时间,10,15,方法一（直接设元法）,解：设小华家到学校平路长
11、x m，下坡路长y m.,根据题意，可列方程组：,解方程组，得,所以小明家到学校的距离为700m.,方法二（间接设元法）,解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.,根据题意，可列方程组：,解方程组，得,所以小明家到学校的距离为700m.,故 平路距离：60（10-5）=300（m）,坡路距离：805=400（m）,例3 张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11 千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？,列二元一次方程组解答行程问题,2y千
12、米,张强2.5小时走的路程,李毅2小时走的路程,11千米,0.5x千米,2x千米,x千米,y千米,解：设张强、李毅每小时各走x, y千米，由题意得,答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.,分析：如下图（1）、（2）所示,3.巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约126 km，一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km/h、y km/h，则下列方程组正确的是（ ）,A. B. C. D.,D,（2019舟山）中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单
13、位）；马三匹、牛五头，共价三十八两问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A B C D,巩固练习,D,1.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）,B. C. D.,D,2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共 10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列 出方程组为_,解析:根据蛐蛐和蜘蛛共10只，可得xy10; 蛐蛐和蜘蛛共有68条腿，可得
14、6x8y68.,3.某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需资金4 120元则每台电脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？,解：设每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别为x元和y元， 答：每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别是60元、800元,解得,则,4.A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的平均速度与风速.,解：设飞机的平均速度为xkm/h,风速为y km/h, 根据题意可列方程组,答：飞机的平均速度为420km/
15、h，风速为60km/h.,我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.,解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.,答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.,解得：,即,甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走 小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用 小时可追上甲，求两人的速度,解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时,则,答：甲的速度为4千米/时，乙
16、的速度为12千米/时.,解得：,二元一次方程组的应用,应用,步骤,简单实际问题,行程问题,路程=平均速度时间,审题：弄清题意和题目中的数量关系,设元：用字母表示题目中的未知数,列方程组:根据2个等量关系列出方程组,检验作答,几何问题,列二元一次方程组解答较复杂问题,第二课时,返回,1把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？ 2把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形， 又有哪些折法？,2. 进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.,1. 学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题 .,素养目标,如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1 000
17、元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地. 公路运价为1. 5元/(tkm)，铁路运价为1.2元/(tkm)，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97 200元这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？,列二元一次方程组解答较复杂问题,列二元一次方程组解答运费问题,问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？,销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量,销售款,原料费,运输费（公路和铁路）,产品数量,原料数量,41,问题2 本题涉及的量较多，这种
18、情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁本题涉及哪两类量呢？,一类是公路运费，铁路运费，价值； 另一类是产品数量，原料数量,42,问题3 你能完成教材上的表格吗？,43,问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？,是原方程组的解,解：先化简，得,由，得,代入 ，得,代入 ，得,45,问题5 这个实际问题的答案是什么？,销售款：8 000300=2 400 000； 原料费：1 000400=400 000； 运输费：15 000+97 200=112 200 2400000-400000-112200=1887800 这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元,思考：,
19、（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？,当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数,（2）如何更好地分析数量关系比较复杂的实际问题？,实际问题,设未知数、找等量关系、列方程（组）,数学问题 方程(组),解方程（组）,数学问题的解,双检验,实际问题的答案,1.一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表(两次两种货车都满载)：,现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？,解:设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨，,解得,2x+ 3y=15.5
20、，,5x+ 6y=35.,总运费为：,30(3x+ 5y)=30(34+ 52.5)=735(元).,答:货主应付运费735元.,例2 某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:,方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶,方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成,(1)你认为哪种方案获利最多,为什么?
21、 (2)本题解出之后,你还能提出哪些问题?,列二元一次方程组解答利润问题,其余5吨直接销售,获利5005=2500(元) 共获利:8000+2500=10500(元),方案二:设生产奶片用x天,生产酸奶用y天,另：设x吨鲜奶制成奶片,y吨鲜奶制成酸奶,方案一:生产奶片4天,共制成4吨奶片,获利 20004=8000,2.北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用.,解:设从北京运往武
22、汉x台，则运往重庆(10-x)台，设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，,解方程组得,x+ y=6，,400x+ 300y+800(10-x)+ 500(4-y)=8000.,答:从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.,例3 某车间每天能生产甲种零件600个或乙种零件300个， 或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内的生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？,列二元一次方程组解答配套问题,解：设甲零件生产x天，乙零件生产y天，则丙零件生产（63-x-y)天，根据题意，得 所以63-x-y=18. 答
23、：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、30天和18天.,解得,3.某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？,分析： 将题中出现的量在表格中呈现,螺母总产量是螺钉的2倍,人数和为22人,1200x,2000y,解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人.,依题意，可列方程组：,解方程组，得,答：设生产螺钉的10人，生产螺母的12人.,提示：解决配套问题要弄清： （1）每套产品中各部分的比例； （2）生产各部分的工人数之和=工人总数.,（2019邵阳）某出租车起步价所包含的路程为
24、02km，超过2km的部分按每千米另收费津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ） A B C D,巩固练习,D,1.小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15，支出比去年低10，求去年的收入与支出各是多少？,解：设去年收入x元，支出y元，根据题意，得,答：去年小明家收入20000元，支出15000元.,解得,2.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天平均运土300m3，要使挖出的土
25、及时运走，问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？,解：设挖掘机x台，装卸机y台，根据题意列出方程组得,解得,答：挖掘机有6台，装卸机有15台.,3.一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套?,解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人，,解得,答：生产圆形铁片的工人24人，生产长方形铁片的工人18人.,根据题意列方程组得,某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦
26、.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：,在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？,解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷,根据题意可列出方程组：,解得：,故，承包田地的面积为： x+y=4 公顷,人员安排为： 5x=52=10(人)；4y=42=8(人),答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.,李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五香味的和10包原味的共花了146元，乙客户购买了6包五香味的和8包原味的共花了88元. （1
27、）现在老师带了200元，能否买到10包五香味牛肉干和20包原味牛肉干？,解：设五香味每包x元，原味每包y元.,依题意，可列方程组：,解得,所以老师带200元能买到所需牛肉干.,解：设刚好买五香味x包，原味y包.,（2）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想出哪些牛肉干的包数组合形式？,因为x，y为非负整数,1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.,3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.,通过本课时的学习，需要我们掌握：,2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
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