1、22.4点到直线的距离学习目标1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法知识点一点到直线的距离1定义：点到直线的垂线段的长度2图示：3公式：d.知识点二两条平行直线间的距离1定义：夹在两平行线间的公垂线段的长2图示：3求法：转化为点到直线的距离4公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d .(A，B不全为0，C1C2)1点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()2直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离()3两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直
2、线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()题型一点到直线的距离例1(1)求点P(2，3)到下列直线的距离yx；3y4；x3.解yx可化为4x3y10，点P(2，3)到该直线的距离为.3y4可化为3y40，由点到直线的距离公式，得.x3可化为x30，由点到直线的距离公式，得1.(2)求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程解方法一当过点M(1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，恰好与A(2,3)，B(4,5)两点的距离相等，故x1满足题意当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由点A(2,3)
3、与点B(4,5)到直线l的距离相等，得，解得k，此时l的方程为y2(x1)，即x3y50.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.方法二由题意，得lAB或l过AB的中点，当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则klkAB，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.反思感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用直线方程AxByC0，当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直
4、线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意跟踪训练1(1)点P(1,2)到直线2xy100的距离为_考点题点答案2(2)点P(1,2)到直线3x2的距离为_考点题点答案(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则实数m的值为_考点题点答案6或解析由，得|3m5|m7|，m6或m.题型二两平行线间的距离例2(1)已知两平行直线l1：3x5y10和l2：6x10y50，则l1与l2间的距离为_考点题点答案解析l2：6x10y50可以化为3x5y0，l1与l2间的距离d.(2)两直线3xy30和6xmy
5、10平行，则它们之间的距离为_考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程答案解析由题意，得，m2，将直线3xy30化为6x2y60，由两平行线间的距离公式，得.(3)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程为_考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程答案2xy10解析设直线l的方程为2xyC0，由题意，得，解得C1，直线l的方程为2xy10.反思感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：A
6、xByC20，且C1C2时，d .但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等跟踪训练2(1)直线2x7y80和2x7y60的距离为()A. B. C. D.考点题点答案A(2)已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是()A1 B2 C. D4考点题点答案B解析由两条直线平行可得，解得m8.由两条平行线间的距离公式得d2.(3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_考点题点答案x2y30解析当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大因为A(1,1)，B(0，1)所以kA
7、B2，所以两条平行直线的斜率为，所以直线l1的方程为y1(x1)，即x2y30.题型三与距离公式有关的最值命题角度1有关点到直线的距离的最值例3已知实数x，y满足6x8y10，则的最小值为_答案解析，上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离，S|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|mind.反思感悟解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决跟踪训练3(1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；(2)求过点P(1,2)且与原点
8、距离最大的直线方程解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1，OP所在的直线方程为yx.由解得点P的坐标为(2,2)(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，kOP2，所求直线方程为y2(x1)，即x2y50.命题角度2有关两平行线间距离的最值例4两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(3，1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的取值范围；(2)求d取最大值时，两条直线的方程解(1)设经过点A和点B的直线分别为l1，l2，显然当时，l1和l2的距离最大，且最大值为|AB|3，d的取值范围为
9、(0,3(2)由(1)知，dmax3，因为过点A，B直线的斜率为，所以d取最大值时两平行线的斜率k3，两直线的方程分别为3xy200或3xy100.反思感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值跟踪训练4已知P，Q分别是直线3x4y50与6x8y50上的动点，则|PQ|的最小值为()A3 B.C. D.答案D解析两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x4y50可化为6x8y100，则|PQ|.1已知原点O(0,0)，则点O到直线xy20的距离等于()A1 B2 C. D.考点题点答案C解析d.2已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，
10、则a的值为()A1 B1 C. D答案D解析由题意知，1，即|a|，a.3直线x2y10与直线x2yC0的距离为2，则C的值为()A9 B11或9C11 D9或11答案B解析两平行线间的距离为d2，解得C9或11.4两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d，则ad_.答案10解析由两直线平行知，a8，d2，ad10.5直线3x4y270上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_答案(5，3)解析由题意知过点P作直线3x4y270的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，直线MP的方程为y1(x2)，解方程组得所求点的坐标为(5，3)1点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直接求之2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰3已知两平行直线，其距离可利用公式d求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.
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