第三章 导数应用 章末复习学案（含答案）

1、章末复习学习目标1.梳理构建本章知识网络.2.进一步熟练掌握用导数研究函数性质的方法.3.能求函数的单调区间、极值及最值.4.进一步体会导数的应用1函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0在这个区间内，函数yf(x)是增加的f(x)cos xf(x)恒成立，则()A.ff B.ffC.f2f D.ff(x)cos x，得f(x)sin xf(x)cos x0，构造函数g(x)，则g(x).当x时，g(x)0，即函数g(x)在上是增加的，gg，ff，故选D.反思与感悟用构造法比较函数值的大小的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性

2、确定函数值的大小跟踪训练1已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，f(x)0，若af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()Aacb BbcaCabc Dcab考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案B解析令g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)xf(x)，g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0，当x0.g(x)在(0，)上是减函数ln 21，g()g(ln 2)g.g(x)是偶函数，g()g()，gg(ln 2)，g()gf(x)，且f(0)2，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，即函数g(x)在R上是减少的f(0)2

3、，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选C.反思与感悟构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围跟踪训练2定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，且对任意的xR都有f(x)的解集为_考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案(0,10)解析f(x)，f(x)，得f(lg x)0，F(lg x)F(1)F(x)在R上是减少的，lg x1，0x0)当a0时，f(x)0时，令g(x)ax22xa，函数f(x)在区间1，)上是单调函数，g(x)0在区间1，)上恒成立，a在区间1，)上恒成立令u(x)，x1，)u(x)1，当且仅当x1时取等号a1.当

4、a1时，函数f(x)是增加的实数a的取值范围是(，01，)(2)由(1)可知：当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的；当a1时，此时函数f(x)在(0，)上是增加的当0a0)，f(x)2x4，令f(x)0，解得x或x，令f(x)0，解得xg(x)；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由考点导数在最值中的应用题点已知最值求参数(1)解当a1时，f(x)2xln(2x)，f(x)2，x(0，e，当0x时，f(x)0，此时f(x)是减少的；当x0，此时f(x)是增加的所以f(x)的极小值为f1，故f(x)的单调减区间为，单调增区间为，f

5、(x)的极小值为f1，无极大值(2)证明令h(x)g(x)，h(x)，x(0，e，当0x0，此时h(x)是增加的，所以h(x)maxh(e)g(x).(3)解假设存在实数a，使f(x)2axln(2x)，x(0，e有最小值3，f(x)2a，x(0，e，当a0时，因为x(0，e，所以f(x)0，f(x)在(0，e上是减少的，所以f(x)minf(e)2aeln(2e)3，解得a(舍)；当0时，f(x)在上是减少的，在上是增加的，所以f(x)minf1ln3，解得ae2，满足条件；当e，即0a时，f(x)0，f(x)在(0，e上是减少的，所以f(x)minf(e)2aeln(2e)3，解得a(舍)

6、综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)的最小值为3.反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者跟踪训练4已知函数f(x)aln x(a0，aR)(1)若a1，求函数f(x)的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e上至少存在一点x0，使得f(x0)0成立，求实数a的取值范围考点题点解(1)f(x)，当a1时，f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

7、x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值当x1时，f(x)的极小值为1，无极大值f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)f(x)(a0，aR)令f(x)0，得x，若在区间(0，e上存在一点x0，使得f(x0)0成立，其充要条件是f(x)在区间(0，e上的最小值小于0.()当x0，即a0时，f(x)0对x(0，)成立，f(x)在区间(0，e上是减少的，故f(x)在区间(0，e上的最小值为f(e)aln ea，由a0，得a0，即a0时，若e，则f(x)0对x(0，e成立，f(x)在区间(0，e上是减少的，f(x)在区间(0，e上的最小值为f(e)aln ea0，显然，f(

8、x)在区间(0，e上的最小值小于0不成立若1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值f(x)在区间(0，e上的最小值为faaln ，由faaln a(1ln a)0，得1ln ae，即a(e，)综上，由()()可知，a(e，).1下列函数中，在区间(0，)上是增函数的是()Aysin2x ByxexCyx3x Dyxln(1x)考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案B解析对于B，y(xex)(1x)ex，x(0，)，则y0，yxex在(0，)上是增函数，故选B.2已知函数f(x)x3bx2cx的图像如图所示，则xx等于()A.

9、 B.C. D.考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图像上的应用答案C解析由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得解得b3，c2，所以函数的解析式为f(x)x33x22x.f(x)3x26x2，由方程3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x242.3已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案A解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)x

10、f(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上是减少的或g(x)为常函数ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)，故选A.4若函数f(x)x2ln x1在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内存在极值，则实数a的取值范围是_答案解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x.令f(x)0，得x或x(舍去)当x时，f(x)0.x是f(x)的极小值点得1a.5已知函数f(x)x(x2ax3)(1)若x是f(x)的极值点，求f(x)在区间1,4上的最大值与最小值；(2)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围)解(1)由f(x

11、)x3ax23x，得f(x)3x22ax3，由已知得f0，解得a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3，由f(x)0，解得x或x3，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x13(3,4)4f(x)00f(x)994函数f(x)在1,4上的最小值是9，最大值是.(2)f(x)3x22ax3，由f(x)在1，)上是增加的，得3x22ax30，即a，要使上式成立，只要amin即可，设g(x)x(x1)，由于g(x)在1，)上是增加的，g(x)min2，a3，即实数a的取值范围是(，3导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用研究导数得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法