4.2 向量的加法(二) 学案（含答案）

1、42向量的加法(二)学习目标1.理解零向量，相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算知识链接1a的相反向量是什么？a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？答与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作a，并且有a(a)0.a的相反向量是a即(a)a，规定：零向量的相反向量仍是零向量2我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？答向量的减法也有类似法则，定义aba(b)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量3向量减法的三角形法则是什么？答当把两个向量a，b的始点移到同

2、一点时，它们的差向量ab可以通过下面的作法得到：连接两个向量(a与b)的终点；差向量ab的方向是指向被减向量的终点这种求差向量ab的方法叫向量减法的三角形法则概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”预习导引1零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0或.零向量没有确定的方向2相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)(a)a；(3)a(a)(a)a0；(4)若a与b互为相反向量，则ab，ba，ab0.3向量减法的定义若bxa，则向量x叫做a与b的差，记为ab，求两个向量差的运算，叫做向量的减法4向量减法的平行四边形法则以向量a

3、，b为邻边作平行四边形ABCD，则对角线的向量ba，ab.5向量减法的三角形法则在平面内任取一点O，作a，b，则ab，即ab表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量6位置向量将平面上每个点A都用从O到A的向量来表示，称为A的位置向量一个向量等于它的终点B的位置向量减去起点A的位置向量，即，或简记“终点向量减始点向量”.题型一向量加、减法的基本运算例1化简：(1)；(2)()()解(1)方法一.方法二().方法三()().(2)方法一()()()()0.方法二()()()()()()0.方法三()()()()0.规律方法利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转

4、化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量跟踪演练1化简：(1)；(2).解(1)()()0.(2)()()0.题型二用已知向量表示其他向量例2如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示；(4)用d，c表示.解由题意知，a，b，c，d，e，则(1)dea.(2)bc.(3)abe.(4)()cd.规律方法(1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：观察待表示的向量位置；寻找相应的平行四边形或三角形；运用法则找关系，化简得结果跟踪演练2如图，在五边形A

5、BCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量，及.解四边形ACDE为平行四边形，c，ba，ca，cb，bac.题型三向量加、减法的综合应用例3已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：.证明方法一如图，在四边形CDEF中，0，.在四边形ABFE中，0，.得()()()E、F分别是AD、BC的中点，0，C0.方法二如图，在平面内取点O，连接AO、EO、DO、CO、FO、BO，则，.E、F是AD、BC的中点，.()()().规律方法(1)本例用向量的加减运算解决，而不必考虑图形是平面图形还是空间图形，体现了向量的优点(2)本结论可以看作梯形中位

6、线定理的推广跟踪演练3已知非零向量a、b满足|a|1，|b|1，且|ab|4，求|ab|的值解设a，b，则|ab|.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则|ab|.(1)2(1)242，|2|2|2.OAOB.平行四边形OACB是矩形矩形的对角线相等，|4，即|ab|4.课堂达标1如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是()A.0B.0C.D.答案D解析0，0，0.故选D.2在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.0B.C.D.0答案C解析，0，A正确；，B正确；，C错误；，0，D正确3如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则用a，b，c表示为_答案abc解析acb.4已知a，b，若|12，|5，且AOB90，则|ab|_.答案13解析|12，|5，AOB90，|2|2|2，|13.a，b，ab，|ab|13.课堂小结1.向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，就可以把减法转化为加法即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆3以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量a，b，则两条对角线表示的向量为ab，ba，ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.