1、2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1（5分）不等式x2+3x40的解集为（）Ax|x1或x4Bx|x1或x4Cx|4x1Dx|x1或x42（5分）在等差数列an中，a211，a918，则公差d为（）A1B7C1D73（5分）命题“”的否定是（）AxN，x3x2BxN，x3x2CD4（5分）实数x，y满足，则目标函数z2x+y的最小值为（）A2B1C1D25（5分）若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（）A2BCD6（5分
2、）在ABC中，内角A，B，C满足2sinBcosCsinA，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形7（5分）若点在曲线mx2+ny21（m0，n0）上，则的最小值为（）A8B9C16D188（5分）已知实数a，b，c满足0ab，0c1，则下列选项一定成立的是（）Aa+cb+cBacbcCacbDbca9（5分）已知抛物线x28y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|6，点Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ的面积为（）ABCD10（5分）如图，某建筑物的高度BC300m，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15，地面某处A的俯角为45，且BAC60
3、，则此无人机距离地面的高度PQ为（）A100mB200mC300mD400m11（5分）已知函数y（x1）f'（x）的图象如图所示（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则yf（x）的图象可能是（）ABCD12（5分）关于x的方程在区间（0，e上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡中相应的位置上）13（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且，则a5 14（5分）已知函数f（x）ex+ax在x1处取得极小值，则实数a 15（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，
4、点P是椭圆上一点，F1PF2120，且F1PF2的面积为，则椭圆的短轴为 16（5分）设曲线yxn+1（nN*）在（1，1）处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令，则a1+a2+a3+a2019 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知ABC为锐角三角形，角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足（1）求B的大小；（2）若ABC的面积为，且a+c6b，求b的大小18（12分）已知等差数列an的首项为1，公差d0，且a8是a5与a13的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）记，求数列bn的前n项和Tn19（12
5、分）已知命题p：曲线yx2+（m1）x+1与x轴没有交点；命题q：方程表示焦点在y轴上的双曲线，若命题p，q同真同假，求实数m的取值范围20（12分）举世瞩目的大国工程港珠澳大桥历时9年的建设，于2018年10月24正式开通运营，它总长约55千米，跨越伶仃洋，连接珠海、香港和澳门，是“一国两制”下港珠澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程一辆货车以速度v，km/h从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了80千米，大桥车速不得超过100km/h，每小时的运输成本包括油费和人工费用，经过测算货车每小时用油升，假设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元/次（1）当v70时，这次行车
6、的总费用y为多少元？并求行车的总费用y（单位：元）与速度v之间的函数解析式（2）当v为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用（结果保留2位小数，）21（12分）已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|4，记椭圆C的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，A1A2B的面积为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过点B的直线l：ykx+m与椭圆C相交于M、N两点，记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，且k1k22试问：直线MN是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由22（12分）已知函数f（x）ax+lnx（x0，aR）（1）求f（x）的单
7、调区间；（2）设，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围2018-2019学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1（5分）不等式x2+3x40的解集为（）Ax|x1或x4Bx|x1或x4Cx|4x1Dx|x1或x4【分析】利用十字相乘法，将不等式进行因式分解进行求解即可【解答】解：由x2+3x40得（x1）（x+4）0得x1或x4，即不等式的解集为x|x1或x4，故选：A【点评】本题主要考查
8、不等式的求解，利用十字相乘法进行因式分解是解决本题的关键2（5分）在等差数列an中，a211，a918，则公差d为（）A1B7C1D7【分析】利用等差数列通项公式直接求解【解答】解：在等差数列an中，a211，a918，解得a110，d1，公差d为1故选：C【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）命题“”的否定是（）AxN，x3x2BxN，x3x2CD【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：特称命题的否定是全称命题，命题“x0N，”的否定是：xN，x3x2故选：B【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系
9、，是基础题4（5分）实数x，y满足，则目标函数z2x+y的最小值为（）A2B1C1D2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z2x+y，得y2x+z，平移直线y2x+z，由图象可知当直线y2x+z经过点A时，直线y2x+z的截距最小，此时z最小由，解得，即A（0，1），则z0+11，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法5（5分）若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（）A2BCD【分析】根据双曲线的渐近线方程，
10、可得1，利用e，即可求得结论【解答】解：双曲线的渐近线方程为yx，1，则离心率e，故选：D【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线渐近线的条件建立方程关系是解决本题的关键6（5分）在ABC中，内角A，B，C满足2sinBcosCsinA，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形【分析】利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得bc，从而可得结论【解答】解：2sinBcosCsinA，a2bcosC，a2b，b2c2，bc，ABC的形状是等腰三角形故选：B【点评】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）若点在曲
11、线mx2+ny21（m0，n0）上，则的最小值为（）A8B9C16D18【分析】将点的坐标代入曲线，利用1的代换，结合基本不等式的性质进行求解即可【解答】解：若点在曲线mx2+ny21（m0，n0）上，则2m+4n1，则（）（2m+4n）2+8+10+210+818，当且仅当，即mn时，取等号，即的最小值为18，故选：D【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式的性质是解决本题的关键8（5分）已知实数a，b，c满足0ab，0c1，则下列选项一定成立的是（）Aa+cb+cBacbcCacbDbca【分析】根据不等式的基本性质可得选C【解答】解：0ab，0c1，acbcb故选
12、：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题9（5分）已知抛物线x28y的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|6，点Q为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ的面积为（）ABCD【分析】设点P的坐标为（x0，y0），根据抛物线的定义可求出点P的坐标，即可求出三角形的面积【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），抛物线x28y的焦点为F（0，2），准线方程为y2，对称轴为y轴，|PF|y0+y0+26，Q（0，2），y06，|FQ|4，x04SPFQ|FQ|x0|448，故选：D【点评】本题考查了抛物线的简单性质和三角形的面积，属于基础题10（5分）如图，某建筑物的高度BC300m，一架无人机
13、Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15，地面某处A的俯角为45，且BAC60，则此无人机距离地面的高度PQ为（）A100mB200mC300mD400m【分析】在RtABC中求得AC的值，ACQ中求得AQ的值，在RtAPQ中求得PQ的值【解答】解：根据题意，可得RtABC中，BAC60，BC300，AC200；ACQ中，AQC45+1560，QAC180456075，QCA180AQCQAC45，由正弦定理，得，解得AQ200，在RtAPQ中，PQAQsin45200200m故选：B【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题11（5分）已知函数y（x1）f'（x）的图象如图所示（
14、其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则yf（x）的图象可能是（）ABCD【分析】根据图象，判断函数的导数的符号，结合函数单调性和导数之间的关系进行排除即可【解答】解：当x1时，x10，由图象知（x1）f'（x）0，得f（x）0，此时函数为增函数，排除C，D，当x1时，x10，由图象知（x1）f'（x）0，得f（x）0，此时函数为增函数，排除A，故选：B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键12（5分）关于x的方程在区间（0，e上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）ABCD【分析】先利用导数研究函数f（x），x
15、（0，e的大致图象，再观察yf（x）的图象与直线yk的交点个数即可【解答】解：可变形为：k，设f（x），x（0，ef（x），设g（x）12lnxx，x（0，eg（x）0，即yg（x）为减函数，又g（1）0，即0x1时，g（x）0，即f（x）0，1xe时，g（x）0，f（x）0，即yf（x）在（0，1）为增函数，在（1，e）为减函数，又x0+时，f（x），f（1）1，f（e）关于x的方程在区间（0，e上有两个不相等的实根，等价于yf（x）的图象与直线yk的交点个数有两个，由上可知，当k1时，关于x的方程在区间（0，e上有两个不相等的实根，故选：A【点评】本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数
16、的大致图象，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题卡中相应的位置上）13（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，且，则a516【分析】根据题意，分析可得a5S5S4（251）（241），计算可得答案【解答】解：根据题意，等比数列an中，则a5S5S4（251）（241）2416；故答案为：16【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，注意前n项和与项的关系14（5分）已知函数f（x）ex+ax在x1处取得极小值，则实数ae【分析】根据函数极值的定义，求函数的导数，利用f（1）0直接解方程即可【解答】解：函数的导数为f（x）ex+a，若函数f（x）ex+ax在x
17、1处取得极小值，则f（1）0，即e+a0，则ae，故答案为：e【点评】本题主要考查函数极值的应用，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键比较基础15（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，F1PF2120，且F1PF2的面积为，则椭圆的短轴为2【分析】由三角形的面积可得|PF1|PF2|4再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a，再利用余弦定理求得b2【解答】解：由F1PF2120，PF1F2的面积为，可得|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a再利用余弦定理可得4c2|PF1|2
18、+|PF2|22PF1PF2cos120（|PF1|+|PF2|）2PF1PF24a24，b21，即椭圆的短轴为2b2，故答案为：2【点评】本题主要考查余弦定理，椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题16（5分）设曲线yxn+1（nN*）在（1，1）处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令，则a1+a2+a3+a2019lg2020【分析】利用导数求出函数yxn+1在点（1，1）处的切线方程，写出切线与x轴交点坐标，计算an与a1+a2+a2019的值【解答】解：因为yxn+1，所以y（n+1）xn，所以x1时，yn+1，所以直线方程为y1（n+1）（x1），令y0，解得x1，所以切
19、线与x轴的交点为（，0）；则anlglg，a1+a2+a2019lg+lg+lglg（）lg2020故答案为：lg2020【点评】本题考查了利用导数求函数曲线的切线方程以及对数的运算问题，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知ABC为锐角三角形，角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足（1）求B的大小；（2）若ABC的面积为，且a+c6b，求b的大小【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由ABC的面积为，可得ac4由余弦定理可
20、得b2a2+c2ac（a+c）23ac（6b）212可得b【解答】解：（1）a2bsinA0，sinA2sinBsinA0，（2分）sinA0，sinB，（3分）又B为锐角，则B；（5分）（2）ABC的面积为，且a+c6b，ac4由余弦定理可得b2a2+c2ac（a+c）23ac（6b）212b2【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）已知等差数列an的首项为1，公差d0，且a8是a5与a13的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）记，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由等比数列的中项性质和等
21、差数列的通项公式，解方程可得d，即可得到所求通项公式；（2）求得bn（），由裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）等差数列an的首项为1，公差d0，且a8是a5与a13的等比中项，可得a82a5a13，即为（1+7d）2（1+4d）（1+12d），解得d2（0舍去），可得an1+2（n1）2n1；（2）bn（），数列bn的前n项和Tn（1+）（1）【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题19（12分）已知命题p：曲线yx2+（m1）x+1与x轴没有交点；命题q：方程表示焦点在y轴上的双曲线，若命题p，q同
22、真同假，求实数m的取值范围【分析】由p真，可得判别式小于0，q真，4m0，且m10，解不等式可得m的范围，由题意p，q同真同假，解不等式可得所求范围【解答】解：p真，曲线yx2+（m1）x+1与x轴没有交点，可得（m1）240，解得1m3；q真，方程表示焦点在y轴上的双曲线，可得4m0，m10，解得1m4；命题p，q同真同假，可得：或，即有1m3或m4或m1【点评】本题考查命题的真假判断，考查二次函数图象和双曲线的方程，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题20（12分）举世瞩目的大国工程港珠澳大桥历时9年的建设，于2018年10月24正式开通运营，它总长约55千米，跨越伶仃洋，连接珠海、
23、香港和澳门，是“一国两制”下港珠澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程一辆货车以速度v，km/h从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了80千米，大桥车速不得超过100km/h，每小时的运输成本包括油费和人工费用，经过测算货车每小时用油升，假设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元/次（1）当v70时，这次行车的总费用y为多少元？并求行车的总费用y（单位：元）与速度v之间的函数解析式（2）当v为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用（结果保留2位小数，）【分析】（1）求出行驶时间，再计算费用；（2）根据基本不等式即可求出最低费用及对应的速度【解答】解：（1）当v70时，
24、行驶时间为小时，y7（3+）+28+120288元y与v的函数解析式为：y7（3+）+28+120+120（0v100）（2）y+1202+120112+120278.37当且仅当即v3549.49时取等号当v49.49时，这次行车的总费用最低，最低费用为278.37元【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题21（12分）已知椭圆的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|4，记椭圆C的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，A1A2B的面积为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过点B的直线l：ykx+m与椭圆C相交于M、N两点，记直线BM、BN的斜
25、率分别为k1、k2，且k1k22试问：直线MN是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【分析】（1）由椭圆定义可得出a的值，由，A1A2B的面积可求出b的值，从而可得出椭圆C的标准方程；（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的标准方程联立，列出韦达定理，利用两点间的斜率公式并结合条件k1k22，代入韦达定理并化简计算，可求出m的值，代入直线l的方程，可得出直线MN所过的定点【解答】解：（1）由椭圆的定义可得2a|PF1|+|PF2|4，得a2，A1A2B的面积为，得b1，因此，椭圆C的标准方程为；（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直
26、线l的方程与椭圆C的标准方程联立，消去x整理得（4k2+1）x2+8kmx+4（m21）0，由韦达定理可得，2，化简得，代入韦达定理得，易知，直线l不过点B，则m1，所以，化简得7m90，解得，则直线l的方程为因此，直线l过定点【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题22（12分）已知函数f（x）ax+lnx（x0，aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）设，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围【分析】（1）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导
27、函数的正负，进而得到函数的单调区间；（2）对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），等价于f（x）maxg（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）a+ （x0）当a0时，由于x0，故ax+10，f'（x）0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+）当a0时，由f'（x）0，得x在区间（0，）上，f'（x）0，在区间（，+）上f'（x）0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+）；（2）若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），由已知，问题转化为f（x）maxg（x）max，由（1）a0时，f（x）无最大值，不合题意，a0时，f（x）maxf（）1ln（a），x0，1，则g（x）22，当且仅当x0时“”成立，故1ln（a）2，解得：a【点评】此题考查学生利用导数研究函数的单调性，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道综合题
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