1、2018-2019学年广西桂林十八中高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x20，Bx|lgx0，则AB（）Ax|0x2Bx|0x1Cx|1x2D2（5分）已知复数z，则|z|（）AB3C1D2i3（5分）在正项等比数列an中，若a1，2a2成等差数列，则（）ABCD4（5分）“是“cos“成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知抛物线C：y2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|x0，则x0等于（）A1B
2、2C4D86（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD7（5分）在区间0，1上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）ABCD8（5分）设实数alog23，blog，csin30，则a，b，c的大小关系为（）AbacBbcaCabcDacb9（5分）将函数图象向右平移个单位长度后与原函数图象重合，则的最小值为（）A6BC2D10（5分）若函数f（x）x+asinx在0，）上单调递增，则a的取值范围是（）A1，0B1，+）C0，+）D（，111（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0）
3、，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|若直线PF1与圆x2+y2a2相切，则双曲线的离心率为（）ABC2D312（5分）已知定义在R上的可导函数f （x）的导函数为yf（x），满足f（x）f（x），f （0）1，则不等式f（x）ex的解集为（）A（0，+）B（1，+）C（2，+）D（4，+）二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知函数f（x）log2（x2+a），若f（3）1，则a 14（5分）已知实数x，y满足，则的最大值是 15（5分）正四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为的球O，当AB2时，则该四棱柱的体积为
4、; 16（5分）设函数f（x）ex1，若对x（0，+）都有axf（x），则实数a的取值范围是 三解答题：本大题共5小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值18（12分）某地区积极发展电商，通过近些年工作的开展在新农村建设和扶贫过程中起到了非常重要的作用，促进了农民生活富裕，为了更好地了解本地区某一特色产品的宣传费x（千元）对销量y（千件）的影响，统计了近六年的数据如下：年份代号123456宣传费（千元）
5、2456810销量（千件）3040605070y利润（千元）407011090160205（1）若近6年的宣传费x与销量y呈线性分布，由前5年数据求线性回归直线方程，并写出y的预测值；（2）若利润与宣传费的比值不低于20的年份称为“吉祥年”，在这6个年份中任意选2个年份，求这2个年份均为“吉祥年”的概率附：回归方程的斜率与截距的最小二乘法估计分别为，其中，为xi，yi的平均数19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（）证明：平面PAB平面PAD；（）若PAPDABDC2，求点C到平面PBD的距离20（12分）如图，已知椭圆C：+y21（a1）的上顶点为A，右焦点为
6、F，直线AF与圆M：x2+y26x2y+70相切（）求椭圆C的方程；（）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且0求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标21（12分）已知函数f（x）x2lnxx+1，x1，+）（1）证明：f（x）（x1）2；（2）若f（x）m（x1）2恒成立，求实数m的取值范围请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目后的方框涂黑如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4；极坐标与参数方程22（10分）已知曲线C的极坐标方程为2sin+cos10，曲线C1：（为参数）（）求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（）若点M在曲线C1
7、上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值及该点坐标选修4-5；不等式选讲23已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围2018-2019学年广西桂林十八中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x20，Bx|lgx0，则AB（）Ax|0x2Bx|0x1Cx|1x2D【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax
8、|x2，Bx|0x1；ABx|0x1故选：B【点评】考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2（5分）已知复数z，则|z|（）AB3C1D2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z，|z|故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5分）在正项等比数列an中，若a1，2a2成等差数列，则（）ABCD【分析】设正项等比数列an的公比为q0，由a1，2a2成等差数列，可得a1+2a2，化为q22q10，解得q，即可得出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0，a1，2a2成等差数列，a1+2a2，a1+2
9、a1q，可得：q22q10，解得q，取q1+，则q23+2故选：C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）“是“cos“成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断【解答】解：由一定能推出cos，当由cos，则不一定推出，故“是“cos“成立的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义和三角函数的值，属于基础题5（5分）已知抛物线C：y2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|x0，则x0等于（）A1B2C4D8【分析
10、】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出【解答】解：抛物线C：y2x的焦点为F（，0）A（x0，y0）是C上一点，|AF|x0，x0x0+，解得x01故选：A【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题6（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD【分析】由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥SABC，其中平面SACABC，SAABBCSCSB2，AC4，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥SABC，其中平面SACABC，SAABBCSCSB2，AC4，如图，SASC，ABBC，该几何
11、体的表面积为：S2（SSAC+SSAB）2（）8+4故选：A【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题7（5分）在区间0，1上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）ABCD【分析】设取出的两个数为x、y，则可得“0x1，0y1”表示的区域为纵横坐标都在0，1之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y1.5表示的区域为直线x+y1.5下方，且在0x1，0y1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案【解答】解：设取出的两个数为x、y，则有0x1，0y1，其表示的区域为
12、纵横坐标都在0，1之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y1.5表示的区域为直线x+y1.5下方，且在0x1，0y1表示区域内部的部分，易得其面积为1，则两数之和小于1.5的概率是故选：D【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于用平面区域表示出题干的代数关系8（5分）设实数alog23，blog，csin30，则a，b，c的大小关系为（）AbacBbcaCabcDacb【分析】利用指数函数、对数函数的单调性能判断a，b，c的大小关系【解答】解：实数alog23log221，logbloglog1，csin30，a，b，c的大小关系为abc故选：C【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查
13、指指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（5分）将函数图象向右平移个单位长度后与原函数图象重合，则的最小值为（）A6BC2D【分析】根据三角函数的平移变绿规律，函数ysin（x+）的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出的表达式，判断出它的最小值【解答】解：函数ysin（x+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，kZ6k，kZ0，可得6最小故选：A【点评】本题考查由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，本题判断出是周期的整数倍，是解题的关键，属于基础题10（5分）若函数f（x）x+asinx在0，）上单调递增，则a的取值范围是（）A1，
14、0B1，+）C0，+）D（，1【分析】本题根据题意可知f（x）在0，）上大于等于0，然后对f（x）1+acosx0进行参变量分离得到a，在根据x0，），得出的取值范围，即可得到a的取值范围【解答】解：由题意，可知：f（x）1+acosx，函数f（x）x+asinx在0，）上单调递增，f（x）1+acosx0，a，0x，0cosx1，1，a1故选：B【点评】本题主要考查函数求导法，参变量分离，不等式的求解等问题，本题属中档题11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|若直线PF1与圆x2+y2a2相切，
15、则双曲线的离心率为（）ABC2D3【分析】先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值【解答】解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|F1F2|，所以PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点，所以|F1M|PF1|，又因为在直角F1MO中，|F1M|2|F1O|2a2c2a2，所以|F1M|b|PF1|又|PF1|PF2|+2a2c+2a，c2a2+b2由可得c2a2（）2，即为4（ca）c+a，即3c5a，解得e故选：B【点评】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平
16、面几何的性质，考查运算能力，属于中档题12（5分）已知定义在R上的可导函数f （x）的导函数为yf（x），满足f（x）f（x），f （0）1，则不等式f（x）ex的解集为（）A（0，+）B（1，+）C（2，+）D（4，+）【分析】根据题意，令g（x），对其求导可得g（x），分析可得g（x）0，即函数g（x）为减函数；结合f（0）1可得g（0）1，则不等式f（x）ex1g（x）1g（x）g（0），借助函数的单调性分析可得答案【解答】解：根据题意，令g（x），则其导数g（x），又由f（x）f（x），则有g（x）0，即函数g（x）为减函数；且g（0）1则不等式f（x）ex1g（x）1g（x）g（0）
17、，又由函数g（x）为减函数，则有x0；则不等式f（x）ex的解集为（0，+）；故选：A【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知函数f（x）log2（x2+a），若f（3）1，则a7【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可【解答】解：函数f（x）log2（x2+a），若f（3）1，可得：log2（9+a）1，可得a7故答案为：7【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识的考查14（5分）已知实数x，y满足，
18、则的最大值是【分析】实数x，y满足，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，2），C（0，2），则的几何意义是点（x，y）与P（2，0）连线的斜率，由此可求结论【解答】解：实数x，y满足，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，），C（1，2），则的几何意义是点（x，y）与P（2，0）连线的斜率，由于PC的斜率为 ，PB的斜率为：，所以的最大值为：故答案为：【点评】本题考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义15（5分）正四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为的球O，当AB2
19、时，则该四棱柱的体积为8【分析】作出截面图，由已知求解四棱柱的高，再由棱柱体积公式求解【解答】解：作出截面图如图，则，正四棱柱的高为该四棱柱的体积为V2228故答案为：8【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题16（5分）设函数f（x）ex1，若对x（0，+）都有axf（x），则实数a的取值范围是（，1【分析】先分离参数，再根据函数，求导，判断函数的单调性，利用极限即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）ex1，若对x（0，+）都有axf（x），a，设g（x），g（x），令h（x）ex（x1）+1，h（x）xex0，h（x）在（0，+）单调递增，h（x）h（
20、0）0，g（x）0，g（x）在（0，+）单调递增，ex1g（x）g（0）1，a1，故答案为：（，1【点评】本题考查利用导数运算的能力，利用导数求函数的最值的能力，属于中档题三解答题：本大题共5小题，共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）1（）求角A的大小；（）若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc20又b5，解得c4由余弦定理得a2b2+c22bccosA25+162021，即可得出a又由正弦定理得
21、即可得到即可得出【解答】解：（）由cos2A3cos（B+C）1，得2cos2A+3cosA20，即（2cosA1）（cosA+2）0，解得（舍去）因为0A，所以（）由S，得到bc20又b5，解得c4由余弦定理得a2b2+c22bccosA25+162021，故又由正弦定理得【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键18（12分）某地区积极发展电商，通过近些年工作的开展在新农村建设和扶贫过程中起到了非常重要的作用，促进了农民生活富裕，为了更好地了解本地区某一特色产品的宣传费x（千元）对销量y（千件）的影响，统计了近六年的数据如下：年份代号1
22、23456宣传费（千元）2456810销量（千件）3040605070y利润（千元）407011090160205（1）若近6年的宣传费x与销量y呈线性分布，由前5年数据求线性回归直线方程，并写出y的预测值；（2）若利润与宣传费的比值不低于20的年份称为“吉祥年”，在这6个年份中任意选2个年份，求这2个年份均为“吉祥年”的概率附：回归方程的斜率与截距的最小二乘法估计分别为，其中，为xi，yi的平均数【分析】（1）求出样本平均数，结合回归直线方程的定义分别进行求解即可（2）利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可【解答】解：（1）由前5年数据可得：，回归直线方程为y的预测值为82.5（2）从
23、6个年份中任取2个年份的情况为：（2，40），（4，70），（2，40），（5，110），（2，40），（6，90），（2，40），（8，160），（2，40），（10，205），（4，70），（5，110），（4，70），（6，90），（4，70），（8，160），（4，70），（10，205），（5，110），（6，90），（5，110），（8，160），（5，110），（10，205），（6，90），（8，160），（6，90），（10，205），（8，160），（10，205），共15种2个年份均为“吉祥年”的情况有：（2，40），（5，110），（2，40），（8，160），（2，4
24、0），（10，205），（5，110），（8，160），（5，110），（10，205），（8，160），（10，205），共6种6个年份中任意选个2个年份均为“吉祥年”的概率为【点评】本题主要考查回归直线的方程以及古典概型的概率的计算，考查学生的计算能力19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（）证明：平面PAB平面PAD；（）若PAPDABDC2，求点C到平面PBD的距离【分析】（）推导出BAAP，CDDP，CDAB，从而BAPD，进而BA平面PAD，由此能证明平面PAB平面PAD（）由BA平面PAD，得ABAD，从而底面ABCD为矩形，取AD的中点O，知PO
25、AD，即PO平面ABCD，推导出PBPD，由VCPBDVPBCD，能求出点C到平面PBD的距离【解答】证明：（）在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90由题意知BAAP，又CDDP，CDAB，BAPD，PDPAP，BA平面PAD，BA平面PAB，平面PAB平面PAD解：（）由（）知，BA平面PAD，ABAD，底面ABCD为矩形，且平面PAD平面ABCD，取AD的中点O，知POAD，即PO平面ABCD，PB2，PD2，BD2，PB2+PD2BD2，PBPD，设C到面PBD的距离为h，由VCPBDVPBCD，得，解得h，点C到平面PBD的距离为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面
26、的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）如图，已知椭圆C：+y21（a1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2+y26x2y+70相切（）求椭圆C的方程；（）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且0求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【分析】（）确定圆M的圆心与半径，利用直线AF与圆M相切，根据点到直线的距离公式，求得几何量，从而可求椭圆C的方程；（）设直线AP的方程为ykx+1，则直线AQ的方程为y，分别与椭圆C的方程联立，求得P、Q的坐标，可得直线l的方程，即可得到结论【解答】（）解：将圆
27、M的一般方程x2+y26x2y+70化为标准方程（x3）2+（y1）23，圆M的圆心为M（3，1），半径r由A（0，1），F（c，0）（c），得直线AF：+y1，即x+cyc0，由直线AF与圆M相切，得，c22a2c2+13，椭圆C的方程为C：+y21；（）证明：0，APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1）可设直线AP的方程为ykx+1，则直线AQ的方程为y将ykx+1代入椭圆C的方程，整理得：（1+3k2）x2+6kx0，解得x0或x，因此P的坐标为（，+1），即P（，）将上式中的k换成，得Q（，）直线l的斜率为直线l的方程为y（x）+化简得直线l的方程为yx，因此直线l过定点N
28、（0，）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查圆锥曲线和直线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）x2lnxx+1，x1，+）（1）证明：f（x）（x1）2；（2）若f（x）m（x1）2恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）f（x）（x1）2，x1，+）即证明x2lnxx+1（x1）20，x1，+）令g（x）x2lnxx+1（x1）20，x1，+），g（1）0利用导数研究其单调性即可得出（2）f（x）m（x1）2在x1，+）上成立，即x2lnxx+1m（x1）2在x1，+）上成立x1时恒成立下面假设：x2lnxx+1
29、m（x1）2在x（1，+）上成立等价于不等式：m，x（1，+）上成立令u（x），x（1，+）利用导数已经其单调性，再利用洛必达法则即可得出【解答】解：（1）证明：f（x）（x1）2，x1，+）即证明x2lnxx+1（x1）20，x1，+）令g（x）x2lnxx+1（x1）20，x1，+），g（1）0g（x）2xlnx+x12（x1）2xlnxx+1，x1，+）令h（x）2xlnxx+1，h（1）0，x1，+）h（x）2lnx+10，x1，+）函数h（x）在x1，+）上单调递增h（x）0在x1，+）上恒成立，即g（x）0在x1，+）上恒成立g（x）0在x1，+）上成立因此f（x）（x1）2，在x
30、1，+）成立（2）f（x）m（x1）2在x1，+）上成立，即x2lnxx+1m（x1）2在x1，+）上成立x1时恒成立下面假设：x2lnxx+1m（x1）2在x（1，+）上成立等价于不等式：m，x（1，+）上成立令u（x），x（1，+）上成立u（x），x（1，+）上成立令v（x）x22xlnx1，x（1，+）上成立，v（1）0v（x）2（xlnx1）0，函数v（x）在x（1，+）上单调递增，v（x）v（1）0u（x）0，x（1，+）函数u（x）在x（1，+）上单调递增利用洛必达法则可得：，再一次利用洛必达法则可得：x1时，m实数m的取值范围是【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值
31、、方程不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目后的方框涂黑如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4；极坐标与参数方程22（10分）已知曲线C的极坐标方程为2sin+cos10，曲线C1：（为参数）（）求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值及该点坐标【分析】（）将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后消去参数，得到普通方程即可，（）利用点到直线距离公式得到距离的三角解析式，然后结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果【解答】解：（）
32、曲线C的普通方程是：x+2y100，由 得，代入cos2+sin21得（）曲线C的普通方程是：x+2y100，设点M（3cos，2sin），由点到直线的距离公式得：，其中，0时，此时【点评】本题考查极坐标方程与参数方程的应用，点到直线距离公式，三角函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题选修4-5；不等式选讲23已知函数f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1|（1）当a1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围【分析】（1）当a1时，f（x）x2+x+4，g（x）|x+1|+|x1|，分x1、x1，1
33、、x（，1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）g（x）的解集为1，；（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立x2ax20在1，1恒成立，只需，解之即可得a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）|x+1|+|x1|，当x（1，+）时，令x2+x+42x，解得x，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时f（x）g（x）的解集为（1，；当x1，1时，g（x）2，f（x）f（1）2当x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（1）f（1）2综上所述，f（x）g（x）的解集为1，；（2）依题意得：x2+ax+42在1，1恒成立，即x2ax20在1，1恒成立，则只需，解得1a1，故a的取值范围是1，1【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题
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