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    2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

    • 资源ID:114770       资源大小:427KB        全文页数:21页
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    2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

    1、2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每个小题5分,共60分.每个小题有四个选项,有且只有一个正确选项,请将正确选项填涂在答题卡上)1(5分)(理)已知向量(3,5,1),(2,2,3),(4,1,3),则向量的坐标为()A(16,0,23)B(28,0,23)C(16,4,1)D(0,0,9)2(5分)已知抛物线的方程为y2px2且过点(1,4),则抛物线的焦点坐标为()A(1,0)BCD(0,1)3(5分)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()ABC3D54(5分)已知函数f

    2、(x)f'(2)lnx+ex,则f(2)()A2e2B2e2ln2Ce2(ln2+1)De2(2ln2+1)5(5分)曲线yxsinx在点P(,0)处的切线方程是()Ayx+2Byx+2Cyx2Dyx26(5分)函数f(x)x2lnx的减区间为()A(0,)B(,+)C(,)D(0,)7(5分)已知函数f(x)在xx0处的导数为12,则()A4B4C36D368(5分)已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM3MA,点N为BC的中点,则()ABCD9(5分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,所有的棱长都相等且长度为4,M为B1C1的中点,N为A1B1的中点,则AM与BN所成角的

    3、余弦值为()ABCD10(5分)已知函数,f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'(x)在2,2的图象大致是()ABCD11(5分)椭圆上的点到直线的最大距离是()A3BCD12(5分)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)f(x)对任意的xR恒成立,则下列不等式均成立的是()Af(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)Bf(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)Cf(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)Df(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)二、填空题(本大题共4小题,每个小题5分,共20分.请将正确答案填写在答题卡上)13(5分)函

    4、数的导函数f'(x)   14(5分)已知,且,则xy   15(5分)在棱长均为2的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,A1ABA1AD60,BAD90,则AC1的长度   16(5分)椭圆的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率   三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,上顶点坐标为(1)求椭圆的方程;(2)设P为椭圆上一点,且F1PF230,求F1PF2的面积18(12分)设函数f(x

    5、)2x3+3ax2+3bx+c在x1及x2时取得极值(1)求a,b的值;(2)若f(x)在1,2上的最大值是9,求f(x)在1,2上的最小值19(12分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC90,SA面ABCD,SAABBC1,AD(1)求证:面SAB面SBC;(2)求面SAD与面SDC所成角的余弦值20(12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为A1C1,BC的中点,ABBC2,C1FAB(1)求证:C1F平面ABE;(2)若直线C1F和平面ACE所成角的正弦值等于,求三棱柱ABCA1B1C1的体积21(12分)已知函数f(x)lnxax22x(I)若函数f(x

    6、)在x,2内单调递减,求实数a的取值范围;(II)当a时,关于x的方程f(x)x+b在1,4上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围22(12分)已知动点P到定直线l:x4的距离比到定点F(2,0)的距离大2(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)在x轴正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与曲线C交于A,B两点,使得为定值如果存在,求出点M坐标;如果不存在,请说明理由2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每个小题5分,共60分.每个小题有四个选项,有且只有一个正确选项,请将正确选项填涂在答题卡上)1

    7、(5分)(理)已知向量(3,5,1),(2,2,3),(4,1,3),则向量的坐标为()A(16,0,23)B(28,0,23)C(16,4,1)D(0,0,9)【分析】直接利用空间向量的坐标运算法则,求出的坐标即可【解答】解:因为向量(3,5,1),(2,2,3),(4,1,3),所以向量2(3,5,1)3(2,2,3)+4(4,1,3)(16,0,23)故选:A【点评】本题考查的知识点是向量的坐标表示,熟练掌握平面向量模的计算公式2(5分)已知抛物线的方程为y2px2且过点(1,4),则抛物线的焦点坐标为()A(1,0)BCD(0,1)【分析】利用点的坐标满足方程求出a,化简抛物线方程,然

    8、后求解即可【解答】解:抛物线的方程为y2px2,且经过点(1,4),可得p2,抛物线的标准方程为:x2y,则焦点坐标为:(0,)故选:C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,考查计算能力3(5分)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()ABC3D5【分析】确定抛物线y212x的焦点坐标,从而可得双曲线的一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离【解答】解:抛物线y212x的焦点坐标为(3,0)双曲线的右焦点与抛物线y212x的焦点重合4+b29b25双曲线的一条渐近线方程为,即双曲线的焦点到其

    9、渐近线的距离等于故选:A【点评】本题考查抛物线的性质,考查时却显得性质,确定双曲线的渐近线方程是关键4(5分)已知函数f(x)f'(2)lnx+ex,则f(2)()A2e2B2e2ln2Ce2(ln2+1)De2(2ln2+1)【分析】由导函数的求法得:f(x)+ex,所以f(2)+e2,所以f(2)2e2,即f(2)e2(2ln2+1),得解【解答】解:由f(x)f'(2)lnx+ex,所以f(x)+ex,所以f(2)+e2,所以f(2)2e2,即f(2)e2(2ln2+1)故选:D【点评】本题考查了导函数的求法,属简单题5(5分)曲线yxsinx在点P(,0)处的切线方程是

    10、()Ayx+2Byx+2Cyx2Dyx2【分析】求得曲线对应的函数的导数,可得切线的斜率,由直线的点斜式方程,可得切线的方程【解答】解:yxsinx的导数为ysinx+xcosx,在点P(,0)处的切线斜率为ksin+cos,即有在点P(,0)处的切线方程为y0(x),即为yx+2故选:A【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,考查导数的几何意义,正确求导和运用直线的点斜式方程是解题的关键,属于基础题6(5分)函数f(x)x2lnx的减区间为()A(0,)B(,+)C(,)D(0,)【分析】利用导数的运算法则可得f(x),令f(x)0,解得x范围即可得出【解答】解:f(x)2xlnx+x2x

    11、(lnx+)(x0),令f(x)0,解得0x函数f(x)x2lnx的减区间为(0,)故选:D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题7(5分)已知函数f(x)在xx0处的导数为12,则()A4B4C36D36【分析】根据题意,由极限的性质可得则,结合导数的定义计算可得答案【解答】解:根据题意,函数f(x)在xx0处的导数为12,则4;故选:B【点评】本题考查极限的计算以及导数的定义,属于基础题8(5分)已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM3MA,点N为BC的中点,则()ABCD【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用空间向量的线性运算法则,

    12、用,表示出即可【解答】解:如图空间四边形OABC中,点M在OA上,且OM3MA,又N为BC的中点,(+),故选:D【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题,属基础题9(5分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,所有的棱长都相等且长度为4,M为B1C1的中点,N为A1B1的中点,则AM与BN所成角的余弦值为()ABCD【分析】由空间向量的运算及空间向量的夹角得:()+10,又易得|2,|2,设,的夹角为,则cos,得解【解答】解:因为(),所以()+10,又易得|2,|2,设,的夹角为,则cos,则AM与BN所成角的余弦值为:,故选:C【点评】本题考查了空间向量的运算及空间向量的夹角,属中档题

    13、10(5分)已知函数,f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'(x)在2,2的图象大致是()ABCD【分析】根据题意,求出函数的导数,分析可得f'(x)在2,2上为奇函数且f(x)0在(0,)上恒成立,据此分析选项可得答案【解答】解:根据题意,函数,则f(x)+sinx,则f'(x)在2,2上为奇函数,又由在(0,)上,0且sinx0,则f(x)0在(0,)上恒成立,故选:C【点评】本题考查函数的图象以及导数的计算,关键正确求出函数的导数,属于基础题11(5分)椭圆上的点到直线的最大距离是()A3BCD【分析】设椭圆上的点P(4cos,2sin),由点到直线的距

    14、离公式,计算可得答案【解答】解:设椭圆上的点P(4cos,2sin)则点P到直线的距离d;故选:D【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细求解12(5分)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)f(x)对任意的xR恒成立,则下列不等式均成立的是()Af(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)Bf(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)Cf(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)Df(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)【分析】令g(x),求出函数g(x)的导数,判断函数的单调性,从而求出答案【解答】解:令g(x),则g(x)0,故g(x)

    15、在R递减,而ln20,20,故g(ln2)g(0),g(2)g(0),即,即f(ln2)2f(0),f(2)e2f(0),故选:A【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题二、填空题(本大题共4小题,每个小题5分,共20分.请将正确答案填写在答题卡上)13(5分)函数的导函数f'(x)【分析】由复合函数导函数的求法得:f(x),得解【解答】解:由,所以f(x),故答案为:【点评】本题考查了复合函数导函数的求法,属中档题14(5分)已知,且,则xy2【分析】由条件可得,存在R使得,1+2x(2x)且43且y+4(2y2),解出x,y即可【解

    16、答】解:由,有,因为,所以存在R使得,1+2x(2x)且43且y+4(2y2),所以,x,y4,所以xy2故答案为:2【点评】本题考查了空间向量的坐标运算和平行,属基础题15(5分)在棱长均为2的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,A1ABA1AD60,BAD90,则AC1的长度【分析】用向量法,则,的夹角60,的夹角60,的夹角90,进而求出AC1【解答】解:在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,所以【点评】本题几何体不是常规直棱柱,但因为是平行六面体,故可以用向量法来解决,属于中档题16(5分)椭圆的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率

    17、1【分析】由题意可知:设A(,y),代入椭圆方程,求得y,由等比三角形的性质可知:丨y丨,由离心率的公式及离心率的取值范围,即可求得椭圆离心率【解答】解:椭圆焦点在x轴上,设A(,y),将x代入椭圆方程+1,解得yOFP为等边三角形,则tanAOF化为:e48e2+40,0e1解得:e242,由0e1,解得:e1故答案为:1【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查等边三角形的性质,考查计算能力,属于中档题三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,上顶点坐标为(1)求椭圆的方程;(2

    18、)设P为椭圆上一点,且F1PF230,求F1PF2的面积【分析】(1)由题意可得:,b,a2b2+c2联立解得:a,b,c可得椭圆的方程(2)设|PF1|m,|PF2|n,可得m+n6,m2+n22mncos30,联立解得mn,即可得出F1PF2的面积mnsin30【解答】解:(1)由题意可得:,b,a2b2+c2联立解得:a3,b,c椭圆的方程为:+1(2)设|PF1|m,|PF2|n,则m+n6,m2+n22mncos30,12(m+n)22mnmn,解得mn24(2)F1PF2的面积mnsin306(2)【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形磨煤机计算公式,考查了

    19、推理能力与计算能力,属于中档题18(12分)设函数f(x)2x3+3ax2+3bx+c在x1及x2时取得极值(1)求a,b的值;(2)若f(x)在1,2上的最大值是9,求f(x)在1,2上的最小值【分析】(1)求出函数的导数,利用函数的极值,列出方程组求解a,b即可(2)利用函数的导数,判断函数的单调性求出函数的最大值,推出c,然后求解函数的最小值即可【解答】解:(1)函数f(x)2x3+3ax2+3bx+c,可得f(x)6x2+6ax+3b因为函数f(x)在x1及x2时取得极值,则有f(1)0,f(2)0即解得a3,b4(2)由(1)可知,f(x)2x39x2+12x+c,f(x)6x218

    20、x+126(x1)(x2)当x1,1时,f(x)0;当x(1,2时,f(x)0f(x)在1,2上的最大值是f(1)5+c9,c4此时f(1)19,f(2)8,所以最小值在x1时取得,为19【点评】本题考查函数的极值的求法函数的单调性以及函数的最值的求法,考查计算能力19(12分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC90,SA面ABCD,SAABBC1,AD(1)求证:面SAB面SBC;(2)求面SAD与面SDC所成角的余弦值【分析】(1)由SA面ABCD,知SABC,由ABBC,BC面SAB,由此能够证明面SAB面SBC(2)以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AS为z轴,建立空

    21、间直角坐标系,利用向量法能求出面SAD与面SDC所成角的余弦值【解答】(1)证明:SA面ABCD,BC面ABCD,SABC,ABBC,SAABA,BC面SABBC面SBC面SAB面SBC(2)解:以A为原点,AD为x轴,AB为y轴,AS为z轴,建立空间直角坐标系,SAABBC1,AD,S(0,0,1),D(,0,0),C(1,1,0),(1,1,1),设平面SCD的法向量,则,取x2,得(2,1,1),又面SAD的法向量(0,1,0),cos,面SAD与面SDC所成角的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用20(12分)如图,在

    22、直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为A1C1,BC的中点,ABBC2,C1FAB(1)求证:C1F平面ABE;(2)若直线C1F和平面ACE所成角的正弦值等于,求三棱柱ABCA1B1C1的体积【分析】(1)取AB的中点D,连接DE,DF,通过证明四边形DFC1E为平行四边形得到DEC1F,故而可得C1F平面ABE;(2)取AC的中点H,AH的中点M,由C1FAB可知ABBC,证明DM平面ACC1A1得出sinDEM,从而可求出棱柱的高,再代入体积公式计算棱柱的体积【解答】(1)证明:取AB的中点D,连接DE,DF,D,F分别是AB,BC的中点,DFAC,DFAC,E是A1C1的中点,A1

    23、C1AC,A1C1AC,EC1AC,EC1AC,DFEC1,DFEC1,四边形DFC1E为平行四边形,故DEC1F,又DE平面ABE,C1F平面ABE,C1F平面ABE(2)解:取AC的中点H,AH的中点M,连接DM,DH,BH,A1EAH,A1EAH,四边形AA1EH为平行四边形,EHAA1,又AA1平面ABC,EH平面ABC,EHAB,C1FAB,C1FDE,ABDE,又DEEHE,AB平面DEH,ABDH又DHBC,故ABBCBHAC,ABBC,H是AC的中点,BHAC,又EH平面ABC,EHBH,又ACEHH,BH平面ACC1A1,D,M分别是AB,AH的中位线,DMBH,DM平面AC

    24、C1A1,由C1FDE可知直线C1F和平面ACE所成角等于直线DE和平面ACE所成角,即sinDEM,tanDEM,DMBH,EM,又MHAC,EH2,即三棱柱ABCA1B1C1的高为2三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCEH4,【点评】本题考查了线面平行的判定,线面垂直的判定,线面角的计算与棱柱的体积,属于中档题21(12分)已知函数f(x)lnxax22x(I)若函数f(x)在x,2内单调递减,求实数a的取值范围;(II)当a时,关于x的方程f(x)x+b在1,4上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围【分析】()求出函数的导数,问题转化为2,根据函数的单调性求出a的范围即可;()

    25、可变形为,令,根据函数的单调性求出g(x)的极值和端点值,得到关于b的不等式组,解出即可【解答】解:()f(x)2ax2                       (1分)由题意f'(x)0在x,2时恒成立,即2在x,2时恒成立,即,(4分)当x时,取最大值8,实数a的取值范围是a4(6分)()当a时,可变形为令,则(8分)列表如下:x1(1,2)2(2,4)4g'(x)0+g(x)极小值2ln2b2g(x)极小值g(2)ln2b2,(10分)又g(4)2ln2b2,

    26、方程g(x)0在1,4上恰有两个不相等的实数根,(11分)得(12分)【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题22(12分)已知动点P到定直线l:x4的距离比到定点F(2,0)的距离大2(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)在x轴正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与曲线C交于A,B两点,使得为定值如果存在,求出点M坐标;如果不存在,请说明理由【分析】(1)点P的坐标为(x,y),由动点P到定直线l:x4的距离比到定点F(2,0)的距离大2,列出方程,由此能求出轨迹C的方程(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m0),直线l:xty

    27、+m,联立,得:y28ty8m0,由此利用韦达定理、弦长公式、抛物线性质,结合已知条件能求出结果【解答】解:(1)设点P的坐标为(x,y),动点P到定直线l:x4的距离比到定点F(2,0)的距离大2,x4且,化简得y28x,轨迹C的方程为y28x(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m0),直线l:xty+m,联立,得:y28ty8m0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y28t,y1y28m,据题意,为定值,则,于是m+4t24m2+4m2t2,则有解得m4,故当m4时,为定值,故M(4,0)【点评】本题考查点的轨迹方程的求法,考查满足条件的点的坐标的求法,考查抛物线、根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题


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