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    2018-2019学年广东省深圳市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

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    2018-2019学年广东省深圳市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

    1、2018-2019学年广东省深圳市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)为了测算如图阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是()A12B9C8D62(5分)设命题p:函数y在定义域上为减函数;命题q:a,b(0,+),当a+b1时,+3,以下说法正确的是()Apq为真Bpq为真Cp真q假Dp,q均假3(5分)给出下列三个命题若“p或q”为假命题,则p,q均为真命题;命题“若x2且y3,则x+y5”

    2、的逆否命题为假命题;在ABC中,“A45”是“sinA”的充要条件,其中正确的命题个数是()A3B2C1D04(5分)设集合A1,2,B1,2,3,分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+yn上”为事件n(2n5,nN),若事件n的概率最大,则n的所有可能值为()A3B4C2和5D3和45(5分)在一次歌咏比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:90  89  90  95  93  94  93  去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()A9

    3、2,2.8B92,2C93,2D93,2.86(5分)如图,已知直线l:yk(x+1)(k0)与抛物线C:y24x相交于A、B两点,且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N,若|AM|2|BN|,则k的值是()ABCD27(5分)下列说法正确的是()AaR,“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是:“xR,x2+2x+30”D命题p:“xR,sinx+cosx”,则p是真命题8(5分)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图考虑

    4、以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为()ABCD9(5分)某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为()A8万元B10万元C12万元D15万10(5分)设P为椭圆+1上的一点,F1、F2是该椭圆的两个焦点,若|PF1|:|PF2|2:

    5、1则PF1F2的面积为()A2B3C4D511(5分)已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),直线xa与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A,O为坐标原若OAF的面积为a2,则双曲线C的离心率为()ABCD12(5分)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且F1PF2,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2则()A4B2C2D3二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分13(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是   14(5分)已知函数f(x)x4lnx,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处

    6、的切线方程为   15(5分)设椭圆1(0b5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则b值为   16(5分)函数f(x)2x2lnx的单调减区间是   三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17(10分)(1)若抛物线的焦点是椭圆+1左顶点,求此抛物线的标准方程;(2)某双曲线与椭圆+1共焦点,且以y为渐近线,求此双曲线的标准方程18(12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛()求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;()将抽取的6名运动员进

    7、行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率19(12分)已知关于x的一次函数ymx+n(1)设集合P2,1,1,2,3和Q2,3,分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n,求函数ymx+n是增函数的概率;(2)实数m,n满足条件求函数ymx+n的图象经过一、二、三象限的概率20(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y与直线l:ykx+a(a0)交于M,N两点()当k0时,分別求C在点M和N处的切线方程()y轴上是否存

    8、在点P,使得当k变动时,总有OPMOPN?(说明理由)21(12分)已知函数f(x)ax3x2(a0),x0,+)(1)若a1,求函数f(x)在0,1上的最值;(2)若函数yf'(x)的递减区间为A,试探究函数yf(x)在区间A上的单调性22(12分)已知函数f(x)ax2+bxlnx(a,bR)(1)当a1,b3时,求函数f(x)在,2上的最大值和最小值;(2)当a0时,是否存在正实数b,当x(0,e(e是自然对数底数)时,函数f(x)的最小值是3,若存在,求出b的值;若不存在,说明理由2018-2019学年广东省深圳市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大

    9、题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)为了测算如图阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是()A12B9C8D6【分析】设阴影部分的面积为S,根据题意,可得向正方形内随机投掷一点,其落到阴影部分的概率P;,又由几何概型可得P,可得,解可得答案【解答】解:根据题意,设阴影部分的面积为S,则正方形的面积为36,向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分内,则向正方形内随机投掷一点,其落到阴影部分的概率P;而P,则,解可得,S9;

    10、故选:B【点评】本题考查用模拟方法估计概率的大小,涉及几何概型的应用,模拟方法求面积一般针对不规则的图形2(5分)设命题p:函数y在定义域上为减函数;命题q:a,b(0,+),当a+b1时,+3,以下说法正确的是()Apq为真Bpq为真Cp真q假Dp,q均假【分析】根据反比例函数的单调性知,它在定义域上没有单调性,所以命题p是假命题;根据a+b1得b1a,带入,看能否解出a,经计算解不出a,所以命题q是假命题,即p,q均假,所以D是正确的【解答】解:函数y在(,0),(0,+)上是减函数,在定义域x|x0上不具有单调性,命题p是假命题;由a+b1得b1a,带入并整理得:3a23a+10,912

    11、0,该方程无解,即不存在a,b(0,+),当a+b1时,命题q是假命题;p,q均价,pq为假,pq为假;故选:D【点评】考查反比例函数的单调性,定义域,一元二次方程的解和判别式的关系3(5分)给出下列三个命题若“p或q”为假命题,则p,q均为真命题;命题“若x2且y3,则x+y5”的逆否命题为假命题;在ABC中,“A45”是“sinA”的充要条件,其中正确的命题个数是()A3B2C1D0【分析】根据复合命题真假关系进行判断;根据逆否命题的等价性判断原命题的真假即可;根据三角形的边角关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解:若“p或q”为假命题,则p,q都是假命题,则p,q均为真命题;

    12、故正确,命题“若x2且y3,则x+y5”为真命题,根据逆否命题的真假性相同得命题的逆否命题为真命题,故错误;在ABC中,若A150满足A45,但sinA,则sinA不成立,即充分性不成立,故错误,故选:C【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及复合命题的真假关系,充分条件和必要条件的判断,以及四种命题之间的关系,比较基础4(5分)设集合A1,2,B1,2,3,分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+yn上”为事件n(2n5,nN),若事件n的概率最大,则n的所有可能值为()A3B4C2和5D3和4【分析】分别从集合A和B中随机取一个数

    13、a和b,组成一个有序数对,共有23中方法,要计算事件n的概率最大时n的所有可能值,要把题目中所有的情况进行分析求解,比较出n的所有可能值【解答】解:事件n的总事件数为6只要求出当n2,3,4,5时的基本事件个数即可当n2时,落在直线x+y2上的点为(1,1);当n3时,落在直线x+y3上的点为(1,2)、(2,1);当n4时,落在直线x+y4上的点为(1,3)、(2,2);当n5时,落在直线x+y5上的点为(2,3);显然当n3,4时,事件n的概率最大为,故选:D【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题可以列举出所有事件,概率问题同其他的知识点结合在一起,实际上是以概率问题

    14、为载体,主要考查的是另一个知识点5(5分)在一次歌咏比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:90  89  90  95  93  94  93  去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()A92,2.8B92,2C93,2D93,2.8【分析】先由题意列出所剩数据,由平均数和方差公式依次求出均数、方差即可【解答】解:由题意所剩数据:90 90  93  94  93,所以平均数92,方差S(9092)2+(9092)2+(9392)2+(9492)2+(9392)22.8,

    15、故选:A【点评】本题考查平均数和方差公式,属于基础题6(5分)如图,已知直线l:yk(x+1)(k0)与抛物线C:y24x相交于A、B两点,且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N,若|AM|2|BN|,则k的值是()ABCD2【分析】直线yk(x+1)(k0)恒过定点P(1,0),由此推导出|OB|AF|,由此能求出点B的坐标,从而能求出k的值【解答】解:设抛物线C:y24x的准线为l:x1直线yk(x+1)(k0)恒过定点P(1,0)如图过A、B分别作AMl于M,BNl于N,由|AM|2|BN|,则|FA|2|FB|,点B为AP的中点、连接OB,则|OB|AF|,|OB|BF|,点B

    16、的横坐标为,点B的坐标为B(,),把B(,)代入直线l:yk(x+1)(k0),解得k故选:C【点评】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法,考查抛物线的性质,是中档题,解题时要注意等价转化思想的合理运用7(5分)下列说法正确的是()AaR,“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是:“xR,x2+2x+30”D命题p:“xR,sinx+cosx”,则p是真命题【分析】A根据不等式的关系进行判断即可B根据充分条件和必要条件的定义进行判断C根据特称命题的否定是全称命题进行判断D根据三角函数的性质进行判断【解答】解:A

    17、由1得a1或a0,则“1”是“a1”的必要不充分条件,正确,B若pq为真命题,则p,q都是真命题,此时pq为真命题,即充分性成立,反之当p假q真时,pq为真命题,但pq为假命题,故“pq为真命题”是“pq为真命题”的充分不必要条件,故B错误,C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是:“xR,x2+2x+30”,故C错误,Dsinx+cosxsin(x+)恒成立,p是真命题,则p是假命题,故D错误,故选:A【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及充分条件和必要条件,含有量词的命题的否定,比较基础8(5分)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单

    18、位:)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为()ABCD【分析】利用茎叶图分别求出甲、乙两地某月14时的气温的平均值和标准差,由此能求出结果【解答】解:由茎叶图,得:甲地该月14时的平均气温(26+28+29+31+31)29,甲地该月14时的平均气温的标准差S甲,乙地该月14时的平均气温(28+29+30+31+32)30,

    19、乙地该月14时的平均气温的标准差S乙,甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温,甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差根据茎叶图能得到的统计结论的标号为故选:A【点评】本题考查平均值、标准差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图、平均值、标准差的合理运用9(5分)某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元,则11时至12时的销售额为()A8万元B10万元C12万元D15万【分析】由频率分布直方图得0.40.14,也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额

    20、的4倍【解答】解:由频率分布直方图得0.40.1411时至12时的销售额为3412故选:C【点评】本题考查频率分布直方图,关键是注意纵坐标表示频率比组距,属于基础题10(5分)设P为椭圆+1上的一点,F1、F2是该椭圆的两个焦点,若|PF1|:|PF2|2:1则PF1F2的面积为()A2B3C4D5【分析】先由椭圆的方程求出|F1F2|2,再由|PF1|2|PF2|,求出|PF1|4,|PF2|2,由此能够推导出PF1F2是直角三角形,其面积【解答】解:|PF1|:|PF2|2:1,可设|PF1|2k,|PF2|k,由题意可知2k+k6,k2,|PF1|4,|PF2|2,|F1F2|2,PF1

    21、F2是直角三角形,其面积4故选:C【点评】本题考查椭圆的性质,判断出PF1F2是直角三角形能够简化运算11(5分)已知双曲线C:1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),直线xa与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A,O为坐标原若OAF的面积为a2,则双曲线C的离心率为()ABCD【分析】利用OAF的面积为a2,建立方程,即可求出双曲线C的离心率【解答】解:由题意,A(a,b),OAF的面积为a2,bca2,2c23bc2b20,c2b或cb(舍去),ab,e故选:A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题12(5分)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P是它

    22、们的一个交点,且F1PF2,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2则()A4B2C2D3【分析】先设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长a2,焦距2c因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题,所以需要找a1,a2,c之间的关系,而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1,a2表示出|PF1|,|PF2|,并且|F1F2|2c,F1PF2,在F1PF2中根据余弦定理可得到3a12+a224c2,结合离心率公式,计算可得所求值【解答】解:设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,P在双曲线的右支上,根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|2a1,|PF1|PF2|2a2,可得|PF1|a1+a2,

    23、|PF2|a1a2,设|F1F2|2c,F1PF2,在PF1F2中由余弦定理得,4c2(a1+a2)2+(a1a2)22(a1+a2)(a1a2)cos ,化简得3a12+a224c2,该式可变成+4,结合e1,e2,4故选:A【点评】本题考查椭圆及双曲线的交点,及椭圆与双曲线的定义,以及它们离心率的定义,余弦定理的运用,考查运算能力,属于中档题二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分13(5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数,由此能求出logab

    24、为整数的概率【解答】解:从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,基本事件总数n12,logab为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共2个,logab为整数的概率p故答案为:【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用14(5分)已知函数f(x)x4lnx,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3x+y40【分析】在填空题或选择题中,导数题考查的知识点一般是切线问题【解答】解:函数f(x)x4lnx,所以函数f(x)1,切线的斜率为:3,切点为:(1,1)所以切线方程为:3x+y40故答案为:3x+y40【点评】考查学生会利用

    25、导数求曲线上过某点的切线方程,考查计算能力,注意正确求导15(5分)设椭圆1(0b5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则b值为4【分析】设椭圆焦距为2c,由已知可得5+c2b,结合隐含条件求得b可求【解答】解:设焦距为2c,则有,解得b216,可得b4故答案为:4【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查等差数列性质的应用,是基础的计算题16(5分)函数f(x)2x2lnx的单调减区间是(0,【分析】先求f(x),根据导数的符号和原函数单调性的关系,只要求f(x)0的解即可求出原函数的单调减区间【解答】解:f(x),x0,解得:,所以函数f(x)的单调减区间是(故答案是(【点评】本题用的方法是求一

    26、个函数单调区间常用的方法,而容易出错的是x0这个条件三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17(10分)(1)若抛物线的焦点是椭圆+1左顶点,求此抛物线的标准方程;(2)某双曲线与椭圆+1共焦点,且以y为渐近线,求此双曲线的标准方程【分析】(1)求得椭圆的左顶点,设抛物线的方程为y22px(p0),可得8,求得p,即可得到所求方程;(2)求得椭圆的焦点,设双曲线的方程为1(a0,b0),可得渐近线方程,以及a,b的方程组,解得a,b,即可得到所求双曲线的方程【解答】解:(1)椭圆+1的a8,左顶点为(8,0),设抛物线的方程为y22px(p0),可得8,解得p

    27、16,则抛物线的方程为y232x;(2)双曲线与椭圆+1共焦点(,0),即为(4,0),设双曲线的方程为1(a0,b0),则a2+b248,渐近线方程为yx,可得,解得a2,b6,则双曲线的方程为1【点评】本题考查椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质,主要是焦点、顶点和渐近线方程,考查方程思想和运算能力,属于基础题18(12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛()求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;()将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人

    28、参加双打比赛(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率【分析】()由题意可得抽取比例,可得相应的人数;()(i)列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种;(ii)事件A包含上述9个,由概率公式可得【解答】解:()由题意可得抽取比例为,273,91,182,应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2;()(i)从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6)

    29、,(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,则事件A包含:(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6)共9个基本事件,事件A发生的概率P【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及分层抽样,属基础题19(12分)已知关于x的一次函数ymx+n(1)设集合P2,1,1,2,3和Q2,3,分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n,求函数ymx+n是增函数的概率;(2)实数

    30、m,n满足条件求函数ymx+n的图象经过一、二、三象限的概率【分析】(1)本小题是古典概型问题,欲求函数ymx+n是增函数的概率,只须求出满足:使函数为增函数的事件空间中元素有多少个,再将求得的值与抽取的全部结果的个数求比值即得(2)本小题是几何概型问题,欲求函数ymx+n的图象经过一、二、三象限的概率,只须求出满足使函数图象过一、二、三象限的区域的面积,再将求得的面积值与整个区域的面积求比值即得【解答】解:(1)抽取的全部结果所构成的基本事件空间为:(2,2),(2,3),(1,2),(1,3),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)共10个基本事件(2分)设

    31、使函数为增函数的事件空间为A:则A(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)有6个基本事件(4分)所以,(6分)(2)m、n满足条件m+n10,1m1,1n1的区域如图所示:使函数图象过一、二、三象限的(m,n)为区域为第一象限的阴影部分所求事件的概率为(12分)【点评】本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识古典概型与几何概型的主要区别在于:几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,几何概型的特点有下面两个:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等20(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y与

    32、直线l:ykx+a(a0)交于M,N两点()当k0时,分別求C在点M和N处的切线方程()y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPMOPN?(说明理由)【分析】(I)联立,可得交点M,N的坐标,由曲线C:y,利用导数的运算法则可得:y,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程(II)存在符合条件的点(0,a),设P(0,b)满足OPMOPNM(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2直线方程与抛物线方程联立化为x24kx4a0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2k1+k20直线PM,PN的倾斜角互补OPMOPN即可证明【解答】解:(I)联立,不妨取

    33、M,N,由曲线C:y可得:y,曲线C在M点处的切线斜率为,其切线方程为:ya,化为同理可得曲线C在点N处的切线方程为:(II)存在符合条件的点(0,a),下面给出证明:设P(0,b)满足OPMOPNM(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为:k1,k2联立,化为x24kx4a0,x1+x24k,x1x24ak1+k2+当ba时,k1+k20,直线PM,PN的倾斜角互补,OPMOPN点P(0,a)符合条件【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题21

    34、(12分)已知函数f(x)ax3x2(a0),x0,+)(1)若a1,求函数f(x)在0,1上的最值;(2)若函数yf'(x)的递减区间为A,试探究函数yf(x)在区间A上的单调性【分析】(1)根据导数和函数的最值的关系即可求出,(2)根据导数和函数的单调性即可求求出【解答】解:(1)依题意,f'(x)3x2xx(3x1),当时,f'(x)0,当时,f'(x)0,所以当时,函数f(x)有最小值,又,故函数f(x)在0,1上的最大值为,最小值为,(2)依题意,f'(x)3ax2x,因为(3ax2x)6ax10,所以f'(x)的递减区间为当时,f&#

    35、39;(x)3ax2xx(3ax1)0,所以f(x)在f'(x)的递减区间上也递减【点评】本题考查了导数和函数的最值和单调性的关系,属于中档题22(12分)已知函数f(x)ax2+bxlnx(a,bR)(1)当a1,b3时,求函数f(x)在,2上的最大值和最小值;(2)当a0时,是否存在正实数b,当x(0,e(e是自然对数底数)时,函数f(x)的最小值是3,若存在,求出b的值;若不存在,说明理由【分析】(1)首先对f(x)求导,利用导数判断函数的单调性与函数最值即可;(2)当b0时,即导函数零点:x;所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增;再分类讨论与e的关系;【解答】

    36、解:(1)由题意,f(x)x2+3xlnx,定义域为:x0对f(x)求导:f'(x)2x+3,令f'(x)0,则有x1,x21;当x(0,)时,f'(x)0,则f(x)在(0,)上单调递减;当x(,1)时,f'(x)0,则f(x)在(,1)上单调递增;当x(1,+)时,f'(x)0,则f(x)在(1,+)上单调递减;所以f(x)maxf(1)2,f(x)minf(),f(2)f()ln2+;(2)当a0时,f(x)bxlnx  (x0)对f(x)求导,即f'(x)b当b0时,令f'(x)0,即导函数零点:x;所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+)上单调递增;(i)当e时,即:b,f(x)在(0,e上单调递减,此时最小值为f(e)由题意,f(e)3,即:b,不合题意;(ii)当e时,即:b,f(x)在(0,)上递减,在(,e)上递增;此时最小值为f(b)由题意:f(b)3,即:be2,满足题意综上:be2【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,求函数最值以及分类讨论思想的应用,属中等题


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