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    2018-2019学年广东省深圳福田区高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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    2018-2019学年广东省深圳福田区高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

    1、2018-2019学年广东省深圳外国语学校高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.四个选项中只有一项是符合题目要求的)1(5分)命题“xR,2x+x21”的否定是()AxR,2x+x21BxR,2x+x21CxR,2x+x21DxR,2x+x212(5分)复数z1+(是虚数单位)在复平面内对应的点落在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3(5分)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间a,b上的极值点的个数为()A2B3C4D54(5分)函数 f(x)exsinx的单调递增区间()(kZ)ABCD5(5分)将边长为1的正方

    2、形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足+,则|2的值为()AB2CD6(5分)若抛物线y2ax的焦点与椭圆1的左焦点重合,则a的值为()A8B16C4D47(5分)命题“x(1,+),都有x2lnx成立”为真命题,则实数a的取值范围是()A(,1B(,1)C1,+)D(1,+)8(5分)已知F1、F2是椭圆C:的左右焦点,P是C上一点,3|4b2,则C的离心率的取值范围是()ABCD9(5分)正四棱锥PABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为()ABCD10(5分)已知正四面体ABCD的棱长为2,点E是AD的中点,则下面四个命题中正确的是()AFBC,E

    3、FADBFBC,EFACCFBC,EFDFBC,EFAC11(5分)已知函数f(x)x3+ax2+x在区间(1,1)内有且仅有一个极值并且为极小值,则实数a的取值范围是()A(2,+)B2,+)C(,2)(2,+)D(,22,+)12(5分)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,若aij2015,则i与j的和为()A104B102C80D81二、填空题(本大题共4小题,毎小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上)13(5分)计算定积分 14(5分)曲线ye2x+1在点(0,2)处的切线方程是 15(5

    4、分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的离心率为,A B 为左、右顶点,点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点,点 O 为坐标原点,若直线PA,PB,PO 的斜率分别为k1,k2,k3,记mk1k2k3,则 m 的取值范围为 16(5分)已知函数f(x)x3+ax2+bx(a,bR)的图象如图所示,它与直线y0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为 三、解答题:本大题共6小题,共70分(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)设命题 p:实数 x 满足x24ax+3a20,其中a0;命题 q:实数 x 满足(1)若a1,且pq为真,求实数 x

    5、 的取值范围(2)若p是q的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围18(12分)已知a是实数,函数f(x)x2(xa)()若f(1)3,求a的值及曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()求f(x)在区间0,2上的最大值19(12分)如图1所示,直角梯形ABCD中,BCD90,ADBC,AD6,DCBC3过B作BEAD于E,P是线段DE上的一个动点将ABE沿BE向上折起,使平面AEB平面BCDE连结PA,PC,AC(如图2)()取线段AC的中点Q,问:是否存在点P,使得PQ平面AEB?若存在,求出PD的长;不存在,说明理由;()当EPED时,求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦

    6、值20(12分)已知函数f(x)xln(x+a)(a是常数) (1)求函数f(x)的单调区间;(2)当yf(x)在x1处取得极值时,若关于x的方程f(x)+2xx2+b在,2上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;(3)求证:当n2,nN*时,(1+)(1+)(1+)e21(12分)已知A,B是椭圆C:+1(ab0)的左,右顶点,B(2,0),过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M,N,交直线x4于点P,且直线PA,PF,PB的斜率成等差数列()求椭圆C的方程;()若记AMB,ANB的面积分别为S1,S2求的取值范围22(12分)已知函数,g(x)x+lnx,其中a0(1)若x1是函数h(

    7、x)f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;(2)若对任意的x1,x21,e(e为自然对数的底数)都有f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围2018-2019学年广东省深圳外国语学校高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.四个选项中只有一项是符合题目要求的)1(5分)命题“xR,2x+x21”的否定是()AxR,2x+x21BxR,2x+x21CxR,2x+x21DxR,2x+x21【分析】根据已知中的原命题,结合特称命题否定的方法,可得答案【解答】解:命题“xR,2x+x21”的否定是“xR,2x+x21”,故选:A【点评】本题考

    8、查的知识点是命题的否定,特称命题,难度不大,属于基础题2(5分)复数z1+(是虚数单位)在复平面内对应的点落在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案【解答】解:z1+,z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),落在第四象限故选:D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3(5分)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间a,b上的极值点的个数为()A2B3C4D5【分析】根据当f(x)0时函数f(x)单调递增,f(x)0时f(x)单调递减,可从f(x)的图象可知f(x)在(a,b

    9、)内从左到右的单调性依次为减增减增,然后得到答案【解答】解:从f(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为减增减增,根据极值点的定义可知,导函数在某点处值为0,左右两侧异号的点为极值点,由图可知,在(a,b)内只有3个极值点故选:B【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系属基础题4(5分)函数 f(x)exsinx的单调递增区间()(kZ)ABCD【分析】根据利用导数研究函数的单调性的方法,先求函数的单调性,然后在R上求导数大于零的区间即可【解答】解:yexsinx+excosxex(cosxsinx)0cosxsinx0,cosxsinx解得x2k,2k,故选:B【

    10、点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,单调性是函数的重要性质,是高考的热点内容,属于基础题5(5分)将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足+,则|2的值为()AB2CD【分析】可画出图形,并取BD的中点E,连接AE,CE,从而据题意可得出AEC90,并可求出AC,根据线面垂直的判定定理可得出直线BD平面ACE,从而得出BDAC,然后由进行数量积的运算即可求出答案【解答】解:如图,取BD的中点E,连接AE,CE,根据题意知,CEBD,AEBD,则AEC是二面角ABDC的平面角,AEC90,且AECE,AC1,且BD,BD平面ACE,BDAC,又,故选:D【点评】本

    11、题考查了直二面角的定义,二面角的平面角的作法,线面垂直的判定定理,向量垂直的充要条件,向量数量积的运算,考查了计算能力,属于基础题6(5分)若抛物线y2ax的焦点与椭圆1的左焦点重合,则a的值为()A8B16C4D4【分析】椭圆1的左焦点是F(2,0),知抛物线y2ax的焦点是F(2,0),由此能求出a的值【解答】解:椭圆1的左焦点是F(2,0)抛物线y2ax的焦点与椭圆1的左焦点重合,抛物线y2ax的焦点是F(2,0),a8故选:A【点评】本题考查椭圆和抛物线的简单性质,是基础题解题时要认真审题,仔细解答7(5分)命题“x(1,+),都有x2lnx成立”为真命题,则实数a的取值范围是()A(

    12、,1B(,1)C1,+)D(1,+)【分析】命题“x(1,+),都有x2lnx成立”为真命题“x(1,+),都有ax3xlnx恒成立“,令f(x)x3xlnx,(x1),求出f(x)的值域即可【解答】解:命题“x(1,+),都有x2lnx成立”为真命题“x(1,+),都有ax3xlnx恒成立“,令f(x)x3xlnx,(x1),f(x)3x2lnx1,),f(x)6x0,f(x)在(1,+)上递增,且f(1)20,f(x)0在(1,+)上恒成立,f(x)在(1,+)上递增,f(x)f(1)1,a1故选:A【点评】本题考查了全称命题成立,求参数范围,转化为恒成立问题是关键,属于基础题8(5分)已

    13、知F1、F2是椭圆C:的左右焦点,P是C上一点,3|4b2,则C的离心率的取值范围是()ABCD【分析】利用椭圆定义及基本不等式,寻找几何量的关系,再求离心率的取值范围【解答】解:由3|4b2,可得,故选:D【点评】本题主要考查椭圆的几何性质,关键是利用定义及基本不等式9(5分)正四棱锥PABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为()ABCD【分析】过顶点作垂线,交底面正方形对角线交点O,连接OE,我们根据正四棱锥PABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,易求出OEB即为PA与BE所成的角,解三角形OEB,即可求出答案【解答】解:过顶点作垂线,交底面正方

    14、形对角线交点O,连接OE,正四棱锥PABCD的底面积为3,体积为,PO,AB,AC,PA,OB因为OE与PA在同一平面,是三角形PAC的中位线,则OEB即为PA与BE所成的角所以OE,在RtOEB中,tanOEB,所以OEB故选:B【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中根据已知得到OEB即为PA与BE所成的角,将异面直线的夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键10(5分)已知正四面体ABCD的棱长为2,点E是AD的中点,则下面四个命题中正确的是()AFBC,EFADBFBC,EFACCFBC,EFDFBC,EFAC【分析】由题意画出图形,利用线面垂直的判定判定AD面BCE,由

    15、此说明A正确;由三垂线定理结合BEC为锐角三角形说明B错误;举例说明C错误;由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误【解答】解:如图,四面体ABCD为正四面体,且E为AD的中点,BEAD,CEAD,又BECEE,AD面BCE,则FBC,EFAD,选项A正确;由AE面BCE,AEEF,若ACEF,则CEEF,BEC为锐角三角形,不存在FBC,使EFAC,选项B错误;取BC中点F,可求得DF,又DE1,得EF,选项C错误;AC是平面BCE的一条斜线,AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面,选项D错误故选:A【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面的位置关系,考查了线

    16、线垂直与线面平行的判定,考查了空间想象能力,是中档题11(5分)已知函数f(x)x3+ax2+x在区间(1,1)内有且仅有一个极值并且为极小值,则实数a的取值范围是()A(2,+)B2,+)C(,2)(2,+)D(,22,+)【分析】由f(x)在区间(1,1)内有且仅有一个极值并且为极小值,可知函数在(1,1)内先减后增,结合零点判定定理可知,代入可求【解答】解:f(x)x3+ax2+x,f(x)3x2+2ax+1,f(x)在区间(1,1)内有且仅有一个极值并且为极小值,函数在(1,1)内先减后增,解可得,a2故选:A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了函数零点的判定,属于中

    17、档试题12(5分)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,若aij2015,则i与j的和为()A104B102C80D81【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,前32个奇数行内数的个数的和为1024,得到2013在第32个奇数行内,且奇数从大到小排列,从而得到结果【解答】解:由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,由2015210081,得2015为第1008个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为1+3+61961,前32个奇数行内数的个数的和为1024,故2015

    18、在第32个奇数行内,所以i63,且奇数从大到小排列,因为第63行的第一个数为2102412047,201520472(m1),所以m17,即j17,所以i+j80故选:C【点评】本题考查简单的演绎推理,考查数列的特点,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题二、填空题(本大题共4小题,毎小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上)13(5分)计算定积分【分析】dxdx,前式根据定积分的几何意义求解,后式直接积分即可得到所求【解答】解:dxdx,dx表示半圆y在0,1上部分的面积,即个单位圆的面积,dxdxx故答案为:【点评】本题考查了定积分的求法,定积分的几何意义,主要考查计算能力,属于基础题1

    19、4(5分)曲线ye2x+1在点(0,2)处的切线方程是y2x+2【分析】求出函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线方程【解答】解:ye2x+1,f(x)2e2x,则f(0)2,即曲线ye2x+1在点(0,2)处的切线斜率k2,则对应的切线方程为y22x,即y2x+2,故答案为:y2x+2【点评】本题主要考查导数的几何意义,求出函数的导数,利用点斜式方程是解决本题的关键15(5分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的离心率为,A B 为左、右顶点,点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点,点 O 为坐标原点,若直线PA,PB,PO 的斜率分别为k1,k2,k3,记mk1k2k3,则 m 的取

    20、值范围为(0,2)【分析】由已知条件推导出ba,k1k22,0k3,由此能求出mk1k2k3的取值范围【解答】解:双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,e,ba,设P(x,y),点P为双曲线C在第一象限的任意一点,1,A,B为双曲线C的左右顶点,点O为坐标原点,PA,PB,PO的斜率为k1,k2,k3,k1k22,又双曲线渐近线为yx,0k3,0mk1k2k32,故答案为:(0,2)【点评】本题考查斜率乘积的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌握双曲线的简单性质16(5分)已知函数f(x)x3+ax2+bx(a,bR)的图象如图所示,它与直线y0在原点处相切,此切线与函数图象所

    21、围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为3【分析】由图可知f(x)0得到x的解确定出b的值,确定出f(x)的解析式,由于阴影部分面积为,利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可【解答】解:由图知方程f(x)0有两个相等的实根x1x20,于是b0,f(x)x2(x+a),有,a3又a0a0,得a3故答案为:3【点评】考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力三、解答题:本大题共6小题,共70分(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)设命题 p:实数 x 满足x24ax+3a20,其中a0;命题 q:实数 x 满足(1)若a1,且pq为真,求实数 x 的取

    22、值范围(2)若p是q的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围【分析】(1)若a1,分别求出p,q成立的等价条件,利用且pq为真,求实数x的取值范围;(2)利用p是q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围【解答】解:由x24ax+3a20得(xa)(x3a)0,其中a0,得ax3a,a0,则p:ax3a,a0由解得2x3即q:2x3(1)若a1,则p:1x3,若pq为真,则p,q同时为真,即,解得2x3,实数x的取值范围(2,3)(2)若p是q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,即,解得1a2【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用逆否命题的等价性将

    23、p是q的充分不必要条件,转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键18(12分)已知a是实数,函数f(x)x2(xa)()若f(1)3,求a的值及曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()求f(x)在区间0,2上的最大值【分析】(I)求出f(x),利用f(1)3得到a的值,然后把a代入f(x)中求出f(1)得到切点,而切线的斜率等于f(1)3,写出切线方程即可;(II)令f(x)0求出x的值,利用x的值分三个区间讨论f(x)的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最大值【解答】解:(I)f(x)3x22ax因为f(1)32a3,所以a0又当a0时,f(1)1,f(1)3,

    24、则切点坐标(1,1),斜率为3所以曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为y13(x1)化简得3xy20(II)令f(x)0,解得当,即a0时,f(x)在0,2上单调递增,从而fmaxf(2)84a当时,即a3时,f(x)在0,2上单调递减,从而fmaxf(0)0当,即0a3,f(x)在上单调递减,在上单调递增,从而综上所述,fmax【点评】本题主要考查导数的基本性质、导数的应用等基础知识,以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力19(12分)如图1所示,直角梯形ABCD中,BCD90,ADBC,AD6,DCBC3过B作BEAD于E,P是线段DE上的一个动点将ABE沿BE向上折起,使平

    25、面AEB平面BCDE连结PA,PC,AC(如图2)()取线段AC的中点Q,问:是否存在点P,使得PQ平面AEB?若存在,求出PD的长;不存在,说明理由;()当EPED时,求平面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值【分析】()根据线面平行的判定定理进行求解即可;()建立空间坐标系,利用向量法进行求解即可【解答】解:()存在当P为DE的中点时,满足PQ平面AEB(1分)取AB的中点M,连结EM,QM由Q为AC的中点,得MQBC,且,(2分)又PEBC,且,所以PEMQ,PEMQ,所以四边形PEMQ为平行四边形,(3分)故MEPQ(4分)又PQ平面AEB,ME平面AEB,所以PQ平面AEB (5

    26、分)从而存在点P,使得PQ平面AEB,此时(6分)()由平面AEB平面BCDE,交线为BE,且AEBE,所以AE平面BCDE,又BEDE,(7分)以E为原点,分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图2),则E(0,0,0),B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C(3,3,0)(8分)(3,1,0),(0,2,3)(9分)平面AEB的一个法向量为n1(0,1,0),(10分)设平面APC的法向量为n2(x,y,z),由得(11分)取y3,得n2(1,3,2),(12分)所以,即面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为(13分)【点评】本题主要考查直线与直线、

    27、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想20(12分)已知函数f(x)xln(x+a)(a是常数) (1)求函数f(x)的单调区间;(2)当yf(x)在x1处取得极值时,若关于x的方程f(x)+2xx2+b在,2上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;(3)求证:当n2,nN*时,(1+)(1+)(1+)e【分析】(1)函数f(x)xln(x+a),定义域为x|xa对a分类讨论即可得出;(2)函数yf(x)在x1处取得极值,可得f(1)0,解得a0关于x的方程f(x)+2xx2+b化为x23x+lnx+b0令g(x)x

    28、23x+lnx+b,(x,2)利用导数研究其单调性极值与最值,关于x的方程f(x)+2xx2+b在,2上恰有两个不相等的实数根,必须满足,解得即可(3)由(1)可知:a1,函数f(x)在(1,+)上单调递增,可得:当x0时,xln(1+x)令x(nN*),则利用“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”即可得出【解答】解:(1)函数f(x)xln(x+a),定义域为x|xa当a1时,f(x)0,函数f(x)在(a,+)上单调递增;当a1时,令f(x)0,解得x1a,此时函数f(x)在(1a,+)上单调递增;令f(x)0,解得ax1a,此时函数f(x)在(a,1a)上单调递减(2)函数yf

    29、(x)在x1处取得极值,f(1)0,解得a0关于x的方程f(x)+2xx2+b化为x23x+lnx+b0令g(x)x23x+lnx+b,(x,2),令g(x)0,解得x或1令g(x)0,解得1x2,此时函数g(x)单调递增;令g(x)0,解得x1,此时函数g(x)单调递减关于x的方程f(x)+2xx2+b在,2上恰有两个不相等的实数根,则,解得实数b的取值范围是;(3)由(1)可知:a1,函数f(x)在(1,+)上单调递增,当x0时,xln(1+x)令x(nN*)则依次取n2,3,n累加求和可得:+当n2时,依次取n2,3,n则+11(1+)(1+)(1+)e【点评】本题考查了利用导数研究函数

    30、的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法,考查了等价问题转化方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题21(12分)已知A,B是椭圆C:+1(ab0)的左,右顶点,B(2,0),过椭圆C的右焦点F的直线交于其于点M,N,交直线x4于点P,且直线PA,PF,PB的斜率成等差数列()求椭圆C的方程;()若记AMB,ANB的面积分别为S1,S2求的取值范围【分析】()令P(4,y0),F(c,0),a2,A(2,0),B(2,0)由2kPFkPA+kPB,知,由此能得到椭圆C的方程()令M(x1,y1),N(x2,y2),得(3m2+4)y26my9

    31、0y2+6my90,再由韦达定理和三角形的面积公式进行求解【解答】解:()令P(4,y0),F(c,0),a2,A(2,0),B(2,0)2kPFkPA+kPB,c1,b23,()令M(x1,y1),N(x2,y2),得(3m2+4)y26my90y2+6my90,(9分)2/得,令t,(11分)则|t|+|t+|,即(13分),(15分)【点评】本题考查椭圆方程的求法和三角形面积比值的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意韦达定理的合理运用22(12分)已知函数,g(x)x+lnx,其中a0(1)若x1是函数h(x)f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;(2)若对任意的x1,x21,e(

    32、e为自然对数的底数)都有f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围【分析】(1)通过、x1是函数h(x)的极值点及a0,可得,再检验即可; (2)通过分析已知条件等价于对任意的x1,x21,e都有f(x)ming(x)max结合当x1,e时及可知g(x)maxg(e)e+1利用,且x1,e,a0,分0a1、1ae、ae三种情况讨论即可【解答】解:(1),g(x)x+lnx,其定义域为(0,+), x1是函数h(x)的极值点,h(1)0,即3a20a0, 经检验当时,x1是函数h(x)的极值点,;(2)对任意的x1,x21,e都有f(x1)g(x2)成立等价于对任意的x1,x21,e都有f(x)ming(x)max当x1,e时,函数g(x)x+lnx在1,e上是增函数g(x)maxg(e)e+1,且x1,e,a0当0a1且x1,e时,函数在1,e上是增函数,由1+a2e+1,得a,又0a1,a不合题意;当1ae时,若1xa,则,若axe,则函数在1,a)上是减函数,在(a,e上是增函数f(x)minf(a)2a由2ae+1,得a,又1ae,ae;当ae且x1,e时,函数在1,e上是减函数由e+1,得a,又ae,ae;综上所述:a的取值范围为【点评】本题是一道关于导数的综合题,考查极值、最值等基本知识,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题


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