§3 定积分的简单应用 学案（含答案）

1、3定积分的简单应用学习目标1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.会求简单几何体的体积知识点一求平面图形的面积思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可梳理(1)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx.(2)当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb (ab)和曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积Sf(x)g(x)dx.(如图)知识点二求简单几何体的体积设旋转体是由曲线yf(x)，直线xa，xb以及x

2、轴所围成的曲边梯形AMNB绕x轴旋转一周而成的(如图所示)根据定积分的定义可得旋转体的体积为Vf(x)2dx.1曲线yx3与直线xy2，y0围成的图形面积为x3dx(2x)dx.()2曲线f(x)x2，直线x1，x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为x2dx.()类型一平面图形的面积例1由曲线y2x，yx2所围图形的面积S_.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案解析由得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABDdxx2dx.反思与感悟求由曲线围成图形面积的一般步骤(1)根据题意画出图形(2)找出范围，确定积分上、

3、下限(3)确定被积函数(4)将面积用定积分表示(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果跟踪训练1求由抛物线yx24与直线yx2所围成的图形的面积考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解解由得或所以直线yx2与抛物线yx24的交点坐标为(3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得，S(x2)dx(x24)dx.例2求由曲线y，y2x，yx所围成的图形的面积考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解解画出图形，如图所示解方程组得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以Sdxdxdxdx692.反思与感悟两条或两条以上的曲线围成的图

4、形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限跟踪训练2求由曲线yx2，直线y2x和yx所围成的图形的面积考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解解由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S(2xx)dx(2xx2)dx0.类型二简单几何体的体积例3求由曲线yx3与y围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积考点简单几何体的体积题点求简单几何体的体积解由得或所求旋转体的体积等于由曲线y，直线x1以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积与由曲线yx3，直

5、线x1以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之差，即Vxdxx6dx.反思与感悟利用定积分求旋转体体积的大致步骤(1)找准旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数；(2)分清端点；(3)确定几何体的结构；(4)利用定积分进行体积计算跟踪训练3由曲线y，直线x2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为()A. B C. D2考点简单几何体的体积题点求简单几何体的体积答案D解析由曲线y，直线x2以及x轴所围成的平面图形如图所示，则V()2dxxdx2.1由直线x，x2，曲线y以及x轴所围成的图形的面积为()A. B. C.ln 2 D2ln 2考点利用定积分求曲

6、线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案D解析如图所示，所围成的图形的面积Sln 2ln 2ln 2.2如图所示，直线y2x与抛物线y3x2所围成的阴影部分的面积是()A6 B8C. D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案C解析阴影部分的面积S(3x22x)dx.3由直线yx，x1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V是()A B. C. D1考点简单几何体的体积题点求简单几何体的体积答案B解析Vx2dx.4由曲线ysin x，直线x0，x与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V_.考点简单几何体的体积题点求简单几何体的体积答案解析由题意，得Vsin2xdx(1cos 2x)dx.5由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案解析由图形可得S(x245x)dx(5xx24)dx44243444.求简单图形的面积的一般步骤(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差(3)写出平面图形面积的定积分表达式(4)运用微积分基本定理计算定积分