4.1 空间图形基本关系的认识-4.2 空间图形的公理（一）学案（含答案）

1、4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(一)学习目标1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论.知识点一空间图形的基本位置关系位置关系图形表示符号表示空间点与直线的位置关系点A在直线a外Aa点B在直线a上Ba空间点与平面的位置关系点A在平面内A点B在平面外B空间两条直线的位置关系平行ab相交abO异面a与b异面空间直线与平面的位置关系线在面内a线面相交aA线面平行a空间平面与平面的位置关系面面平行面面相交a异面直线不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线知识

2、点二空间图形的公理(1)空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)Al，Bl，且A，Bl用来证明直线在平面内公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C用来确定一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P，Pl，且Pl用来证明空间的点共线和线共点(2)公理2的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图).推论2：两条相交直线确定一个平面(图).推论3：两条平行直线确定一个平面(图).1.两

3、个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()2.两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，记作A.()3.空间不同三点确定一个平面.()4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()题型一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，点C不在直线AB上.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)用符号表示：l，aA，aB，如图.(2)用符号表示：A，B，aC，CAB，如图.反思感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察

4、图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)若点A在直线b上，b在平面内，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作()A.Ab B.AbC.Ab D.Ab(2)如图所示，用符号语言可表述为()A.m，n，mnAB.m，n，mnAC.m，n，Am，AnD.m，n，Am，An考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案(1)B(2)A题型二点、线共面问题例2如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.考点平面的基本性质题点线共面问题证明因为

5、PQa，所以PQ与a确定一个平面，所以直线a，点P.因为Pb，b，所以P.又因为a，Pa，所以与重合，所以PQ.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.解已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，ab，a与b确定一个平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b与c确定一个平面，同理l.平面与都包含l和b，且blB，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面与平面重合，a，b，c和l共面.反思感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证

6、明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2如图，已知l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.考点平面的基本性质题点线共面问题证明方法一(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(重合法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内.平

7、面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点共线、线共点问题典例(1)如图，已知平面，且l，设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点.证明在梯形ABCD中，ADBC，AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则MAB，MCD，又AB，CD，M，M，又l，Ml，AB，CD，l共点.(2)如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.证明ABCD，AB，CD确定一个平面，ABE，EAB，E，E，E在与的交线l上.同理，F，G，H也在与的交线l上，E，F，G，H四点必定共线.素养评

8、析(1)点共线与线共点的证明方法点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.1.有以下结论：平面是处处平的面；平面是无限延展的；平面的

9、形状是平行四边形；一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的；两种说法是错误的.故选B.2.若一直线a在平面内，则正确的作图是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案A解析B中直线a不应超出平面；C中直线a不在平面内；D中直线a与平面相交.3.如果点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，则可以表示为()A.Aa，a，B B.Aa，a，BC.Aa，a，B D.Aa，a，B考点平面的概念、画法及表示题

10、点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案B解析点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，表示为Aa，a，B.4.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点 B.一个点和一条直线C.无数个点 D.两条相交直线答案D解析A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上.5.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P直线DE解析因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.