2.4.2 计算函数零点的二分法 学案（含答案）

1、2.4.2计算函数零点的二分法学习目标1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想知识链接现有一款三星手机，目前知道它的价格在5001000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？预习导引用二分法求函数零点的一般步骤已知函数yf(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数，即使得|xx0|.用二分法求函数零点的一般步骤如下：(1)在D内取一个闭区间a0，b0D，使f(a0)与

2、f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0，零点位于区间a0，b0中(2)取区间a0，b0的中点，则此中点对应的横坐标为x0.计算f(x0)和f(a0)并判断：如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.(3)对区间a1，b1，按(2)中的方法，可以得到区间a2，b2，且它的长度是区间a1，b1长度的一半如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间a0，b0，a1，b1，a2，b2，a3，b3，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的

3、一半继续实施上述步骤，函数的零点总位于区间an，bn上，当|anbn|2时，区间an，bn的中点xn(anbn)就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点与真正零点的误差不超过.题型一二分法概念的理解例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案A解析按定义，f(x)在a，b上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选A.规律方法1.准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成

4、两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点跟踪演练1(1)下列函数中，能用二分法求零点的为()(2)用二分法求函数f(x)在区间a，b内的零点时，需要的条件是()f(x)在区间a，b内连续不断；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0；f(a)f(b)0.ABCD答案(1)B(2)A解析(1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解

5、，观察四个函数图象，只有B选项符合(2)由二分法的意义，知选A.题型二用二分法求方程的近似解例2用二分法求方程x2100在区间3.1,3.2上的近似解(误差不超过0.001，即0.001)解设f(x)x210，则f(3.1)0.39，f(3.2)0.24.取a03.1，b03.2，有f(a0)f(b0)0.列表计算：nanbnbnanf(an)f(bn)xn03.10003.20000.10000.39000.24003.150013.15003.20000.05000.07750.24003.175023.15003.17500.02500.07750.08063.162533.15003.

6、16250.01250.07750.00143.156343.15633.16250.00620.03780.00143.159453.15943.16250.00310.01820.00143.161063.16103.16250.00150.00810.00143.1618由于b6a60.00150.0022，计算停止，取x63.161753.162为方程的近似解规律方法给定，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0

7、(a，c)；若f(a)f(c)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)重复第(3)步，可得到一系列有限区间，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半，当所在区间值小于2时，区间中点就是函数f(x)的近似零点跟踪演练2若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为_(只填序号)(，11,22,33,44,55,66，)x123456f(x)136.12315.5423.93010.67850.667305.678答案课堂达标1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1B1,0C0,1D1,2答案A解析f(2)30，f(1)60，

8、f(2)f(1)0，故可取2,1作为初始区间，用二分法逐次计算2定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)0，用二分法求x0时，当f0时，则函数f(x)的零点是()A(a，b)外的点BxC区间或内的任意一个实数Dxa或xb答案B解析由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值由f0，知选B.3函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的解所在区间为()A(1.25,1.5) B(1,1.25)C(1.

9、5,2) D不能确定答案A解析由于f(1.25)f(1.5)0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)4函数f(x)log2x2x1的零点必落在区间()A.B.C.D(1,2)答案C解析f0，f0，f10，f(1)10，f(2)40，函数零点落在区间上5用二分法求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_答案(2,2.5)解析f(2)2322510，f(2.5)2.5322.555.6250，下一个有根的区间是(2,2.5)课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的误差，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0.上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值