1、中考数学二轮复习重要考点精析数学思想 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养
2、在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲考点一：方程思想 从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。例1 如图，AB为O的直径
3、，点C在O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与O的另一个交点为E，连接AC，CE（1）求证：B=D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长思路分析：（1）由AB为O的直径，易证得ACBD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：B=D；（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在RtABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长解答：（1）证明：AB为O的直径，ACB=90，ACBC，DC=CB，AD=AB，B=D；（2）解：设BC=x，则AC=x-2，在RtABC中，AC2+BC2=AB
4、2，（x-2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1-（舍去），B=E，B=D，D=E，CD=CE，CD=CB，CE=CB=1+点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用对应训练1某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：1.41， 1.73）解：如图，过点C作CDAB于点D，设CD=x，在RtACD中，CAD=
5、30，则AD=CD=x，在RtBCD中，CBD=45，则BD=CD=x，由题意得，x-x=4，解得：x=2（+1）5.5答：生命所在点C的深度为5.5米考点二：函数思想 函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。例2 某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不
6、变）（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数思路分析：（1）根据每天运量天数=总运量即可列出函数关系式；（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可解：（1）每天运量天数=总运量nt=4000n=；（2）设原计划x天完成，根据题意得： (1-20%)=。解得：x=4经检验：x=4是原方程的根，答：原计划4天完成点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系对应训练2某地
7、计划用120-180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？解：（1）由题意得，y=，把y=120代入y=，得x=3，把y=180代入y=，得x=2，自变量的取值范围为：2x3，y=（2x3）；（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，
8、根据题意得：-=24解得：x=2.5或x=-3经检验x=2.5或x=-3均为原方程的根，但x=-3不符合题意，故舍去，答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3考点三：数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 例3 如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 6个，写出其中一个点
9、P的坐标是 （5，0）思路分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可解：如图所示，满足条件的点P有6个，分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（-5，0）（0，-5）故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便对应训练3如图，函数y1=与y2=k2x的图象相交于点A（1，2）和点B，当y1y2时，自变量x的取值范围是（）Ax1B-1x0C-1x0或x1Dx-1或0x13C考点四：整体思想 整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察
10、与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。 整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例4 若a-2b=3，则2a-4b-5= 1思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=23-5=1故答案是：1点评：本题考查了代数式求值代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值对应训练4已知实数a，b满足
11、a+b=2，a-b=5，则（a+b）3（a-b）3的值是 100041000考点五：转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 例5 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3m（容器厚度忽略不计
12、）思路分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求解：如图：高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，AD=0.5m，BD=1.2m，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=1.3（m）故答案为：1.3点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化。将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力对应训练5如图，在RtABC中，C=90，AC=8
13、，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PDAC于点D，PECB于点E，连结DE，则DE的最小值为 4.854.8解：RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，AB=10，如图，连接CP，PDAC于点D，PECB于点E，四边形DPEC是矩形，DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CPAB时，则CP最小，DE=CP= =4.8，故答案为4.8考点六：分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想
14、与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏例6某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是 y1=0.1x+6，乙种收费的函数关系式是 y2=0.12x，（2）该校某年级每次需印制100450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收
15、费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1y2时，当y1=y2时，当y1y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得，12=100k1，解得：，k1=0.12，y1=0.1x+6，y2=0.12x；（2）由题意，得当y1y2时，0.1x+60.12x，得x300；当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；当y1y2时，0.1x+60.12x，得x300；当100x300时，选择乙种方式合算；当x=100时，甲乙两种方式
16、一样合算；当300x4500时，选择甲种方式合算故答案为：y1=0.1x+6，y2=0.12x点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点对应训练6某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利
17、用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40-x）台，由题意，得，解得：21x24，x为整数，x=21，22，23，24有4种购买方案：方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；（2）由题意，得y=（3000-2500）x
18、+（3200-2800）（40-x），=500x+16000-400x，=100x+16000k=1000，y随x的增大而增大，x=24时，y最大=18400元（3）设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得2500a+2800b+500c=18400，c=a2，b2，c1，且a、b、c为整数，184-25a-28b0，且是5的倍数且c随a、b的增大而减小当a=2，b=2时，184-25a-28b=78，舍去；当a=2，b=3时，184-25a-28b=50，故c=10；当a=3，b=2时，184-25a-28b=53，舍去；当a=3，b=3时，184-25a-28b=25，故
19、c=5；当a=3，b=4时，184-25a-28b=-2，舍去，当a=4，b=3时，184-25a-28b=0，舍去有2种购买方案：方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶，方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶四、中考训练1甲乙两车分别从A、B两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离S（千米）与甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶（1）A、B两地的距离 560千米；乙车速度是 100km/h；a表示 （2）乙出发多长时间后两车相距330千米？解：（1）
20、t=0时，S=560，所以，A、B两地的距离为560千米；甲车的速度为：（560-440）1=120km/h，设乙车的速度为xkm/h，则（120+x）（3-1）=440，解得x=100；相遇后甲车到达B地的时间为：（3-1）100120=小时，所以，a=（120+100）=千米；（2）设直线BC的解析式为S=k1t+b1（k10），将B（1，440），C（3，0）代入得，解得，所以，S=-220t+660，当-220t+660=330时，解得t=1.5，所以，t-1=1.5-1=0.5；直线CD的解析式为S=k2t+b2（k20），点D的横坐标为+3=，将C（3，0），D（，）代入得，解得，
21、所以，S=220t-660，当220t-660=330时，解得t=4.5，所以，t-1=4.5-1=3.5，答：乙出发多长0.5小时或3.5小时后两车相距330千米2如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y=kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（-3，2），BCy轴于点C，且OC=6BC（1）求双曲线和直线的解析式；（2）直接写出不等式kx+b的解集解：（1）点A（-3，2）在双曲线y=上，2=，即m=-6，双曲线的解析式为y=-，点B在双曲线y=-上，且OC=6BC，设点B的坐标为（a，-6a），-6a=-，解得：a=1（负值舍去），点B的坐标为（1，-6），直线y=kx+b过点A，B，解得
22、：直线的解析式为y=-2x-4；3如图，函数y1=-x+4的图象与函数y2=（x0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）两点（1）求函数y2的表达式；（2）观察图象，比较当x0时，y1与y2的大小解：（1）把点A坐标代入y1=-x+4，得-a+4=1，解得：a=3，（1分）A（3，1），把点A坐标代入y2=，k2=3，函数y2的表达式为：y2=；（2）由图象可知，当0x1或x3时，y1y2， 当x=1或x=3时，y1=y2， 当1x3时，y1y2（2）根据图象得：不等式kx+b的解集为-3x0或x14某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：类型价格进价（
23、元/盏）售价（元/盏）A型3045B型5070（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100-x）盏，根据题意得，30x+50（100-x）=3500，解得x=75，所以，100-75=25，答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，则y=（45-30）x+（70-50）（100-x），=15x+2000-20x，=-5x+2000，B型台灯的进货数量不超过A型
24、台灯数量的3倍，100-x3x，x25，k=-50，x=25时，y取得最大值，为-525+2000=1875（元）答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元5如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F求证：OE=OF证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，ABCD，OAE=OCF，在OAE和OCF中，OAEOCF（ASA），OE=OF6如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=7，B=60，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作APE=B，PE交CD于E（1）求证：APBPE
25、C；（2）若CE=3，求BP的长（1）证明：等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，B=C=60，APC=B+BAP，即APE+EPC=B+BAP，APE=B，BAP=EPC，APBPEC；（2）解：过点A作AFCD交BC于点F，则四边形ADCF是平行四边形，ABF为等边三角形，CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，APBPEC，设BP=x，则PC=7-x，EC=3，AB=4，解得：x1=3，x2=4，经检验：x1=3，x2=4是原分式方程的解，BP的长为：3或47已知抛物线y1=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y
26、2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8分类讨论：n=8时，易得A（-6，0）如图1，抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，抛物线开口向下，则a0，AB=16，且A（-6，0），B（10，0），而A、B关于对称轴对称，对称轴直线x=2，要使y1随着x的增大而减小，则a0，x2；（2）n=-8时，易得A（6，0），如图2，抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，抛物线开口向上，则a0，AB=16，且A（6，0），B（-10，0），而A、B关于对称轴对称，对称轴直
27、线x=-2，要使y1随着x的增大而减小，且a0，x-28如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求的长；（3）过点D作DEAB，垂足为E（如图），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围解：（1）AP=PD理由如下：如图，连接OPOA是半圆C的直径，APO=90，即OPAD又OA=OD，AP=PD；（2）如图，连接PC、ODOD是半圆C的切线，AOD=90由（1）知，AP=PD又AC=OC，
28、PCOD，ACP=AOD=90，的长=；（3）分两种情况：当点E落在OA上（即0x2时），如图，连接OP，则APO=AED又A=A，APOAED，AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y，y=-x2+4（0x2）；当点E落在线段OB上（即2x4）时，如图，连接OP同可得，APOAED，AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，y=x2+4（2x4）9为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30方向上的B处（1）在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是多少？
29、（结果用根号表示）（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（参数数据： 1.414， 1.732， 2.449结果精确到0.1海里）解：（1）如图，过点P作PCAB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离由题意，得APC=90-45=45，B=30，AP=100海里在RtAPC中，ACP=90，APC=45，PC=AC=AP=50海里；（2）在RtPCB中，BCP=90，B=30，PC=50海里，BC=PC=50海里，AB=AC+BC=50+50=50（+）50（1.414+2.449）193.2（海里），答：轮船航行的距离AB约为193.2海里10某农庄计划在30亩空地上全部种
30、植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图所示（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 140元，小张应得的工资总额是 2800元，此时，小李种植水果 10亩，小李应得的报酬是 1500元；（2）当10n30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10m30时，求w与m之间的函数关系式解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）=140元，小张应得的工资总
31、额是：14020=2800元，此时，小李种植水果：30-20=10亩，小李应得的报酬是1500元；故答案为：140；2800；10；1500；（2）当10n30时，设z=kn+b（k0），函数图象经过点（10，1500），（30，3900），解得，所以，z=120n+300（10n30）；（3）当10m30时，设y=km+b，函数图象经过点（10，160），（30，120），解得，y=-2m+180，m+n=30，n=30-m，当10m20时，10n20，w=m（-2m+180）+120n+300，=m（-2m+180）+120（30-m）+300，=-2m2+60m+3900，当20m30时
32、，0n10，w=m（-2m+180）+150n，=m（-2m+180）+150（30-m），=-2m2+30m+4500，所以，w与m之间的函数关系式为w=11如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，BAC的平行线交O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F（1）求证：AFEF（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论证明：（1）如图，连接DO，EF是O的切线，ODEF，AD平分BAC，CAD=BAD，ODBC，BCEF，AB为直径，ACB=90，即ACBC，AFEF；（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，AB是直径，ADB=90，即ADBH，ADB=ADH=90，在ABD和ADH中，ABDAHD（ASA），AH=AB，EF是切线，CDF=CAD，HDF=EDB=BAD，EDF=HDF，DFAF，DF是公共边，CDFHDF（ASA），FH=CF，AF+CF=AF+FH=AH=AB即AF+CF=AB。
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