1、2017-2018学年内蒙古包头市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知an为等差数列，a2+a812，则a5等于（）A4B5C6D72（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线C1B与D1C所成角为（）A30B45C60D903（5分）若x2，则的最小值为（）A4B5C6D74（5分）已知数列an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an的前7项和为（）A63B64C127D1285（5分）已知，则z3xy的最大值为（）A9B0CD96（5分）利用斜二测画法得到的：
2、三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上结论，正确的是（）ABCD7（5分）把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，当B、D两点距离为a时，二面角BACD的大小为（）A30B45C60D908（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD9（5分）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是（）ABCD1，+）10（5分）直线x2y+10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax+2y10B2x+y10C2x+y30Dx+2y3011（5分）已知A（3，1），B（5，
3、2），点P在直线x+y0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P的坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（，）D（2，2）12（5分）正三角形ABC中，点D为BC的中点，把ABD沿AD折起，点B的对应点为B'，当三棱锥B'ADC体积的最大值为时，三棱锥B'ADC的外接球的体积为（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知直线l1：ax+2y+10与直线l2：（3a）xy+a0，若l1l2，则实数a的值为 14（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c150，B30，则边长a 或 &nbs
4、p; 15（5分）已知为锐角，且，则cos 16（5分）给出下列命题：如果a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面；如果直线a和平面满足a，那么直线a与平面内的任何直线平行；如果直线a，b和平面满足a，b，那么ab；如果直线a，b和平面满足ab，a，b，那么b；如果平面，满足，那么其中正确命题的序号是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）求满足下列条件的直线的方程：（1）直线l经过点A（2，3），并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求直线l的方程；（2）直线l过点P（2，4），并且在x轴上的截
5、距是y轴上截距的，求直线l的方程18（12分）若函数在区间上的最小值为2（1）求m的值及f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间19（12分）已知正方形的中心为直线xy+10和2x+y+20的交点，正方形一条边所在直线的方程为x+3y20，求正方形其他三边所在直线的方程20（12分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC3b2c（1）求sinA的值；（2）若，求a的值；（3）若，求ABC面积的最大值21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1，平面AA1C1C平面AA1B1B，CAA1BAA160，点D是AA1的中点（1）求证：BD平面
6、AA1C1C；（2）求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值22（12分）在数列an中，a12，an+1an+2n+1（1）求证：数列an2n为等差数列；（2）若数列bn满足bnlog2（an+1n），求证：2017-2018学年内蒙古包头市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知an为等差数列，a2+a812，则a5等于（）A4B5C6D7【分析】将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a82a5求解【解
7、答】解：解法1：an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a2+a8a1+d+a1+7d2a1+8d12；a1+4d6；a5a1+4d6解法2：a2+a82a5，a2+a812，2a512，a56，故选：C【点评】解法1用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想；解法2应用了等差数列的性质：an为等差数列，当m+np+q（m，n，p，qN+）时，am+anap+aq特例：若m+n2p（m，n，pN+），则am+an2ap2（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线C1B与D1C所成角为（）A30B45C60D90【分析】利用正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质即可得
8、出【解答】解：连接AC，D1A由正方体可得，四边形ABC1D1是平行四边形BC1AD1AD1C或其补角是异面直线C1B与D1C所成角由正方体可得ACCD1D1A，ACD1是等边三角形，AD1C60异面直线C1B与D1C所成的角为60故选：C【点评】熟练掌握正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质是解题的关键3（5分）若x2，则的最小值为（）A4B5C6D7【分析】先进行换元tx2，则t0，可得t+2，然后利用基本不等式即可求解【解答】解：由x2可得x20，令tx2，则t0，则t+26，当且仅当t即t2时取得最小值6，此时x4故选：C【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最
9、值，属于基础试题4（5分）已知数列an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an的前7项和为（）A63B64C127D128【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a11，a516，可得q416解得q2则数列an的前7项和127故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）已知，则z3xy的最大值为（）A9B0CD9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z3x
10、y为y3xz，由图可知，当直线y3xz过点A（3，）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6（5分）利用斜二测画法得到的：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上结论，正确的是（）ABCD【分析】由斜二测画法规则直接判断即可正确；因为平行性不变，故正确；正方形的直观图是平行四边形，错误；因为平行于y轴的线段长减半，平行于x轴的线段长不变，故错误【解答】解：由斜二测画法规则知：正确；平行性不变，故正确；正方形的直观图是平行四边形，错误；因为平行于y轴的线段
11、长减半，平行于x轴的线段长不变，故错误故选：A【点评】本题考查对斜二测画法的理解，属基础知识的考查7（5分）把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，当B、D两点距离为a时，二面角BACD的大小为（）A30B45C60D90【分析】由题意画出图形，求出二面角BACD的平面角，解三角形得答案【解答】解：如图，连接AC，BD交于O，则DOAC，BOAC，BOD为二面角BACD的平面角，正方形ABCD的边长为a，则BODO，在BOD中，由，BDa，可得BO2+OD2BD2，则BOD90二面角BACD的大小为90故选：D【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8（
12、5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD【分析】该几何体是上部为半球，下部是两个圆锥的组合体，求出底面面积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积【解答】解：由题意可知几何体是上部为半球，下部是两个圆锥的组合体，球的半径为1，圆锥的底面半径为1，高为1，所以几何体的表面积为：（3+2）故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9（5分）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），为端点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围是（）ABCD1，+）【分析】结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可【解答】解：如
13、图示：当直线l过B时设直线l的斜率为k1，则k1，当直线l过A时设直线l的斜率为k2，则k21，要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（，1，+），故选：B【点评】本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题10（5分）直线x2y+10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax+2y10B2x+y10C2x+y30Dx+2y30【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x1对称点为（2x，y）在直线x2y+10上，2x2y+10化简得x+2y
14、30故选答案D解法二：根据直线x2y+10关于直线x1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点为（1，1）选答案D故选：D【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法本题还有点斜式、两点式等方法11（5分）已知A（3，1），B（5，2），点P在直线x+y0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P的坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（，）D（2，2）【分析】求出A关于直线l：x+y0的对称点为C，则P为直线BC与直线l的交点时，满足条件，进而得到答案【解答】解：如下图所示：点A（3，1），关于直线l：x+y0的对称点为C（1，3）点，由BC的方程
15、为：，即x4y130，可得直线BC与直线l的交点坐标为：（，），即P点坐标为：（，）时，|PA|+|PB|最小故选：C【点评】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题12（5分）正三角形ABC中，点D为BC的中点，把ABD沿AD折起，点B的对应点为B'，当三棱锥B'ADC体积的最大值为时，三棱锥B'ADC的外接球的体积为（）ABCD【分析】由三棱锥体积最大得到BD面ADC，利用三线两两垂直联想长方体，求解不难【解答】解：当三棱锥BADC体积最大时，B在面ADC上的射影即为D，设ABC边长为2a，则DBDCa，AD，a1，DBDC1，由三线两两垂直联想
16、长方体，可知外接球直径为，体积为，故选：D【点评】此题考查了三棱锥的体积，三棱锥的外接球等，难度适中二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知直线l1：ax+2y+10与直线l2：（3a）xy+a0，若l1l2，则实数a的值为1或2【分析】利用平面中的直线垂直的条件A1A2+B1B20，求出a的值【解答】解：l1：ax+2y+10，l2：（3a）xy+a0，且l1l2，a（3a）+2（1）0，即a23a+20，解得a1，或a2；故答案为：1或2【点评】本题考查了平面中的直线平行与垂直的应用问题，是基础题14（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，c
17、150，B30，则边长a或100【分析】由已知利用余弦定理可得a2150a+150000，解方程即可得解a的值【解答】解：，c150，B30，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得：（50）2a2+（150）22a150，整理可得：a2150a+150000，解得：a100，或50故答案为：100，或50【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题15（5分）已知为锐角，且，则cos【分析】首先利用同角三角函数关系式的恒等变换求出的值，进一步利用角的恒等变换求出结果【解答】解：为锐角，且，则：，所以：，所以：，+，故答案为：【点评】本题考查的知识
18、要点：三角函数关系式的恒等变变换和角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16（5分）给出下列命题：如果a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面；如果直线a和平面满足a，那么直线a与平面内的任何直线平行；如果直线a，b和平面满足a，b，那么ab；如果直线a，b和平面满足ab，a，b，那么b；如果平面，满足，那么其中正确命题的序号是【分析】由线线和线面的位置关系和线面平行的判定和性质，即可判断；运用面面平行的传递性即可判断【解答】解：如果a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面，不正确，可能a，b在一个平面内；如果直线a和平面满足a，那么直线a与
19、平面内的任何直线平行，不正确，可能a与平面内的直线异面；如果直线a，b和平面满足a，b，那么ab，不正确，a，b可能相交或异面；如果直线a，b和平面满足ab，a，b，过a与相交的平面与交于直线c，可得ac，即有bc，那么b，正确；如果平面，满足，由面面平行的传递性可得，故正确故答案为：【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用线线平行、线面平行和面面平行的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）求满足下列条件的直线的方程：（1）直线l经过点A（2，3），并且它的倾斜角等于
20、直线的倾斜角的2倍，求直线l的方程；（2）直线l过点P（2，4），并且在x轴上的截距是y轴上截距的，求直线l的方程【分析】（1）求出直线的斜率，利用斜率表示倾斜角，再求直线l的斜率，利用点斜式写出直线l的方程，化为一般形式；（2）讨论直线l在两轴上的截距为0和不为0时，求出对应直线的方程【解答】解：（1）设直线的倾斜角为，则，直线l的斜率为；又直线l经过点A（2，3），直线l的方程为：，即3x4y180；（2）若直线l在两轴上的截距均不为0，设直线l在x轴上的截距为a（a0），则直线l在y轴上的截距为2a，可设l：（a0），将点P（2，4）代入，解得a4；直线l：即2x+y80；若直线l在两轴
21、上的截距均为0，由直线l过点P（2，4），直线l的方程是：2x+y80或y2x【点评】本题考查了直线的截距式方程应用问题，也考查了点斜式方程的应用问题，是中档题18（12分）若函数在区间上的最小值为2（1）求m的值及f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间【分析】（1）根据正弦函数的性质求出f（x）的最小值为1+m与已知最小值相等，可解得m1；（2）根据正弦函数的增区间列不等式解得【解答】解：（1），当即时，m1，此时f（x）的最小正周期为（2）由，kZ可得：，kZf（x）的单调递增区间为，kZ【点评】本题考查了正弦函数的单调性，属中档题19（12分）已知正方形的中心为直线xy+1
22、0和2x+y+20的交点，正方形一条边所在直线的方程为x+3y20，求正方形其他三边所在直线的方程【分析】联立，解得正方形的中心为M（1，0）设正方形相邻两边的方程为：x+3y+m0（m2），3xy+n0，由正方形的性质可得：，解得m，n即可得出【解答】解：联立，解得，可得正方形的中心为M（1，0）设正方形相邻两边的方程为：x+3y+m0（m2），3xy+n0，由正方形的性质可得：，解得m4，n0或6正方形其他三边所在直线的方程为：x+3y+40，3xy0，3xy+60【点评】本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系、正方形的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题20（1
23、2分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC3b2c（1）求sinA的值；（2）若，求a的值；（3）若，求ABC面积的最大值【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得3cosAsinC2sinC，由sinC0，可求，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值（2）由已知得，利用正弦定理可求，进而可求a的值（3）由余弦定理，基本不等式可求bc9，进而根据三角形面积公式可求ABC面积的最大值【解答】解：（1）ABC中，3acosC3b2c，由正弦定理得：3sinAcosC3sinB2sinC，3sinAcosC3sin（A+C）2sinC，3cosA
24、sinC2sinC，sinC0，A（0，），（2）由，得，（3）由（1）知，可得：，由余弦定理得：，bc9（当且仅当bc时取“”号）可得：，即ABC面积的最大值为【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题21（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1，平面AA1C1C平面AA1B1B，CAA1BAA160，点D是AA1的中点（1）求证：BD平面AA1C1C；（2）求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值【分析】（1）连接A1B，推导出B
25、DAA1，由此能证明BD平面AA1C1C（2）连接DC1，BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角，由此能求出直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值【解答】证明：（1）连接A1B，ABA1A，BAA160，BAA1为正三角形D是AA1的中点，BDAA1，又平面AA1C1C平面AA1B1B，且平面AA1C1C平面AA1B1BAA1，BD平面AA1B1BBD平面AA1C1C解：（2）连接DC1，（1）中已证BD平面AA1C1C，BC1D为直线BC1与平面AA1C1C所成的角设AB2a，则正三角形BAA1中，A1DC1中，A1Da，A1C12a，DA1C1120RTBDC1中，即直线BC1
26、与平面AA1C1C所成角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题22（12分）在数列an中，a12，an+1an+2n+1（1）求证：数列an2n为等差数列；（2）若数列bn满足bnlog2（an+1n），求证：【分析】（1）由可得：，即可证明结论（2）由（1）知：，可得，利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明【解答】证明：（1），又a12，a120，数列为首项为0，公差为1的等差数列（2）由（1）知：，nN*，【点评】本题考查了等差数列的定义通项公式、对数运算性质、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
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