1、2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合Ax|0x2，Bx|（x+2）（x1）0，则AB（）AB1，2）C（0，1D（0，2）2（5分）已知复数z+i，则z的共轭复数为（）A1+iB1+2iC12iD2+3i3（5分）设F1、F2分别为双曲线的左右焦点，点P为左支上一点，且|PF1|4，则|PF2|的值为（）A1B2C5D64（5分）角A是ABC的一个内角，若命题p：A，命题q：sinA，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分
2、条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（5分）如图是某个几何体三视图，则这个几何体体积是（）A2+B2+C4+D6（5分）已知x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为（）A1B2C3D47（5分）已知椭圆（ab0）的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，若ACBF，则该椭圆的离心率为（）ABCD8（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为5，则判断框内可填入的条件是（）ABCD9（5分）函数f（x）x2sin|x|在2，2上的图象大致为（）ABCD10（5分）对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”233+5，337+9+11，4313+15+17+19，仿
3、此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）A6B7C8D911（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为OE，F，G，H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（）ABCD12（5分）若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x33x2ax+5a0成立，则a的取值范围是（）ABCD二填空题（本大题共4小题，每小题5分，
4、满分20分）13（5分）已知函数f（x）2ex+ax（e为自然对数的底数），且函数f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为1，则a 14（5分）等差数列an且的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则数列an的前n项和Sn 15（5分）直线l：axy+30与圆C：x2+y24x+2y0相交于M、N两点，若，则实数a的取值范围是 16（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinCcosB2sinA+sinB，且ABC的面积，则ab的最小值为 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）Sn为数列an的前n项和，已知an2，
5、且（1）求证：an为等差数列；（2）设，求数列bn的前n项和Tn18（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户：分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90.100频数2040805010男性用户：分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90.100频数4575906030（1）男性用户的频率分布直方图如图，请完成女性用户的频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（2）如果评分不低于70分，就表示该用户对
6、手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列22列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；女性用户男性用户合计“认可”手机“不认可”手机合计500P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635附：K2，其中na+b+c+d19（12分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC平面ABC，四边形CBED为矩形，CD1，AB4（1）求证：ED平面ACD；（2）当三棱锥EADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离20（12分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点M（2，y0）在该
7、抛物线上，且|MF|2（1）求抛物线C的方程；（2）直线l：ykx+2与y轴交于点E，与抛物线C相交于A，B两点，自点A，B分别向直线y2作垂线，垂足分别为A1，B1，记EAA1，EA1B1，EBB1的面积分别为S1，S2，S3试证明：为定值21（12分）已知函数，aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由请考生从第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系
8、xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）直线C3的极坐标方程为，若C1上的点P对应的参数为，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3距离的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+3|m，m0，f（x3）0的解集为（，22，+）（）求m的值；（）若xR，使得成立，求实数t的取值范围2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出
9、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合Ax|0x2，Bx|（x+2）（x1）0，则AB（）AB1，2）C（0，1D（0，2）【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案【解答】解：（x+2）（x1）0，2x1，Bx|2x12，1，又A（0，2）AB（0，1故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2（5分）已知复数z+i，则z的共轭复数为（）A1+iB1+2iC12iD2+3i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：z+i，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭
10、复数的概念，是基础题3（5分）设F1、F2分别为双曲线的左右焦点，点P为左支上一点，且|PF1|4，则|PF2|的值为（）A1B2C5D6【分析】根据题意，由双曲线的标准方程求出a的值，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a2，变形计算即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线中，a1，若点P为左支上一点，则|PF2|PF1|2a2，又由|PF1|4，则|PF2|4+2a6，故选：D【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的定义，注意P在左支上4（5分）角A是ABC的一个内角，若命题p：A，命题q：sinA，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【
11、分析】根据三角函数的性质和充分条件和必要条件的定义即可判断【解答】解：A为ABC的内角，则A（0，），若命题p：A，命题q：sinA成立，反之当sinA，则A满足，故p是q的充分不必要条件，故选：A【点评】本题三角函数值为载体，考查了充分必要条件的判断，属于基础题训练掌握三角形内角的正、余弦函数符号与特殊角的三角函数值，是解决此类问题的关键5（5分）如图是某个几何体三视图，则这个几何体体积是（）A2+B2+C4+D【分析】根据三视图知该几何体是半圆柱与三棱柱的组合体，结合图中数据，计算该几何体的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是半圆柱与三棱柱的组合体，如图所示；结合图中数据，
12、计算该几何体的体积为VV圆柱+V三棱柱121+22+2故选：A【点评】本题考查了利用几何体三视图求体积的应用问题，是基础题6（5分）已知x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为（）A1B2C3D4【分析】作出可行域，平移目标直线可得取最值时的条件，求交点代入目标函数即可【解答】解：（如图）作出可行域，当目标直线过直线x+y20与直线y0的交点A（2，0）时取最大值，故最大值为z22+04故选：D【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题7（5分）已知椭圆（ab0）的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，若ACBF，则该椭圆的离心率为（）ABCD【分析】根据题意，
13、由椭圆的标准方程可得A、B、C、F的坐标，即可得向量、的坐标，由数量积的计算公式可得acb20，即b2ac，进而可得a2c2ac，变形可得：e2+e10，解可得e的值，结合椭圆的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，椭圆（ab0）的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，则A（0，b），B（0，b），C（a，0），F（c，0），则（a，b），（c，b），若ACBF，则acb20，即b2ac，又由b2a2c2，则有a2c2ac，即c2+aca20，变形可得：e2+e10，解可得：e或e（舍）故e；故选：D【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，属于中档题8（5分）执行如图所示的
14、程序框图，若输出k的值为5，则判断框内可填入的条件是（）ABCD【分析】判断程序框图的规律，然后利用已知条件推出结果即可【解答】解：模拟程序的运行，可得k9，S1满足判断框内的条件，S，k8满足判断框内的条件，S，k7满足判断框内的条件，S，k6满足判断框内的条件，S，k5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为5可得：判断框的条件是S？故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题9（5分）函数f（x）x2sin|x|在2，2上的图象大致为（）ABCD【分析】求出函数f（x）x2sinx在（0，2上导函数，求出极值
15、点的个数，以及f（2）的值，即可判断函数的图象【解答】解：函数f（x）x2sin|x|在2，2是偶函数，则：f（x）x2sinx在（0，2可得f（x）2xcosx，令2xcosx0，可得方程只有一个解，如图：可知f（x）x2sinx在（0，2由一个极值点，排除A，C，f（2）4sin23，排除D故选：B【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力10（5分）对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”233+5，337+9+11，4313+15+17+19，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）A6B7C8D9【分析】由题意知，n的
16、三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是59时，m的值【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+m个，59是从3开始的第29个奇数当m7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共27个当m8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共35个故m8故选：C【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键11（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为OE，F，G
17、，H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（）ABCD【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x则OI，IE6由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4（
18、6）2x2，解得x4设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC2，OP2，R2（2R）2+（2）2解得R该四棱锥的外接球的表面积S故选：D【点评】本题考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（5分）若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x33x2ax+5a0成立，则a的取值范围是（）ABCD【分析】设g（x）x33x2+5，h（x）a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可【解答】解：设f（x）x33x2ax+5a，则存在唯一的正整数x0，f（x0）0，再设g（x）x33x2+5，h（x）
19、a（x+1），两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）0，只要，即，解得a；故选：B【点评】本题考查了函数图象以及不等式整数解问题；关键是将问题转化为两个函数图象交点问题；属于难题二填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知函数f（x）2ex+ax（e为自然对数的底数），且函数f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为1，则a1【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义，可得x0处切线的斜率，解方程可得a的值【解答】解：f（x）2ex+ax的导数为f（x）2ex+a，函数f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为k2e0+a2+a1，即有a1故答案为：1【
20、点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查导数的运算性质，以及方程思想，属于基础题14（5分）等差数列an且的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则数列an的前n项和Snn2+n【分析】由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式可求，a1，然后结合等差数列的求和公式即可去求解【解答】解：等差数列an且的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，解可得，a12，由等差数列的求和公式可得，sn2n+n2+n故答案为：n2+n【点评】本题主要考查了等差是狐狸的 通项公式及，求和公式及等比是数列的性质的简单应用，属于基础试题15（5分）直线l：axy+30与
21、圆C：x2+y24x+2y0相交于M、N两点，若，则实数a的取值范围是7a1【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用|MN|2，建立不等式，即可得到a的范围【解答】解：由x2+y24x+2y0得到：（x2）2+（y+1）25由圆的方程得：圆心（2，1），半径r，圆心到直线axy+30的距离d，|MN|2，解得：7a1答案为：7a1【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键16（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinCcos
22、B2sinA+sinB，且ABC的面积，则ab的最小值为3【分析】直接诶利用三角函数关系式的变换和三角形的面积公式的应用及余弦定理和基本不等式的应用求出结果【解答】解：ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，由于2sinCcosB2sinA+sinB，所以：2sinCcosB2sin（B+C）+sinB，整理得：2sinBcosCsinB，解得：cosC，由于0C，解得：C，由于ABC的面积，整理得：，所以：cab故：c2（ab）2a2+b22abcosCa2+b2+ab2ab+ab3ab，所以：ab3故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三
23、角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）Sn为数列an的前n项和，已知an2，且（1）求证：an为等差数列；（2）设，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）利用利用递推关系式的应用和定义进行证明（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和【解答】证明：（1），当n2时，得，即，an2，即，an为等差数列解：（2）由已知得，即，解得a11（舍）或a13，an3+（n1）22n+1，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求
24、和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户：分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90.100频数2040805010男性用户：分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90.100频数4575906030（1）男性用户的频率分布直方图如图，请完成女性用户的频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（2）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“
25、认可”，否则就表示“不认可”，完成下列22列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；女性用户男性用户合计“认可”手机“不认可”手机合计500P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635附：K2，其中na+b+c+d【分析】（1）直接利用频率分布直方图的应用求出结果（2）直接利用独立性检测的关系式的应用求出结果【解答】解：（1）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：女性用户 男性用户由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大（2）22列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320
26、“不认可”手机60120180合计200300500所以：故：有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；【点评】本题考查的知识要点：频率分布直方图的应用，独立性检测公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型19（12分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC平面ABC，四边形CBED为矩形，CD1，AB4（1）求证：ED平面ACD；（2）当三棱锥EADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离【分析】（1）先证明BC平面ACD，再由BCED，得出ED平面ACD；（2）由V三棱锥CADEV三棱锥EACD，利用基本不等式求出三棱锥CADE体积的最大值，再利
27、用三棱锥的体积公式计算点C到平面ADE的距离【解答】解：（1）证明：AB是圆O的直径，ACBC，又DC平面ABC，BC平面ACD，DCBC，又ACDCD，AC平面ACD，DC平面ACD，BC平面ACD；又四边形CBED为矩形，BCED，ED平面ACD；（2）解：由（1）知，V三棱锥CADEV三棱锥EACDSACDDEACCDDEACBC（AC2+BC2）AB242，当且仅当ACBC2时等号成立；当ACBC2时，三棱锥CADE的体积最大，为；此时，AD3，SADEADDE3，设点C到平面ADE的距离为h，则V三棱锥CADESADEh；h（3）【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也
28、考查了锥体体积的计算问题，是综合性题目20（12分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点M（2，y0）在该抛物线上，且|MF|2（1）求抛物线C的方程；（2）直线l：ykx+2与y轴交于点E，与抛物线C相交于A，B两点，自点A，B分别向直线y2作垂线，垂足分别为A1，B1，记EAA1，EA1B1，EBB1的面积分别为S1，S2，S3试证明：为定值【分析】（1）根据抛物线的性质列式可得；（2）联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式可证【解答】解：（1）抛物线C焦点为，准线方程为点M（2，y0）在该抛物线上42py0依定义及|MF|2得由解得p2抛物线C的方程为x24y；（2）由消y
29、得x24kx80设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x24k，x1x28则A1（x1，2），B（x2，2）16（k2+2），又4（16k2+32）64（k2+2），【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题21（12分）已知函数，aR（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求导，然后对a分a0，a0，与a0分类讨论，利用f（x）0，与f（x）0可得其递增区间与递减区间；（2）由（1）可知，当a0，函数取到极大值，令h（x）lnx+，x0，求导，判断函数的单调性，根据二次函数的性质从而
30、可求a的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）当a0时，f（x），f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0得ax2+x+10，14a（）当0，即时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，（）当0，即时，方程ax2+x+10的两个实根分别为 ，若，则x10，x20，此时，当x（0，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增若a0，则x10，x20，此时，当x（0，x1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（x1，+）时，f（x）0f（x）单调递减，综上，当a0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；当a0时，函
31、数f（x）的单调递增区间为（0，+），（2）：由（1）得当a0时，函数f（x）在（0，+）上单调递增，故函数f（x）无极值；当a0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；则f（x）有极大值，其值为，其中而，设函数h（x）lnx+，x0，则h（x）+0，则h（x）lnx+在（0，+）上为增函数又h（1）0，故h（x）0等价于x1因而0等价于x11即在a0时，方程ax2+x+10的大根大于1，设（x）ax2+x+1，由于（x）的图象是开口向下的抛物线，且经过点（0，1），对称轴，则只需（1）0，即a+20解得a2，而a0，故实数a的取值范围为（2，0）【点评】本题考查利用导数研究函数的单
32、调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，第二问把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴属于难题请考生从第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）直线C3的极坐标方程为，若C1上的点P对应的参数为，Q为C2上
33、的动点，求线段PQ的中点M到直线C3距离的最小值【分析】（1）利用平方关系分别消去参数t，可得C1，C2的普通方程；（2）设 Q（6cos，2sin），利用点到直线的距离公式可得【解答】解：（1）C1：（x4）2+（y+3）21，C2：+1，C1表示圆心为（4，1），半径为1的圆；C2表示的是焦点在x轴上的椭圆（2）当时，P（4，4），设 Q（6cos，2sin） 则M（2+3cos，2+sin），C3直线x（8+2）0，M到C3的距离d3cos（+）从而当cos（+）1时，d取得最小值3【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+3|m，m0，f（x3）0的解集为（，22，+）（）求m的值；（）若xR，使得成立，求实数t的取值范围【分析】（1）将不等式转化为|x|m，根据其解集情况，确定m；（2）将不等式转化为不等式，左边构造函数，只要求出其最大值，得到关于t的不等式解之即可【解答】解：（1）因为f（x）|x+3|m，所以f（x3）|x|m0，m0，xm或xm，又f（x3）0的解集为（，22，+）故m2（5分）（2）等价于不等式，设，（8分）故，xR，使得成立，则有，即2t23t+10，解得或t1即实数的取值范围（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及求能成立问题参数范围；关键是转化的思想应用
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