1、2017-2018学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：1（5分）抛物线y2x2的准线方程为（）ABCD2（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则x的值为（）A7B8C6D93（5分）设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）在集合（x，y）|0x5，0y4内任取一个元素，能使不等式+10成立的概率为（）ABCD5（5分）如表是某厂14月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与
2、月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是0.7x+，则（）A10.5B5.15C5.25D5.26（5分）从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，327（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（）A3B10C0D28（5分）已知a0，b0，a+b2，则的最小值是（）AB4CD59（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1B
3、D所成的角的正弦值为（）ABCD10（5分）若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则此椭圆离心率的取值范围是（）ABCD11（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，其准线与双曲线x21相交于M，N两点，若MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p（）A2BC3D612（5分）已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题：13（5分）现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 &nbs
4、p; 14（5分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆C上一点，且F1PF2P，则F1PF2的面积为 15（5分）已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|+|BF|5，则线段AB的中点到y轴的距离为 16（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线C的离心率是 三、解答题：本大题共6个小题，共70分解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极
5、轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|18（12分）已知函数f（x）|xa|2（）若a1，求不等式f（x）+|2x3|0的解集；（）若关于x的不等式f（x）|x3|恒成立，求实数a的取值范围19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB1，点E为棱PC的中点ADAB，ABDC，ADDCAP2（1）证明：BEDC；（2）求二面角EABP的大小20（12分）在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（1）求C1，C2的极坐
6、标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|21（12分）已知函数f（x）|x+1|（1）解不等式f（x+8）10f（x）；（2）若|x|1，|y|1，求证：22（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，两个焦点分别为F1，F2，|A1B2|2，四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的两点，若直线AB过点（1，1）且APQBPQ，求直线AB的方程2017-2018学年内蒙古巴彦淖尔
7、市杭锦后旗奋斗中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1（5分）抛物线y2x2的准线方程为（）ABCD【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可【解答】解：抛物线的方程可变为x2y故p，其准线方程为y，故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p1，因看错方程形式马虎导致错误2（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则x的值为（）A7B8C6D9【分析】由茎叶图中的数据，利用中位数的定义求得x的值【解答】解：由茎叶图中的数据
8、知，甲组数据从小到大排列为9，16，（10+x），19，26；则甲组数据的中位数为10+x17，解得x7故选：A【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题3（5分）设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解【解答】解：a，bR，则（ab）a20，ab成立，由ab，则ab0，“（ab）a20，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，bR，则“（ab）a20”是ab的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题4（5分）
9、在集合（x，y）|0x5，0y4内任取一个元素，能使不等式+10成立的概率为（）ABCD【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率【解答】解：集合（x，y）|0x5，0y4对应的平面区域为矩形OABC，约束条件对应的平面区域为直角三角形OAD，由几何概型公式可以求得概率为故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于中档题5（5分）如表是某厂14月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是0.7x+，则（）月份x1234用水量y4.5432.5A10.5B5.15C5.25D5.2【分析】计算样本中心，代入回归方程得出【解答】解：，
10、3.53.50.72.5+，解得5.25故选：C【点评】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题6（5分）从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，32【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的【解答】解：从50枚某型导弹
11、中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为 10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：B【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本7（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（）A3B10C0D2【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到条件k4不满足，判断此时输出的s值，可得答案【解答】解：由程序框图得，程序第一次运行k0+114，执行s2111；第二次运行k1+124，执行s2120；第三次运行k2+134，执行s2033；第四次运行k3+14，不满足条件k4，程序
12、运行终止，输出s3故选：A【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法流程分别计算运行的结果是解答此类问题的常用方法8（5分）已知a0，b0，a+b2，则的最小值是（）AB4CD5【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值【解答】解：a+b2，1（）（）+2（当且仅当b2a时等号成立）故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值注意把握好一定，二正，三相等的原则9（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（）ABCD【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，
13、建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面B1BD所成角的正弦值【解答】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）（2，2，0），（0，0，2），（2，0，1）设平面B1BD的法向量为（x，y，z），令y1，则（1，1，0）cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin |cosn，|故选：B【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用10（5分）若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1
14、，则此椭圆离心率的取值范围是（）ABCD【分析】设P点的横坐标为x，根据|PF1|2|PF2|所以P在椭圆上确定x的范围，进而利用焦半径求得2a2exa+ex，求得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围【解答】解：设P点的横坐标为x|PF1|2|PF2|所以P在椭圆上（xa）由焦半径公式有2a2exa+ex得到3exa，xa因为xa，即 aaee的范围为故选：D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质考查了椭圆的第二定义的灵活运用11（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，其准线与双曲线x21相交于M，N两点，若MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p（）A2BC3D6【分析】利
15、用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N利用三角形是直角三角形，转化求解即可【解答】解：由题设知抛物线y22px的准线为x，代入双曲线方程x21解得 y，由双曲线的对称性知MNF为等腰直角三角形，FMN，tanFMN1，p23+，即p2，故选：A【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力12（5分）已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】由题意可知：可设A（c，），C（x，y），由，可得2，根据向量的坐标运算求得x2c
16、，y，代入椭圆方程，根据离心率公式即可求得椭圆的离心率【解答】解：椭圆1（ab0）焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），由xc，代入椭圆方程可得y，可设A（c，），C（x，y），由，可得2，即有（2c，）2（xc，y），即2c2x2c，2y，可得：x2c，y，代入椭圆方程可得：，由b2a2c2，根据离心率公式可知：e，整理得：16e2+1e24，解得e，由0e1，则e，故选：A【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题二、填空题：13（5分）现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字将这三张卡片随机排
17、序，则能组成“中国梦”的概率是【分析】将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n6，能组成“中国梦”包含的基本事件个数m1，由此能求出能组成“中国梦”的概率【解答】解：现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字将这三张卡片随机排序，基本事件总数为：n6，能组成“中国梦”包含的基本事件个数m1，能组成“中国梦”的概率p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用14（5分）已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆C上一点，且F1PF2P，则F1PF2的面积为9【分析】设出p点的坐标（x1，y1），根据PF1PF2，求出y1
18、，再根据 S2c|y1|求面积【解答】解：椭圆的左、右焦点分别为F1（4，0）、F2（4，0），设P（x1，y1），由已知PF1PF2，所以0，即 （4x1，y1）（4x1，y1）0，x12+y1216，又因为，解得y1，所以，PF1F2的面积S2c|y1|9故答案为：9【点评】本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，用到数形结合思想，这是高中数学的一种重要思想15（5分）已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|+|BF|5，则线段AB的中点到y轴的距离为【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的
19、距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，即可得到线段AB的中点到y轴的距离【解答】解：由于F是抛物线y2x的焦点，则F（，0），准线方程x，设A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|x1+x2+5，解得x1+x2，线段AB的中点横坐标为：线段AB的中点到y轴的距离为：故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题16（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线C的离心率是1+【分析】设F2（c，0），由题意可得M的横坐标为c，由三角形的面积公式可得M的纵坐标，
20、代入双曲线的方程，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得e【解答】解：设F2（c，0），OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，可得M的横坐标为c，则OMF2为c|yM|，可得yMc，将M的坐标（c，c）代入双曲线的方程可得，1，由b2c2a2，e，可得e24，化为e48e2+40，解得e242，由e1，可得e1+故答案为：1+【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的面积公式和点满足方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共70分解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以
21、原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|【分析】（1）直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，在求出直线的倾斜角（2）利用定点把直线的直角坐标式转化为参数式，进一步建立一元二次方程根与系数的关系，最后求出结果【解答】解：（1）由消去参数，得即C的普通方程为由，得sincos将代入得yx+2所以直线l的斜率角为（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数分
22、别为t1，t2则，所以t10，t20所以【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用18（12分）已知函数f（x）|xa|2（）若a1，求不等式f（x）+|2x3|0的解集；（）若关于x的不等式f（x）|x3|恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（）可得|xa|2|x3|，设f（x）|xa|x3|，求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：（）函数f（x）|xa|2若a1，不等式f（x）+|2x3|0，化为：|x1|+|2x3|2当x时，3x6解得x2，当x（
23、1，）时，可得x+22，不等式无解；当x1时，不等式化为：43x2，解得x，不等式的解集为：（，）（2，+）；（）关于x的不等式f（x）|x3|恒成立，可得|xa|2|x3|，设f（x）|xa|x3|，因为|xa|x3|a3|，所以f（x）max|a3|，即：|a3|2，所以a的取值范围为（1，5）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB1，点E为棱PC的中点ADAB，ABDC，ADDCAP2（1）证明：BEDC；（2）求二面角EABP的大小【分析】（1）取PD中点F，连接AF，EF，推导出四
24、边形ABEF是平行四边形，从而BEAF，进而 PACD，再由ABAD，得ADCD，由此能证明CD面PAD，从而CDBE（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，求出面EAB的法向量，面PBC的一个法向量，由此能求出二面角EABP的大小【解答】证明：（1）取PD中点F，连接AF，EF，E，F分别是PC，PD的中点，EFCD，EFCD，ABCD，ABCD，EFAB，EFAB，四边形ABEF是平行四边形，BEAF，PA面ABCD，PACD，ABAD，ABCD，ADCD，PAADA，CD面PAD，CDAF，CDBE（4分）解：（2）以点A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则A（0，
25、0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），（6分）（1，1，2），（1，0，0），设面EAB的法向量为（x，y，z），由，令（0，1，1），（9分）面PBC的一个法向量（0，1，0），设二面角EABP的大小为，则cos|cos|，二面角EABP的大小（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题20（12分）在直角坐标系xOy中，曲线，曲线C2的参数方程为：，（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（
26、1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1的异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|【分析】（1）将代入曲线C1方程可得曲线C1的极坐标方程曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为1，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得2可得|AB|12|【解答】解：（1）将代入曲线C1方程：（x1）2+y21，可得曲线C1的极坐标方程为2cos，曲线C2的普通方程为，将代入，得到C2的极坐标方程为2（1+sin2）2（2）射线的极坐标方程为，与曲线C1的交点的极径为，射线与曲线C2的交点的极径满足，解得所以【点评】本题考查了极坐标方程与
27、普通方程的互化及其应用、曲线的交点、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）|x+1|（1）解不等式f（x+8）10f（x）；（2）若|x|1，|y|1，求证：【分析】（1）原不等式即为|x+9|10|x+1|通过当x9时，当9x1时，当x1时，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集（2）利用分析法：要证，只需证明：，然后通过平方，作差比较证明即可【解答】解：（1）原不等式即为|x+9|10|x+1|当x9时，则x910+x+1，解得x10；当9x1时，则x+910+x+1，此时不成立；当x1时，则x+910x1，解得x0所以原不等式的解集为x
28、|x10或x0证明：（2）要证，即，只需证明：，则有，因为|x|21，|y|21，则，所以，原不等式得证【点评】本题考查不等式的证明，分析法以及作差法的应用，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，两个焦点分别为F1，F2，|A1B2|2，四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的两点，若直线AB过点（1，1）且APQBPQ，求直线AB的方程【分析】（）由|A1B
29、2|2，可得a2+b228，由四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍可得a2c，结合a2b2c2，即可得a、b即可（）当APQBPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，将PA、PB的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，由点A，B，（1，1）三点共线，可得，再由，即可得直线AB的方程【解答】解：（）由|A1B2|2，可得a2+b228，由四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍可得a2c，又a2b2c2，联立解得a216，b212，c2椭圆C的方程为（）由（）易求得P（2，3），Q（2，3），因为APQBPQ，所以直线PA，PB的倾斜角互补，从而直线PA、PB的斜率之和为0，（7分）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的方程为y3k（x2）代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8（32k）kx+4（32k）2480，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+2，x12，同理x2+2，x22，点A，B，（1，1）三点共线，直线AB的方程为y+1，即x2y30【点评】本题考查椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理求解，考查基本的运算能力，属于中档题
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