习题课：简单的线性规划 学案（含答案）

1、习题课简单的线性规划学习目标1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值.预习导引1.二元一次不等式的几何意义对于任意的二元一次不等式AxByC0(或0时，(1)AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；(2)AxByC0表示直线AxByC0下方的区域.2.用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.3.线性规划在实际问题中的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资

2、源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.题型一二元一次不等式表示的平面区域在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分xm逐条分段统计.例1画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合，xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合.所以，不等式组表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x，y3,8.(2)由图形及不等式组

3、知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个).跟踪演练1在平面直角坐标系中，有两个区域M，N，M是由三个不等式y0，yx和y2x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式txt1(0t1)所确定.设M，N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)等于()A.2t22tB.(t2)2C.1t2D.t2t答案D解析作出由不等式组组成的平面区域M，即AOE表示的平面区域，当t0时，f(0)11，当t1时，f(1)11，当0

4、t0时，最优解是将直线axby0在可行域内向上平移到边界(一般是两直线交点)的位置得到的，当b0时，则是向下方平移.例2医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解将已知数据列成下表：原料/10g蛋白质/单位铁质/单位甲510乙74费用32设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，那么目标函数为z3x2y，作出可行域如图所示：把z3x2y变形为yx，得到斜率为，在y轴

5、上的截距为，随z变化的一簇平行直线.由图可知，当直线yx经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小.由得A(，3)，zmin32314.4.甲种原料1028(g)，乙种原料31030(g)，费用最省.规律方法数学应用题解决的关键就在于正确地审清题意，正确地建模，切忌对题意盲加猜测，不按题意去解.另外解决这类题目时，要特别注意，目标函数所代表的直线斜率与边界直线斜率大小的比较，忽视了这一点，往往会出错.跟踪演练2某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万

6、元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品_吨，乙产品_吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大.答案2024解析设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，依题意约束条件为目标函数为S7x12y.可行域如图所示，从图中可以看出，当直线S7x12y经过点A时，直线在y轴上截距最大，所以S也取最大值.解方程组得A(20,24)，故当x20，y24时，Smax7201224428(万元).题型三数形结合思想的应用1.求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：2.常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)表

7、示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)的距离.(2)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.例3变量x、y满足(1)设z4x3y，求z的最大值；(2)设z，求z的最小值；(3)设zx2y2，求z的取值范围.解由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由，解得B(5,2).(1)由z4x3y，得yx.当直线yx过点B时，最小，z最大.zmax453214.(2)z，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmink

8、OB.(3)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.跟踪演练3已知实数x、y满足求zx2y2的最大值，并求出z取最大值时x、y的值.解根据条件，作出可行域，如图，zx2y2可看成可行域内的点(x，y)到原点的距离的平方，因此，要使z最大，只需在可行域内找出到原点距离最大的点即可.显然，A(3,5)到原点的距离最大，因此最优解为(3,5)，即x3，y5时，zmax325234.课堂达标1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少

9、买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A.5种B.6种C.7种D.8种答案C解析设购买软件x片，磁盘y盒.则画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示.落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)，共7个整点.2.已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2y2的最大值为()A.B.8C.16D.10答案D解析画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|，B(2,2)，|OB|2，C(1,3)，|OC|.(x2y2)max|OC|2()210.3.若x，y满足则z的最大值是_.答案3解析作出不等式组表示的

10、平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).z可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率.由图可知z的最大值为kAB3.4.已知实数x，y满足则zx2y2的最小值为_.答案解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin2.课堂小结1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.