1、2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）双曲线的焦距是（）A2B4C4D82（5分）命题“若x2+y20，则x0且y0”的否命题是（）A若x2+y20，则x0且y0B若x2+y20，则x0或y0C若x2+y20，则x0且y0D若x2+y20，则x0或y03（5分）已知直线l、m，平面、，l，m，则是lm的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4（5分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所
2、得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，A、B两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则观察茎叶图可知（）AAB，SA2SB2BAB，SA2SB2CAB，SA2SB2DAB，SA2SB25（5分）已知向量（1，2，2），（3，6，6），（2，1，2）则它们的位置关系是（）A，B，C，D，6（5分）某高中在校学生2000人为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a：b：c2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程
3、度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）A6人B12人C18人D24人7（5分）已知点P（1，2，3），Q（1，0，1），则P点关于x轴对称的点R与点Q的距离为（）A2B2C2D28（5分）从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为（）ABCD9（5分）如图程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）AA1000和nn+1BA1000和nn+2CA1000和nn+1DA1000和nn+210（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于
4、A，B两点，则ABF1内切圆的半径为（）AB1CD11（5分）正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则异面直线PC与BD的距离为（）ABCD12（5分）F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，则C的离心率为（）ABCD2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知命题p：x0，sinxx，那么命题p是 14（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是 15（5分）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间差
5、小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 16（5分）点P（x，y）满足等式2，过点（2，0）的直线l交动点P的轨迹曲线E于A，B两点，若曲线E上存在点C，使四边形AOBC（O为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l的斜率为 三、解答题：（共70分其中17题10分，其余每小题10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）$beginarrayl17（10分）已知抛物线C：y22px经过点M（1，2）（1）求C的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长18（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感
6、冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（0C）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验若选取的是用1月与6月的两组数据检验（1）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程ybx+a；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认线性回归方程是理想的，请判断（1）所求
7、出的线性回归方程是否理想的？（参考公式：线性回归方程x+其中）19（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABCD，ABAD，ADCD2，AA1AB4，E为棱AA1的中点（1）求证：B1C1CE；（2）若点M为线段C1E的中点，求直线A1M与平面B1CE所成角的正弦值20（12分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内1565岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）a0.5第2组25，35）18x第3组35，45）b0.9第4组45，55）90.36第5组55，
8、653y（1）分别求出n，a，b，x，y的值（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率21（12分）如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，平面PAD平面ABCD，PAPD4，AD2，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，且PMPC（1）求证：PA平面BMQ；（2）求二面角MBQP的余弦值22（12分）已知F1、F2分别为椭圆C：+1（ab0）的上、下焦点，A为左顶点，过点F1、A的直线与椭圆的另一个交点为B，BAF290，|F2B|（1）求椭圆C
9、的方程；（2）已知直线l：ykx+m与椭圆交于E、F两点，且线段EF的中点在直线y1上，求|EF|的最大值2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）双曲线的焦距是（）A2B4C4D8【分析】利用双曲线的标准方程以及简单性质，求解即可【解答】解：双曲线可得，a2，b2，c2，所以双曲线的焦距是：4故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查2（5分）命题“若x2+y20，则x0且y0”的否命题是（）A若x2+y20，则x
10、0且y0B若x2+y20，则x0或y0C若x2+y20，则x0且y0D若x2+y20，则x0或y0【分析】直接利用四种命题的逆否关系，写出否定命题即可【解答】解：命题“x2+y20，则xy0”的否定命题为：若x2+y20，则x0或y0故选：D【点评】本题考查四种命题的逆否关系，注意命题的否定与否定命题的区别，是基础题3（5分）已知直线l、m，平面、，l，m，则是lm的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】根据题意，分两步来判断：分析当时，lm是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，分析当lm时，是否成立，举出反例可得其是假命题，综合可得答案【解答】解：
11、根据题意，分两步来判断：当时，l，且，l，又m，lm，则是lm的充分条件，若lm，不一定，当l时，又由l，则lm，但此时不成立，即是lm的不必要条件，则是lm的充分不必要条件，故选：B【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质4（5分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，A、B两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则观察茎叶图可知（）AAB，SA2SB2BAB，SA2SB2CAB，SA2SB2DAB，SA2SB2【分析】观察茎叶图数据，根据
12、平均分，方差的定义即可判断得解【解答】解：A班学生的分数多集中在70，80之间，B班学生的分数集中在50，70之间，故AB；相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故SA2SB2，故选：B【点评】本题主要考查了平均分，方差的定义，考查了茎叶图的应用，属于基础题5（5分）已知向量（1，2，2），（3，6，6），（2，1，2）则它们的位置关系是（）A，B，C，D，【分析】推导出：3，0，从而，【解答】解：向量（1，2，2），（3，6，6），（2，1，2），由题知：3，0，故选：D【点评】本题考查两个向量的位置关系的判断，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考
13、查运算求解能力，是基础题6（5分）某高中在校学生2000人为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a：b：c2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）A6人B12人C18人D24人【分析】先求得参与跑步的总人数，再乘以抽样比例，得出样本中参与跑步的人数【解答】解：根据题意可知样本中参与跑步的人数为10040人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取的人
14、数为4012人故选：B【点评】本题主要考查了分成抽样，分层抽样又称按比例抽样，是高考中常见的题型，同时考查了分析问题、解决问题的能力，属于基础题7（5分）已知点P（1，2，3），Q（1，0，1），则P点关于x轴对称的点R与点Q的距离为（）A2B2C2D2【分析】由题意得点P关于x轴对称的点坐标为R（1，2，3），由此利用空间两点的距离公式能求出点R与点Q两点距离【解答】解：点P（1，2，3），Q（1，0，1），由题意得点P关于x轴对称的点坐标为R（1，2，3），故利用空间两点的距离公式的点R与点Q两点距离为：|RQ|故选：D【点评】本题考查两点间距离的求法，考查空间中对称、两点间距离公式等基础
15、知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n20，所选3人中恰有1名女生包含的基本事件个数m12，由此能求出所选3人中恰有1名女生的概率【解答】解：从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，基本事件总数n20，所选3人中恰有1名女生包含的基本事件个数m12，则所选3人中恰有1名女生的概率为p故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（5分）如图程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中
16、，可以分别填入（）AA1000和nn+1BA1000和nn+2CA1000和nn+1DA1000和nn+2【分析】通过要求A1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A1000”，进而通过偶数的特征确定nn+2【解答】解：因为要求A1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分10（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1内切圆的半径为（）AB
17、1CD【分析】根据题意，设ABF1内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF1|2|AF2|24，|AF1|+|AF2|2a4，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得ABF1的周长与面积，由内切圆的性质计算可得答案【解答】解：根据题意，设ABF1内切圆的半径为r；椭圆的方程为，其中a2，b，c1，则|F1F2|2c2，AB与x轴垂直，则有|AF1|2|AF2|24，|AF1|+|AF2|2a4，解可得：|AF1|，|AF2|，ABF1的周长l|AF1|+|BF1|+|AB|4+2c8，其面积S|AB|F1F2|3，由内切圆的性质可知，有rlS，解可得r故
18、选：D【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意利用三角形面积公式进行转化11（5分）正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则异面直线PC与BD的距离为（）ABCD【分析】以OC、OD、OS为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量，利用空间向量的距离公式求解即可【解答】解：SABCD为正四棱锥且O是S在底面ABCD内的正投影，SO面ABCD，连接AC、BD，则ACBD且交于O，OC、BD面ABCD，SOOC、SOOD，以OC、OD、OS为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线BD与PC的公垂线向量为，则有即，得不妨令x1，
19、则，又，异面直线BD与PC的距离，异面直线BD与PC的距离为故选：B【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，距离公式的求法，考查转化思想 以及计算能力12（5分）F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，则C的离心率为（）ABCD2【分析】画出图形，求出cosOF2M，然后通过，求解双曲线的离心率即可【解答】解：由题意可知：|MF2|2a+，cos，可得：，可得：8e，解得e或e（舍去）故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知命题p：x0，sinxx，那么命题p是x
20、0，sinxx【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题p：x0，sinxx，其否定为：x0，sinxx故答案为：x0，sinxx【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题14（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：S1，k1，满足条件k5，执行循
21、环体，S，k2满足条件k5，执行循环体，S2，k3满足条件k5，执行循环体，S1，k4满足条件k5，执行循环体，S，k5此时，不满足条件k5，退出循环输出S的值为故答案为：【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题15（5分）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为【分析】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y，由题意列出不等式组，求得对应面积的比值即可【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y，则所有事件集可表示为0x
22、5，0y5；由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|xy|2；三个不等式联立，则该事件即为xy2和yx2在的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域；而所有事件的集合即为正方形面积是5225，阴影部分的面积为252（52）216，所以阴影区域面积和正方形面积比值，即为手机受到干扰的概率P【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题16（5分）点P（x，y）满足等式2，过点（2，0）的直线l交动点P的轨迹曲线E于A，B两点，若曲线E上存在点C，使四边形AOBC（O为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l的斜率为1【分析】设出点的坐标，结合椭圆的定义求出轨迹方程，利用直线和椭圆的位置关系，利用
23、设而不求思想进行转化求解即可【解答】解：设F1（2，0），F2（2，0），则由2等价为|PF1|+|PF2|2由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆，椭圆方程为+1，其中a，c2，则b2a2c21046，所以动点P的轨迹方程为：+1若直线l垂直x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（4，0）因为4，所以点C在椭圆E外，所以直线与x轴不垂直，故可设直线的方程为yk（x2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立，整理得（3+5k2）x220k2x+20k2300，则由题知x1+x2，y1+y2，因为四边形AOBC为平行四边形，所以，所以点C的坐标为（，），代入椭圆
24、方程得+1，解得k21，所以k1故答案为：1【点评】本题主要考查轨迹方程的应用以及直线和椭圆位置关系的应用，根据椭圆的定义求出轨迹方程以及利用设而不求思想进行求解是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度三、解答题：（共70分其中17题10分，其余每小题10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）$beginarrayl17（10分）已知抛物线C：y22px经过点M（1，2）（1）求C的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长【分析】（1）设出抛物线方程，利用已知条件求出p，得到抛物线的方程，然后求解焦点坐标（2）设A
25、（x1，y1），B（x2，y2），求出直线方程与抛物线联立，求出AB坐标，然后求解弦长即可【解答】解：（1）由已知抛物线经过点M（1，2），代入y22px得222p，解得p2，所以，抛物线C的标准方程为 y24x，所以，抛物线的焦点为（1，0），（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得直线l的方程为 yx1，联立方程消去y得 x26x+10，解得，所以 x1+x26（也可以由韦达定理直接得到x1+x26），于是|AB|x1+x2+28【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力18（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温
26、差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（0C）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验若选取的是用1月与6月的两组数据检验（1）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程ybx+a；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认线性回归方程是理想的，请判
27、断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？（参考公式：线性回归方程x+其中）【分析】（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，求出a的值，即可得线性回归方程（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想【解答】解：（1）由数据求得由公式求得再由求得所以y关于x的线性回归方程为（2）当10，得y，|22|2令x6，得y，|12|2，所以，该小组所得线性回归方程是理想的【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查了线性分
28、析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目19（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABCD，ABAD，ADCD2，AA1AB4，E为棱AA1的中点（1）求证：B1C1CE；（2）若点M为线段C1E的中点，求直线A1M与平面B1CE所成角的正弦值【分析】（1）以A为原点，以AD，AA1，AB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由此能证明B1C1CE（2）求出平面B1CE的一个法向量和，利用向量法能求出直线A1M与平面B1CE所成的角的正弦值【解答】证明：（1）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABCD，ABAD，
29、AD，AA1，AB两两垂直以A为原点，以AD，AA1，AB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）则A（0，0，0），B（0，0，4），C（2，0，2），B1（0，4，4），C1（2，4，2），E（0，2，0）（2，0，2），（2，2，2）（3分）4+0+40，B1C1CE（4分）解：（2）（2，4，2），设平面B1CE的一个法向量为（x，y，z），令x3，得（3，2，1），M为C1E的中点，M（1，3，1），（1，1，1），设直线A1M与平面B1CE所成的角为，则sin|cos，|0，直线A1M与平面B1CE平行直线A1M与平面B1CE所成的角的正弦值为0【点评】本题考查线线垂
30、直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内1565岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）a0.5第2组25，35）18x第3组35，45）b0.9第4组45，55）90.36第5组55，653y（1）分别求出n，a，b，x，y的值（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2
31、人，求至少抽中一名女性的概率【分析】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n100，由此有求出a，b，x，y（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x35，45），且有0.01010+0.02010+（x35）0.03005，得x41.67，由此能估计这组数据的中位数和平均数（3）第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率【解答】解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n100，（1分）a100（0.0101
32、0）0.55，b100（0.03010）927，（2分）x0.9，（3分）y0.2（4分）（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x35，45），且有0.01010+0.02010+（x35）0.03005，解得x41.67，（6分）故估计这组数据的中位数为41.67，估计这组数据的平均数为：200.01010+300.02010+400.03010+500.02510+600.0301041.5（8分）（3）由（1）知a5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，共有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），
33、（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），（b，c）10个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件A，共有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）7个基本事件，至少抽中一名女性的概率p【点评】本题考查实数值、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题21（12分）如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，平面PAD平面ABCD，PAPD4，AD2，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，且PMPC（1）求证：PA平面BMQ；（2）求二面角MBQP的余弦值【分析】（1）推导出P
34、QAD，从而PQ平面ABCD，连接AC，交BQ于N，连接MN，则AQBC，推导出MNPA，由此能证明PA平面BMQ（2）连结BD，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角MBQP的余弦值【解答】证明：（1）由已知PAPD，Q为AD的中点，PQAD，又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PQ面PAD，PQ平面ABCD，（2分）连接AC，交BQ于N，连接MN，底面ABCD是菱形，AQBC，ANQBCN，3，又，MNPA，（3分）又MN平面BMQ，PA平面BMQ，PA平面BMQ（4分）解：（2）连结BD，ABD是正三角形，
35、由（1）知PQ平面ABCD，PQAD，PQBQ，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，0），P（0，0，），设平面BMQ的法向量（x，y，z），由（1）知MNPA，取z1，得（，0，1），平面BQP的法向量（1，0，0），设二面角MBQP的平面角为，则cos，二面角MBQP的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知F1、F2分别为椭圆C：+1（ab0）的上、下焦点，A为左顶点，过点F1、A的
36、直线与椭圆的另一个交点为B，BAF290，|F2B|（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：ykx+m与椭圆交于E、F两点，且线段EF的中点在直线y1上，求|EF|的最大值【分析】（1）根据OF2A为等腰直角三角形，即可求出abc，则根据椭圆的定即可求出a的值，可得椭圆的方程，（2）将直线方程ykx+m代入椭圆方程2x2+y220得到：（2+k2）x2+2kmx+m220，根据弦长公式求出|EF|，利用基本不等式，即可求|EF|的最大值【解答】解：（1）因BAF290，所以OF2A为等腰直角三角形，则，又|F2A|a，由定义，所以，解得，椭圆方程为（2）将直线方程ykx+m代入椭圆方程2x2+y220得到：（2+k2）x2+2kmx+m220，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，8（k2+2m2），则，得到2m2+k2，令t2+k2，则，由0知k22，所以2t4，则由基本不等式知（当t2，k0取到）【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题
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