1、,第4章 一次函数,章末复习,第4章 一次函数,章末复习,知识框架,归纳整合,素养提升,中考链接,知识框架,【要点指导】确定一个图像反映的是不是函数关系, 关键是利用定 义, 判断给出一个自变量的值, 是否有唯一确定的函数值与之对应. 函数的 实质是两个变量之间的关系, 自变量每取一个值, 因变量都有唯一确定的 值与之对应,归纳整合,专题一 函数概念型问题,例1 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( ).,C,分析 依据函数的定义判断图像表示的是不是函数关系, 易知C选项中的曲 线不表示y是x的函数, 因为C选项的图像中一个x值对应一个或两个y值, 不符合 函数的定义.,相关题1 泸州中考
2、下列曲线中不 能表示y是x的函数的是 ( ).,C,图4-Z-2,【要点指导】一次函数的图像和性质是函数的重要内容, 是中考的 重要考点, 特别是与函数的增减性有关的问题更是历年中考的热点, 解题 的关键是明确一次函数y=kx+b中, 当k0时, y的值随着x值的增大而增 大, 图像必过第一、三象限；当k 0时, y的值随着x值的增大而减小, 图像 必过第二、四象限.,专题二 一次函数的图像和性质,例2 宿迁中考在平面直角坐标系中, 若直线y=kx+b经过第一、 三、四象限, 则直线y=bx+k不经过的象限是( ). A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限,分析 因为直线y=kx+b经
3、过第一、三、四象限, 所以k0, b0, 所以 直线y=bx+k经过第一、二、四象限, 所以直线y=bx+k不经过第三象限.,C,相关题2 已知一次函数y=(6+3m)x+ (n-4) (1)当m为何值时, y随x的增 大而减小？ (2)当m, n为何值时, 函数 的图像与y轴的交点在x轴 的下方？ (3)当m, n为何值时, 函数 图像经过原点？,解析 (1)当63m0时，y随x的增大而减小； (2)当63m0且n40时，函数的图像与y轴的交点在x轴的下方； (3)当63m0且n40时，函数图像经过原点,解：(1)当63m0，即m2时，y随x的增大而减小 (2)当63m0且n40时，函数的图
4、像与y轴的交点在x轴的下方， 解得m2且n4， 所以当m2且n4时，函数的图像与y轴的交点在x轴的下方 (3)当63m0且n40时，函数图像经过原点， 解得m2且n4， 所以当m2且n4时，函数图像经过原点,【要点指导】确定函数表达式的方法：(1)根据基本数量关系列出 函数表达式；(2)根据数学公式列出函数表达式；(3)运用点的坐标列方 程求待定系数确定函数表达式. 在确定实际问题中的函数表达式时, 不 要忽略自变量的取值范围.,专题三 确定函数表达式,例3 肇庆中考已知一次函数y=kx-4, 当x=2时, y= -3. (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图像向上平移6个单位长度,
5、求平移后的图像与x轴的交点 坐标.,解：(1)将x=2, y= -3代入y=kx-4, 得-3=2k-4, 解得k= , 所以一次函数的表达式为y= x-4. (2)将y= x-4的图像向上平移6个单位长度得函数y= x+2的图像, 当y=0时, x=-4, 所以平移后的图像与x轴的交点坐标为(-4, 0).,相关题3 如图4-Z-3, 直线l过A(0, -1), B(1, 0)两点, 则直线 l所对应的函数表达式为 _.,yx1,【要点指导】与一次函数有关的计算题一直是中考的热点考题. 它 涉及的计算一般有求直线与坐标轴的交点坐标, 求两直线的交点坐标, 求平面直角坐标系中有关图形的面积、周
6、长及线段的长度等.,专题四 与一次函数有关的计算题,例4 如图4-Z-4, 在平面直角坐标系xOy中, 一次 函数的图像与x轴交于点A(1, 0), 与y轴交于点B(0, 2), 求 一次函数的表达式及线段AB的长,解： 设一次函数的表达式为y=kx+b(k0). 由题意 可知, 点A(1, 0) , B(0, 2)在直线y=kx+b上, 所以b=2, k+b= 0 ,解得b=2, k=-2, 所以一次函数的表达式为 y=-2x+2. 因为OA=1, OB=2, AOB=90, 所以AB=,【要点指导】以实际问题为载体的一次函数图像问题主要涉及两 个方面：一是根据图像信息求函数表达式, 进而解
7、决实际问题；二是根 据实际问题列出函数表达式, 画出函数图像, 此类问题往往将多个一次函 数的图像放在同一个平面直角坐标系中. 解此类问题的关键在于看懂图 像和熟悉实际情景中的数量关系, 应用数形结合的思想方法, 联系各种知 识进行分析推理, 将图像信息与实际数据转化为相应的数学问题.,专题五 一次函数图像信息题,例5 为积极响应党中央关于支援地震灾区抗震救灾的号召, 某工厂 日夜连续加班, 计划为灾区生产1000顶帐篷生产过程中的剩余生产任务 y(顶)与已用生产时间x(时) 之间的关系如图4-Z-6 所示. (1)求变量y与x之间的函数表达式 (不要求写自变 量的取值范围)； (2)求m的值
8、.,解： (1)设y与x之间的函数表达式为y=kx1000(k0), 由图像知, 点(30, 400)在一次函数y=kx1000的图像上, 将其代入上述函数表达式, 解得k=20, 所以y与x之间的函数表达式为y=20x1000. (2)当y=0时, x=50, 所以m的值是50.,相关题5 某种形如长方体(容积为 2000 mL)的盒装果汁, 其 盒底面是边长为10 cm的 正方形, 现从盒中倒出果 汁, 盒中剩余果汁的体积 y(mL)与果汁下降的高度 x(cm)之间的函数关系如图 4-Z-7所示(盒子的厚度 不计) (1)求出y与x的函数表达式, 并写出自 变量的取值范围；,(2)若将满盒
9、果汁倒出一部 分, 下降的高度为15 cm, 剩余的果汁还能够倒满每 个容积为180 mL的三个纸 杯吗？请计算说明,解： (1)设函数表达式为ykxb(k0)，由图像知， 点(0，2000)，(20，0)在一次函数ykxb的图像上， 将两点的坐标代入上述函数表达式， 解得k100，b2000，所以y100x2000(0x20) (2)当x15时，y100152000500. 因为5001803，所以不能倒满三个纸杯,【要点指导】一次函数是解决问题的常见模型, 近几年中考中考查一 次函数的实际应用题越来越多, 此类题目内容新颖, 与生活联系紧密, 解题 的关键是能从实际问题中抽象出一次函数模型
10、, 并求出其函数表达式.,专题六 一次函数的应用,例6 某商场欲购进A, B两种品牌的饮料500箱, 这两种饮料每箱的进 价和售价如下表所示. 设购进A种饮料x箱, 且所购进的两种饮料能全部卖 完, 获得的总利润为y元. (1)求y关于x的函数表达式； (2)如果购进两种饮料的总费用不超 过20 000元, 那么该商场如何进货 才 能获利最大？并求出最大利润. (注：利润=售价-进价),解： (1)y=(68-55)x+(40-35)(500-x)=8x+2500, 即y=8x+2500(0x500, 且x为整数). (2)由题意, 得55x+35(500-x)20 000,解得x125, 即
11、x可取得的最大值 为125. 对于函数y=8x+2500, 因为k=80, 所以y随x的增大而增大, 即当x取 最大值时, 函数y也取最大值. 因此, 当x=125时, y最大值=8125+2500=3500, 500-125=375,所以该商场购进A, B两种饮料分别为125箱, 375箱时, 才能获利最大, 最大利润为3500元. 500-125=375, 所以该商场购进A, B两种饮料分别为125箱, 375箱时, 才能获利最大, 最大利润为3500元.,相关题6 陕西中考小李从西安通 过某快递公司给在南昌 的外婆寄了一盒樱桃, 寄 快递时, 他了解到这个公 司除收取每次6元的包装 费外
12、, 樱桃不超过1 kg收 费22元, 超过1 kg, 则超出 部分按每千克10元加收 费用. 设该公司从西安到 南昌快递樱桃的费用为 y(元), 所寄樱桃为x(kg). (1)求y与x之间的函数表 达式； (2)已知小李给外婆寄了 2.5 kg樱桃, 请你求出这次 快递的费用是多少元.,解析 (1)本题是分段函数问题，应该分别列出01两个范围内y与x之间的函数表达式 (2)因为2.51，所以把x2.5代入当x1时的函数表达式中求解,【要点指导】一次函数的图像与几何图形相结合的题近年来越来 越多地出现在中考题中, 成为中考试题的一个亮点. 解决此类题有两个技 巧：一是将问题转化为一般的几何问题解
13、决；二是借助平面直角坐标系, 用代数的方法解决几何图形问题, 即利用数形结合思想解决.,素养提升,专题 数形结合思想,例 包头中考如图4-Z-8, 直线y= x+4与x 轴、y轴分别交于点A和点B, C, D分别为线段AB, OB 的中点, P为OA上一动点, PC+PD的值最小时, 点P的 坐标为( ). A(-3, 0) B(-6, 0) C(- , 0) D(- , 0),C,分析 作点D关于x轴的对称点D, 连接CD交x轴于点P, 此时 PC+PD的值最小, 如图4-Z-8所示. 令y= x+4中x=0, 则y=4, 所以点B的坐标为(0, 4). 令y= x+4中y=0, 则 x+4
14、=0, 解得x=-6, 所以 点A的坐标为(-6, 0). 因为C, D分别为线段AB, OB的中点, 所以点C的 坐标为(-3, 2), 点D的坐标为(0, 2). 因为点D和点D关于x轴对称, 所 以点D的坐标为(0, -2).,设直线CD的函数表达式为y=kx+b(k0). 因为直线CD过点C(-3, 2), D(0, -2), 所以b= -2, -3 k+b= 2, 把代入, 得k= - , 所以直线CD的函数表达式为y= - x-2. 令y= - x-2中y=0, 则0= - x-2, 解得x= - , 所以点P的坐标为(- , 0). 故选C.,相关题 如图4 - Z - 9 ,
15、一次函数 y= - x+2的图像分别与 x轴, y轴交于点A, B, 以线 段AB为边在第一象限内 作等腰直角三角形ABC , BAC=90. 求过B, C两 点直线的函数表达式.,中考链接,母题1 (教材P116习题4.1A组第4题) 甲、乙两人在一次跨栏比赛中, 路程s(m)与 时间t(s)的函数关系如图4-Z-10所示, 回答下列 问题： (1)这次比赛的赛程是多少？ (2)甲、乙二人谁先到达终点？ (3)求乙在这次比赛中的平均速度,考点：从函数图像上获取信息. 考情：从函数的图像上获取信息是常见的考题, 主要考查学生对函数图像上点的意义、图像的变 化趋势的理解以及对数形结合思想的运用.
16、 策略：正确理解平面直角坐标系中横轴、纵轴所 表示的意义及平行于x轴的线段与x轴、y轴的交 点的含义.,链接1 咸宁中考甲、乙两人在笔直的湖边 公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米, 先到终点的人原地休息. 已知甲先出发4分钟, 在 整个步行过程中, 甲、乙两人的距离y(米)与甲出 发 的时间t(分)之间的关系如图4-Z-11 所示, 下列 结论： 甲步行的速度为 60米/分； 乙走完全程用了32分钟；,乙用16分钟追上甲； 乙到达终点时, 甲离终点还有300米. 其中正确的结论有( ). A1个 B2个 C3个 D4个,答案 A,分析 由图可得： 甲步行的速度为2404=60(米/
17、分), 故正确. 乙走完全程用的时间为2400(166012)= 30(分), 故错误. 乙追上甲用的时间为16-4=12(分), 故错误. 乙到达终点时, 甲离终点的距离是2400- (4+30)60=360(米), 故错误. 故选A.,母题2 (教材P128习题4.3B组第6题) 正比例函数y=kx(k0)的函数值 y随 x的增大 而增大, 则一次函数y=x+k的图像大致是( ).,图4-Z-12,考点：一次函数的图像与性质. 考情：此类题比较简单, 一般以选择题、填空题 的形式出现.,策略：k, b的符号与函数图像、性质的关系 如下：,链接2 湘潭中考若b0, 则一次函数y= -x+b的
18、图像大致是( ).,C,图4-Z-13,分析 一次函数y=-x+b中, k=-10, b0, 一次函数y=-x+b的图像经过第一、二、四 象限. 故选C,链接3 常德中考若一次函数y=(k-2)x+1的 函数值y随x的增大而增大, 则( ). Ak2 Bk2 Ck0 Dk0,B,分析 由题意, 得k-20, 解得k2. 故选B.,链接4 眉山中考已知点A(x1, y1), B(x2, y2)在 直线y=kx+b上, 且直线经过第一、二、四象限, 当 x1x2时, y1与y2的大小关系为_. (用“” 连接),y1y2,分析 直线经过第一、二、四象限, y随x的增大而减小. x1x2, y1与y
19、2的大小关系为y1y2.,母题3 (教材P127练习第1题(1) 将直线y = 3x向下平移2个单位,得到直线 _.,考点：一次函数图像(直线)的平移. 考情：一次函数图像的平移在中考中常以选择题 填空题的形式出现,难度不大, 但是要弄清楚上下平 移时图像与y轴交点坐标的变化规律.,策略：一次函数图像的平移规律：左加右减自变量, 上加下减常数项. 将一次函数y=kx+b 的图像向上或向下平移m个单位(其中m0),得 到的图像对应的函数表达式为y=k x+(b+m)或 y=kx+(bm). 将一次函数y=kx+b的图像向左 或向右平移n个单位(其中n0), 得到的图像对应的函数表达式为y=k(x
20、+n)+b或y=k(xn)+b.,链接5 娄底中考将直线y=2x-3向右平移2 个单位长度, 再向上平移3个单位长度后, 所得的直 线的函数表达式为( ). Ay=2x-4 By=2x+4 Cy=2x+2 Dy=2x-2,A,分析 平移后所得直线的函数表达式为y= 2(x-2)-3+3=2x-4. 故选A.,母题4 (教材P131练习第2题) 已知一次函数的图像经过两点A ( - 1,3 ) , B(2,-5), 求这个函数的表达式.,考点：待定系数法求函数表达式. 考情：待定系数法求函数表达式是利用函数模型 解决实际问题的工具, 是最常考的题型, 必须牢记 解题方法. 策略：在已知条件中找两
21、个已知点的坐标(或两 对x, y的值)代入y=kx+b中列方程组求出k, b的值, 为确保计算正确, 求出k, b的值后应代入每个方程 检验.,链接6 湖州中考已知y是x的一次函数, 当 x=3时, y=1；当x=-2时, y=-4. 求这个一次函数的 表达式.,母题5 (教材P134练习第2题) 某移动公司对于移动话费推出两种收费 方式： A方案：每月收取基本月租费25元, 另收通话 费为0.36元/min； B方案：零月租费, 通话费为0.5元/min. (1)试写出A, B两种方案所付话费y(元)与通话 时间t(min)之间的函数表达式； (2)分别画出这两个函数的图像； (3)若林先生
22、每月通话300 min, 他选择哪种付 费方式比较合算？,考点：应用函数模型解决具体问题. 考情：中考中注重考查学生运用数学知识解决实 际问题的能力, 而建立函数模型解决问题是最常 见的考查方式, 极其重要. 策略：先根据条件求出函数表达式, 再利用函数 表达式求出特定x(y)条件下y(x)的值或取值范围, 从而解决实际问题.,链接7 永州中考永州市是一个降水丰富的 地区, 今年4月初, 某地连续降雨导致该地某水库水 位持续上涨, 下表是该水库4月1日4月4日的水位 变化情况： (1)请建立该水库水位y与日期x之间的函数 模型； (2)请用求出的函数表达式预测该水库今年 4月6日的水位； (3)你能用求出的函数表达式预测该水库今年 12月1日的水位吗？,(2)当x=6时, y=0.56+19.5=22.50. 答：预测该水库今年4月6日的水位为22.50米. (3)不能, 因为用所建立的函数模型远离已知 数据做预测是不可靠的.,谢 谢 观 看！,
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