2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市高二（上）期中数学试卷（文科）含详细解答

1、2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）如果实数a，b满足ab0，那么（）Aab0BacbcCDa2b22（5分）ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a3，b4，C60，则c的值等于（）A5B13CD3（5分）历届现代奥运会召开时间表如下：年份1896年1900年1904年2008年届数123n则n的值为（）A27B28C29D304（5分）Sn是等差数列an的前n项和，如果S10120，那么a1+a10的值是（）A12B36C24D485（5分

2、）不等式x+2y10表示的平面区域在直线x+2y10的（）A左上方B右上方C左下方D右下方6（5分）在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a2+b2c20，那么ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形7（5分）在ABC中，A30，则ABC的面积等于（）ABCD8（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a8，B60，C75，则b等于（）A4B4C4D9（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z2x+4y的最大值为（）A24B20C16D1210（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a1（）A4B6C8D1011（5

3、分）在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（）A（4，1）B（1，4）C（，4）（1，+）D（，1）（4，+）12（5分）各项均为正数的数列an中，Sn为前n项和，nan+12（n+1）an2+anan+1，且a3，则tanS4（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13（5分）在各项均为正数的等比数列an中，已知a11，a2+a36，则数列an的通项公式为 14（5分）已知数列an的前n项和Snn2+1（nN*），则它的通项公式是 15（5分）用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是 平方米16（5分）函数yloga（x+3

4、）1（a0，且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+10上（其中m，n0），则的最小值等于 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知函数f（x）x2+ax+6（）当a5时，解不等式f（x）0；（）若不等式f（x）0的解集为R，求实数a的取值范围18（12分）已知数列an是等差数列，an+1an，a1a10160，a3+a837（1）求数列an的通项公式；（2）若从数列an中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列bn，求Snb1+b2+bn19（12分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为n

5、mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为n mile货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120，求：（）A处与D处之间的距离；（）灯塔C与D处之间的距离20（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）（）将y表示为x的函数：（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用21（12分）（1）下面图形由单位正方

6、形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式bn（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an（n1，2，3，），设，求数列cn的前n项和Sn22（12分）已知f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x），xR（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A），a3，求ABC面积的最大值2018-2019学年内

7、蒙古鄂尔多斯市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）如果实数a，b满足ab0，那么（）Aab0BacbcCDa2b2【分析】根据ab0，给a，b，c赋予特殊值，即a2，b1，c0，代入即可判定选项真假【解答】解：ab0，给a，b，c赋予特殊值，即a2，b1，c0选项A、B、D都不正确故选：C【点评】本题主要考查了不等关系与不等式，以及赋值法运用，属于基础题2（5分）ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a3，b4，C60，则c的值等于（）A5B13CD【分析】利用余

8、弦定理列出关系式，把a，b，cosC的值代入求出c的值即可【解答】解：ABC中，a3，b4，C60，由余弦定理得：c2a2+b22abcosC9+161213，则c故选：C【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键3（5分）历届现代奥运会召开时间表如下：年份1896年1900年1904年2008年届数123n则n的值为（）A27B28C29D30【分析】观察数据发现，1896和2008可分别看着是公差为4的数列的首项与第n项【解答】解：由，代入数据为：，解得n29，故选：C【点评】本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目要明确是按照什么规律变化的4（5分

9、）Sn是等差数列an的前n项和，如果S10120，那么a1+a10的值是（）A12B36C24D48【分析】等差数列an中，由S10120，知（a1+a10）120，由此能求出a1+a10【解答】解：等差数列an中，S10120，（a1+a10）120，a1+a1024故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化5（5分）不等式x+2y10表示的平面区域在直线x+2y10的（）A左上方B右上方C左下方D右下方【分析】取坐标原点，可知原点在直线x+2y10的左下方，（0，0）代入，使得x+2y10，故可得结论【解答】解：取坐标原点

10、，可知原点在直线x+2y10的左下方（0，0）代入，使得x+2y10不等式x+2y10表示的平面区域在直线x+2y10的右上方故选：B【点评】本题考查二元一次不等式表示的平面区域，通常以直线定界，特殊点定区域，属于基础题6（5分）在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a2+b2c20，那么ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形【分析】由于 a2+b2c20，ABC中，由余弦定理可得 cosC0，故角C为钝角，从而得出结论【解答】解：由于a2+b2c20，ABC中，由余弦定理可得cosC0，故角C为钝角，故ABC为钝角三角形，故选：D【点评】本题考查余弦定理的

11、应用，得到cosC0，是解题的关键7（5分）在ABC中，A30，则ABC的面积等于（）ABCD【分析】利用三角形的面积公式S，即可求得结论【解答】解：，A30，ABC的面积为S故选：B【点评】本题考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题8（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a8，B60，C75，则b等于（）A4B4C4D【分析】先根据三角形内角和求得A，进而利用正弦定理以及a，sinA和sinB求得b【解答】解：A180607545由正弦定理可知，b4故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用属基础题9（5分）已知实数x、y满足约束条件，则z2x+4y的最

12、大值为（）A24B20C16D12【分析】画可行域z为目标函数纵截距四倍画直线02x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z2x+4y，可看成是直线z2x+4y的纵截距四倍，画直线02x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选：B【点评】本题考查线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解10（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a1（）A4B6C8D10【分析】a1，a3，a4成等比数列，等差数列an的公差为2，可建立方程（a1+4）2a

13、1（a1+6），从而可解【解答】解：由题意，a1，a3，a4成等比数列 （a1+4）2a1（a1+6）a18故选：C【点评】本题以等差数列、等比数列为载体，综合考查等差数列与等比数列，属于基础题11（5分）在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（）A（4，1）B（1，4）C（，4）（1，+）D（，1）（4，+）【分析】根据定义运算，把化简得x2+3x4，求出其解集即可【解答】解：因为，所以，化简得；x2+3x4即x2+3x40即（x1）（x+4）0，解得：4x1，故选：A【点评】考查二阶矩阵，以及一元二次不等式，考查运算的能力12（5分）各项均为正数的数列an中，Sn为前n项和，nan+12

14、（n+1）an2+anan+1，且a3，则tanS4（）ABCD【分析】nan+12（n+1）an2+anan+1，化为：nan+1（n+1）an（an+1+an）0，由数列an中各项均为正数，可得，进而得出结论【解答】解：nan+12（n+1）an2+anan+1，化为：nan+1（n+1）an（an+1+an）0，数列an中各项均为正数，nan+1（n+1）an0，解得an，S4（1+2+3+4）tanS4tantan故选：B【点评】本题考查了方程的解法、数列通项公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

15、13（5分）在各项均为正数的等比数列an中，已知a11，a2+a36，则数列an的通项公式为an2n1【分析】先设等比数列的公比为q；根据a11，a2+a36求出公比即可求出数列an的通项公式（注意题中的限制条件“各项均为正数”）【解答】解：设等比数列的公比为q则由a11，a2+a36，得：a1（q+q2）6q2+q60解得q2或q3又因为数列各项均为正数q2ana1qn12n1故答案为：an2n1【点评】本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解14（5分）已知数列an的前n项和Snn2+1（nN*），则它的通项

16、公式是【分析】先求出sn1，由ansnsn1得到数列的通项公式即可【解答】解：由题意知：当n1时，a1s12，当n2时，Snn2+1sn1（n1）2+1，所以利用得：ansnsn12n1故答案为：【点评】考查学生利用做差法求数列通项公式的能力做题时要注意讨论n的值15（5分）用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是25平方米【分析】设矩形的两条邻边长分别为x米，y米，由矩形的周长得x+y10，然后利用基本不等式可计算出矩形的面积的最大值【解答】解：设矩形的两条邻边长分别为x米，y米，则有2（x+y）20，所以，x+y10，由基本不等式可知，围成的矩形的面积为平方米，当且仅

17、当，即当xy5时，等号成立，故答案为：25【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行配凑是解本题的关键，属于中等题16（5分）函数yloga（x+3）1（a0，且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+10上（其中m，n0），则的最小值等于8【分析】由题意可得定点A（2，1），2m+n1，把要求的式子化为 4+，利用基本不等式求得结果【解答】解：由题意可得定点A（2，1），又点A在直线mx+ny+10上，2m+n1，则+4+4+28，当且仅当 时，等号成立，故答案为：8【点评】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4+，是解题的关键三、解答题：本大题共

18、6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知函数f（x）x2+ax+6（）当a5时，解不等式f（x）0；（）若不等式f（x）0的解集为R，求实数a的取值范围【分析】（）a5时，不等式f（x）0化为x2+5x+60，求解集即可；（）利用判别式0，求出a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）x2+ax+6，a5时，不等式f（x）0化为x2+5x+60，即（x+3）（x+2）0，解得3x2，不等式的解集为x|3x2；（）不等式f（x）0为x2+ax+60，其解集为R，则有a2460，解得2a2，实数a的取值范围是（2，2）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问

19、题，是基础题18（12分）已知数列an是等差数列，an+1an，a1a10160，a3+a837（1）求数列an的通项公式；（2）若从数列an中依次取出第2项，第4项，第8项，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列bn，求Snb1+b2+bn【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由an+1an，a1a10160，a3+a837利用等差数列的通项公式即可得出（2）bn32n+2再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，an+1an，a1a10160，a3+a837，化为37a1+1600，解得a132，或5（舍去），an5+3（n1）3n+2（2）bn32n

20、+2Snb1+b2+bn3（21+22+2n）+2n+2n32n+16+2n【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为n mile货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120，求：（）A处与D处之间的距离；（）灯塔C与D处之间的距离【分析】（）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长（）在ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得【解答】解：（）在ABD中，由已知得ADB60，B45由正弦定理得（）在ADC中，由余弦定理得

21、CD2AD2+AC22ADACcos30，解得CD所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用解题的关键是根据题意建立适当的三角函数模型，利用正弦定理，余弦定理等常用公式来求解20（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）（）将y表示为x的函数：（）试确定x，使修建此矩形场

22、地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得 ，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值【解答】解：（）设矩形的另一边长为am，则y45x+180（x2）+1802a225x+360a360由已知ax360，得 ，所以 （II）因为x0，所以 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立即当x24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元

23、【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一21（12分）（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式bn（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为an（n1

24、，2，3，），设，求数列cn的前n项和Sn【分析】（1）由前三个图形小正方形的排列规律，不难得出第四个图形有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以bn构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到bn的通项公式；（3）根据（1）和（2）的结论，易得，发现cn是一个等差数列和等数列的对应项相乘而得的一个新数列，接下来可用错位相减法，来求它的前n项和Sn【解答】解：（1）在第一个图形中，只有一层，一个小正方形；在第二个图形中，有两层，从上至下分别为1个、2个小正方形；在第三个图形中，有三层，

25、从上至下分别为1个、2个、3个小正方形；由此归纳：第四个图形中，有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形因此答案如右图所示：（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，所以bn构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到bn的通项公式，由等比数列的通项公式，可得着色三角形的个数的通项公式为：（3）由题意，可得an1+2+3+4+n，所以 所以 得 所以2Sn即，其中nN+【点评】本题以数列的通项与求和为载体，着重考查了归纳推理的一般方法，考查了学生的读图能力，属于中档题22（12分）已知f（x）cos2x+2sin（+x）si

26、n（x），xR（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A），a3，求ABC面积的最大值【分析】（1）利用诱导公式倍角公式与和差公式可得：f（x）2sin，再利用正弦函数的单调性即可得出（2）f（A），可得sin，解得A再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x）cos2x2cosxsinxcos2xsin2x2sin，由+2k2x+2k，解得k+x+k，因此函数f（x）的单调递增区间为：k+，+k，kZ（2）f（A），可得sin，解得A由余弦定理可得：2bcbcbc，可得bc9，当且仅当bc3时取等号SABCsinA当且仅当abc3时，ABC面积取得最大值【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式倍角公式与和差公式、余弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题