1、2020年中考数学一模试卷一选择题（共5小题）1符号sinA表示（）AA的正弦BA的余弦CA的正切DA的余切2二次函数y12x2的图象的开口方向（）A向左B向右C向上D向下3直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BCAB，如果BCA67，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A俯角67方向B俯角23方向C仰角67方向D仰角23方向4已知，为非零向量，如果5，那么向量与的方向关系是（）A，并且和方向一致B，并且和方向相反C和方向互相垂直D和之间夹角的正切值为55如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB2，则莱洛三角形的面积（即
2、阴影部分面积）为（）ABC2D2二填空题（共12小题）6已知1：23：x，那么x 7如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 8如图，ABC中C90，如果CDAB于D，那么AC是AD和 的比例中项9在ABC中， 10点A和点B在同一平面上，如果从A观察B，B在A的北偏东14方向，那么从B观察A，A在B的 方向11如图，在ABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，如果，那么 （用表示）12如图，ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE若BE9，BC12，则cosC 13若抛物线y（xm）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为 14二
3、次函数yx2+x+的图象与y轴的交点坐标是 15如图，已知正方形ABCD的各个顶点A、B、C、D都在O上，如果P是的中点，PD与AB交于E点，那么 16如图，点C是长度为8的线段AB上一动点，如果ACBC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作等边ACD、BCE，联结DE，当CDE的面积为3时，线段AC的长度是 17如图，点A在直线yx上，如果把抛物线yx2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 三解答题（共7小题）18计算：219已知：抛物线yx22x+m与y轴交于点C（0，2），点D和点C关于抛物线对称轴对称（1）求此抛物线的解析式和点D的坐标；（2）如果点M是抛物线的对称轴
4、与x轴的交点，求MCD的周长20某仓储中心有一个坡度为i1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE2.5米，高EF2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH21如图，直线l：yx，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，按此做法进行下去求：（1）
5、点B1的坐标和A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度22如图，ABC中，ABAC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得，联结CE求证：（1）ECD2BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项23在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数ya（x2+x1）的图象交于点A（1，a）和点B（1，a）（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值24如图，OC是ABC中AB边的中线，ABC36，
6、点D为OC上一点，如果ODkOC，过D作DECA交于BA点E，点M是DE的中点，将ODE绕点O顺时针旋转度（其中0180）后，射线OM交直线BC于点N（1）如果ABC的面积为26，求ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究ONB的度数y与旋转角的度数之间的函数关系式；（3）写出当ONB为等腰三角形时，旋转角的度数参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1符号sinA表示（）AA的正弦BA的余弦CA的正切DA的余切【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案【解答】解：符号sinA表示A的正弦故选：A2二次函数y12x2的图象的开口方向（）A向左B向右C向上D向下【分析】
7、二次函数中二次项的系数决定抛物线的开口方向【解答】解：二次函数y12x2中20，图象开口向下，故选：D3直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BCAB，如果BCA67，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A俯角67方向B俯角23方向C仰角67方向D仰角23方向【分析】求出BAC23，即可得出答案【解答】解：BCAB，BCA67，BAC90BCA23，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23方向；故选：D4已知，为非零向量，如果5，那么向量与的方向关系是（）A，并且和方向一致B，并且和方向相反C和方向互相垂直D和之间夹角的正切值为5【分析】根据平行向量的性质解决问题即可【解答
8、】解：知，为非零向量，如果5，与的方向相反，故选：B5如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）ABC2D2【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可【解答】解：过A作ADBC于D，ABC是等边三角形，ABACBC2，BACABCACB60，ADBC，BDCD1，ADBD，ABC的面积为，S扇形BAC，莱洛三角形的面积S3222，故选：D二填空题（共12小题）6已知1：23：x，那么x6【分析】直接利用比例的性质得出x
9、的值【解答】解：1：23：x，x6故答案为：67如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为1：2【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比【解答】解：两个相似三角形的周长比为1：2，两个相似三角形的相似比为1：2，它们某一对对应边上的高之比为1：2，故答案为：1：28如图，ABC中C90，如果CDAB于D，那么AC是AD和AB的比例中项【分析】根据射影定理得到AC2ADAB，得到答案【解答】解：C90，CDAB，AC2ADAB，AC是AD和AB的比例中项，故答案为：AB9在ABC中，【分析】由在ABC中，根据三角形法则即可求得+的值，则可求得答案【解
10、答】解：+故答案为：10点A和点B在同一平面上，如果从A观察B，B在A的北偏东14方向，那么从B观察A，A在B的南偏西14方向【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解【解答】解：由题意可知，114，ACBD，1214，根据方向角的概念可知，由点B测点A的方向为南偏西14方向故答案为：南偏西1411如图，在ABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，如果，那么x（用表示）【分析】首先证明AD2CD，推出CDAC即可解决问题【解答】解：在RtABC中，C90，A30，ABC60，BD平分ABC，ABDCBD30，AABD，ADBD，DB2DC，AD2DC，CDA
11、C，故答案为12如图，ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE若BE9，BC12，则cosC【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CEBE，再根据等腰三角形的性质可得出CDBD，从而得出CD：CE，即为cosC【解答】解：DE是BC的垂直平分线，CEBE，CDBD，BE9，BC12，CD6，CE9，cosC，故答案为13若抛物线y（xm）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为1m0【分析】求出函数的顶点坐标为（m，m+1），再由第二象限点的坐标特点的得到：m0，m+10即可求解【解答】解：y（xm）2+（m+1），顶点为（m，m+1），顶点在第二象限，m0，m+
12、10，1m0，故答案为1m014二次函数yx2+x+的图象与y轴的交点坐标是（0，）【分析】根据图象与y轴的相交的特点可求出坐标【解答】解：由图象与y轴相交则x0，代入得：y，与y轴交点坐标是（0，）；故答案为（0，）15如图，已知正方形ABCD的各个顶点A、B、C、D都在O上，如果P是的中点，PD与AB交于E点，那么【分析】根据垂径定理，连接OP后有OPAD，可构成比例线段求解【解答】解：连接OP，交AB于点F，连接AC根据垂径定理的推论，得OPAB，AFBF根据90的圆周角所对的弦是直径，则AC为直径设正方形的边长是1，则AC，圆的半径是根据正方形的性质，得OAF45所以OF，PFOPAD
13、，故答案为16如图，点C是长度为8的线段AB上一动点，如果ACBC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作等边ACD、BCE，联结DE，当CDE的面积为3时，线段AC的长度是2【分析】作DHEC于H设ACx，则BCEC8x利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题【解答】解：作DHEC于H设ACx，则BCEC8xACD，ECB都是等边三角形，ACDECB60，DCE60，SDCEECCDsin603，（8x）x3，解得x2或6（舍弃），AC2，故答案为217如图，点A在直线yx上，如果把抛物线yx2沿OA方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为y（x4）2+3【分析】过点A作ABx轴于B，
14、求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可【解答】解：如图，过点A作ABx轴于B，点A在直线yx上，OA5，OB4，AB3，点A的坐标为（4，3），平移后的抛物线解析式是y（x4）2+3故答案为y（x4）2+3三解答题（共7小题）18计算：2【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则计算得出答案【解答】解：原式3+22+219已知：抛物线yx22x+m与y轴交于点C（0，2），点D和点C关于抛物线对称轴对称（1）求此抛物线的解析式和点D的坐标；（2）如果点M是抛物线的对称轴与x轴的交点，求MCD的周长【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出m值，
15、进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；（2）求得M点的坐标，然后根据勾股定理求得MCMD，即可求得MCD的周长为：2+2【解答】解：（1）抛物线yx22x+m与y轴交于点C（0，2），m2，此抛物线的解析式为yx22x2，抛物线的解析式为yx22x2（x1）23，抛物线的对称轴为直线x1点D与C关于抛物线的对称轴对称，点D的坐标为（2，2）（2）抛物线的对称轴为直线x1M（1，0），MCMDCD2，MCD的周长为：2+220某仓储中心有一个坡度为i1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截
16、面如图（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE2.5米，高EF2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH【分析】（1）根据坡度定义以及勾股定理解答即可；（2）证出GDMHBM，根据，得到GM1m，利用勾股定理求出DM的长，然后求出BM5m，进而求出MH，然后得到DH【解答】解：（1）坡度为i1：2，AC4m，BC428mAB（米）；（2）DGMBHM，DMGBMH，GDMHBM，DGEF2m，GM1m，DM，BMBF+FM3.5+（2.51）5m，设MHxm，则BH2xm，x
17、2+（2x）252，xm，DHm21如图，直线l：yx，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，按此做法进行下去求：（1）点B1的坐标和A1OB1的度数；（2）弦A4B3的弦心距的长度【分析】（1）求出tanA1OB1的值，A1B1即可解决问题（2）连接A4B3，作OHA4B3于H求出OH即可【解答】解：（1）直线的解析式yx，tanA1OB1，A1OB160，OA11，A1B1，OA2OB12，B1（1，）（2）连接A4B3，作OHA4
18、B3于H由题意OA11，OA22，OA34，OA48，OA4OB3，OHA4B3，A4OHA4OB330，OHOA4cos308422如图，ABC中，ABAC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得，联结CE求证：（1）ECD2BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BAC2BAM，通过证明ADBCDE，可得BACECD2BAM；（2）由等腰三角形的性质可得BFCF，通过证明DCFCEF，可得，可得结论【解答】证明：（1）ABAC，AM为BC边的中线，BAC2BAM，ADBCDE，ADBCDE，BACECD，ECD2B
19、AM；（2）如图，连接CF，ABAC，AM为BC边的中线，AM是BC的垂直平分线，BFCF，且ABAC，AFAF，ABFACF（SSS）ABFACF，由（1）可知：ADBCDE，ABFE，ACFE，且EFCDFC，DCFCEF，且BFCF，BF2DFEF，BF是DF和EF的比例中项23在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数ya（x2+x1）的图象交于点A（1，a）和点B（1，a）（1）求直线AB与y轴的交点坐标；（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是y随着x的增大而增大，求a应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当Q在以AB为直径的圆上时，求a的值【分析】
20、（1）由待定系数法可求直线AB解析式，即可求解；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得a0，又由二次函数ya（x2+x1）的对称轴为x，可得x时，才能使得y随着x的增大而增大；（3）先求点Q坐标，由OQOA，可得方程，即可求a的值【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：ykx+b，由题意可得b0，ka，直线AB的解析式为：yax，当x0时，y0，直线AB与y轴的交点坐标（0，0）；（2）反比例函数过点A（1，a），反比例函数解析式为：y，要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，a0二次函数ya（x2+x1）a（x+）2a，对称轴为：直线x要使二次函数ya（x2+x
21、1）满足上述条件，在k0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x时，才能使得y随着x的增大而增大综上所述，a0且x；（3）二次函数ya（x2+x1）a（x+）2a，顶点Q（，a），Q在以AB为直径的圆上，OAOQ，（）2+（）212+a2，a24如图，OC是ABC中AB边的中线，ABC36，点D为OC上一点，如果ODkOC，过D作DECA交于BA点E，点M是DE的中点，将ODE绕点O顺时针旋转度（其中0180）后，射线OM交直线BC于点N（1）如果ABC的面积为26，求ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究ONB的度数y与旋转角的度数之间的函数关系式；（3）写出当ONB为
22、等腰三角形时，旋转角的度数【分析】（1）通过证明ODEOCA，可得，即可求解；（2）通过证明OEMBAC，可得EOMABC36，分两种情况讨论可求解；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解【解答】解：（1）OC是ABC中AB边的中线，ABC的面积为26，SOAC13，DEAC，ODEOCA，OEMOAC，且ODkOC，SODE13k2，（2）ODEOCA，OC是ABC中AB边的中线，点M是DE的中点，AB2AO，EMDE，且OEMOAC，OEMBAC，EOMABC36，如图2，当0144时，AONB+ONB，AOE+EOMB+ONBy如图3，当144180时，BONEOMBOE36（180）NOB144，BNOABCNOB36（144）180；（3）当0144时，若OBON，则ABCBNO36，若OBBN，则ONB72，若ONBN，则ABCBON36，ONB180236108，当144180时，若OBBN，则NNOB18180，162
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