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    2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学(文)试题含答案(PDF版)

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    2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学(文)试题含答案(PDF版)

    1、 - 1 - 临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考 文科数学试卷 本试卷分第卷和第卷(非选择题)两部分满分 150 分,考试时间 120 分钟 第卷(选择题) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.设i是虚数单位,复数i 12ia为纯虚数,则实数a为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 2设全集为R,集合 2 |90, | 15Ax xBxx ,则 AB R ( ) A( 3,0) B ( 3, 1 C( 3, 1) D( 3,3) 3. 22 cos375sin375 22 的值为( ) A. 3 2 B. 1

    2、2 C. 3 2 D. 1 2 4.已知数列 n a为各项均为正数的等比数列, n S是它的前n项和,若 17 4a a ,且 47 5 2 2 aa,则 5 S= ( ) A. 29 B.30 C. 31 D. 32 5.已知 n a为等差数列, 135 156aaa, 246 147aaa, n a的前n项和为 n S,则使得 n S达到最大 值时n是( ) A.19 B.20 C.39 D.40 6.已知双曲线 22 :10 1 xy Cm mm 的左焦点F在圆 22 26150xyxy上, 则双曲线C的离心 率为( ) A. 9 5 B. 9 4 C. 3 5 5 D. 3 2 7.在

    3、边长为 2 的等边ABC中,D是BC的中点, 点P是线段AD上一动点, 则AP CP的取值范围是 ( ) A 3 , 4 B 3 ,0 4 C1,0 D1,1 - 2 - 8.已知定义在 R 上的奇函数 a xf x x 2 12 )(,则不等式0(sin) 42 (cossin2)( 22 x x xxf在区间 6 5 , 5 2 上是增函数,且在区间 , 0上恰好取得一次最大值 1,则的取值范围是 ( ) A. 5 3 , 0( B.) 2 5 , 2 1 C. 4 3 , 2 1 D. 5 3 , 2 1 12设一元二次方程 2 0(0)axbxca的两个根分别为 1 x, 2 x,则方

    4、程可写成 12 ()()0a xxxx,即 2 1212 ()0axa xx xax x 容易发现: 12 b xx a , 12 c x x a 设一元三次方程 32 0(0)axbxcxda 的三个非零实根分别为 1 x, 2 x, 3 x,以下正确命题的序号是( ) 123 b xxx a ; 122313 c x xx xx x a ; 123 111c xxxd ; 123 d x x x a A B C D 第卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知实数yx,满足约束条件 2 02 03 x yx yx ,则yxz3最小值为 . 14已知数列 n

    5、a 满足递推关系:1 1 n n n a a a , 1 1 2 a ,则 2020 a_ 15已知函数 sincos2f xxx xR,则 f x的最小值为 16. 在ABC中 , 内 角 , ,A B C所 对 的 边 分 别 为,a b c D是AB的 中 点 , 若1CD 且 - 3 - 1 ()sin()(sinsin), 2 abAcbCB则ABC面积的最大值是 . 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 17.(本小题满分 12 分) 设数列 n a满足 Nn a

    6、 aa n n 4 4 , 1 11 (1)求证:数列 2 1 n a 是等差数列; (2)设 2 21 1 n n n a b a ,求数列 n b的前n项和为 n T. 18(本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )2 sin()cos() 23 f xaxx ,且 ( )1 3 f. (1)求a的值及( )f x的最小正周期; (2)若 1 ( ) 3 f ,(0,) 2 ,求 sin2 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD的边长是2的正方形,PAPD,PAPD,F为PB上 的点,且AF 平面PBD. (1)求证:平面PAD平面ABCD; (2)求

    7、直线PB与平面ABCD所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分) - 4 - 已知椭圆 21 2 2 2 2 ,01:FFba b y a x E、为其左右焦点, 21 BB、为其上下顶点,四边形 2211 BFBF的面 积为 2.点P为椭圆E上任意一点,以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O. (1)求椭圆E的长轴 21A A的最小值,并确定此时椭圆E的方程; (2)对于(1)中确定的椭圆E,若给定圆 1 F:31 2 2 yx,则圆P和圆 1 F的公共弦MN的长是否 为定值?如果是,求MN的值;如果不是,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )ln(

    8、). 2 a f xxxxx aR (1) 若曲线( )yf x在xe处切线的斜率为1,求此切线方程; (2) 若( )f x有两个极值点 12 ,x x求a的取值范围,并证明: 1212. x xxx (二)选考题:请考生在第 22、23 题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22 选修 44:坐标系与参数方程 (10 分) 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线M的 极坐标方程为2cos,若极坐系内异于O的三点 1 (, )A , 2 (,) 6 B +, 3123 (,)(,0) 6 C 都 在曲线M上. (1)求证: 123

    9、3; (2)若过B,C两点直线的参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数) , 求四边形OBAC的面积. 23 选修 45:不等式选讲 (10 分) 已知 a,b(0,),ab1,x1,x2(0,) (1)求x1 a x2 b 2 x1x2的最小值; - 5 - (2)求证:(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2. - 6 - 临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学答案临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学答案 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    10、 11 12 B B A C B C B D A C D B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.-5 14. 1 2021 151 16. 15 5 四、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 17. 解: (1) 1 4 , 4 n n a a Q 1 1111 4 222 2 4 nnn n aaa a (2 分) 2 1 42 2 2 1 42 4 n n nn n a a aa a 为常数, (4 分) 又 1 1 1 1,1, 2 a a Q (5 分

    11、) 数列 2 1 n a 是以1为首项 2 1 为公差的等差数列. (6 分) - 7 - (2)由(1)知, 2 1 2 1 11 2 1 n n an , 1 2 1 2 2 n n n an(8 分) 2 2 21 4 41111 21 111 2 2121 2121 212 2121 2 n n n n an n b nannnnnn n (10 分) 123 11111111 1 2335572121 nn Tbbbb nn 11 1 22121 n nn (11 分) 所以,数列 n b的前n项和为 n T. 21 n n (12 分) 18(本小题满分 10 分) 【解析】 (1

    12、)由已知 ( )1 3 f,得 11 21 22 a,解得2a .(3 分) 所以 31 ( )4cos (sincos ) 22 f xxxx 2 2 3sin cos2cosxxx 3sin2cos21xx 2sin(2)1 6 x.(5 分) 所以 ( )2sin(2)1 6 f xx的最小正周期为.(6 分) (2) 1 ( ) 3 f , 11 2sin(2)1,sin(2) 6363 , 因为 (0,) 2 ,所以 5 2(,) 666 ,又 11 sin(2) 632 ,所以 2(0,) 66 .(8 分) 所以 2 2 cos(2) 63 .(10 分) 则 sin2 =sin

    13、(2)sin(2)coscos(2)sin 666666 132 2132 2 32326 .(12 分) 19.【试题解析】 证明: (1)AF 平面PBD,PB平面PBD, PDAF,PAPD PAAFA,PD 平面PAB, AB平面PABPDAB.ABCD是正方形,AB AD , PDAB,ADPDD,AB平面PAD, - 8 - AB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,6 分 (2)取AD中点H,连接PH,BH,PAPD,PHAD, 平面PAD平面ABCD,PH 平面PAD, 平面PAD平面ABCDAD,PH 平面ABCD, BH是PB在平面ABCD内的射影. PBH就是PB与平面A

    14、BCD所成的角, 在等腰Rt PAD中,2AD,H是AD的中点,1PH , 在Rt BAH中,1AH ,2AB, 5BH , 22 6PBPHBH , 16 sin 66 PH PBH PB .12 分 20.解: (1)依题意四边形 2211 BFBF的面积为22,2 bcbc,(2 分) 因 为 长 轴 21A A222222 22 bccba, 当 且 仅 当1 cb时 取 “”, 此 时 2a, (3 分) 故长轴 21A A的最小值为22,椭圆E的方程为. 1 2 2 2 y x (4 分 (2)设点 00, y xP为椭圆E上任意一点,则. 2 11 2 2 0 2 0 2 0 2

    15、 0 x yy x (5 分) 圆P的方程为:022 00 222 0 2 0 2 0 2 0 yyxxyxyxyyxx, (6 分) 圆 1 F的方程为:02231 222 2 xyxyx,(7 分) 两式作差得公共弦方程为:011 00 yyxx,(9 分) 所以弦心距d 2 22 2 1 2 2 1 11 2 1 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 xx x xx x yx x (11 分) 则弦长232 2 dMN,所以圆 1 F和动圆P的公共弦长为定值 2. (12 分) - 9 - 22. (1) 由 1=2cos , 2=2cos 6 , 3=2cos 6

    16、 ,(3 分) 则 231 +=2cos2cos2 3cos3 66 .(证毕)(5 分) (2) 曲线M的普通方程为: 22 20xyx,联立直线BC的参数方程化简得: 2 30tt,解得 1 0t , 2 3t ;即得直角坐标为: 13 , 22 B ,2,0C.(7 分) 则 2=1 , 3 2, 6 ;又得 1 3. 即四边形面积为 1213 113 3 sinsin 26264 OBAC S 为所求. (10 分) 23. 解 (1)因为 a,b(0,),ab1, x1,x2(0,), 所以x1 a x2 b 2 x1x23 3 x1 a x2 b 2 x1x23 3 2 ab3 3

    17、2 ab 2 2 3386,3 分 - 10 - 当且仅当x1 a x2 b 2 x1x2且 ab, 即 ab1 2,且 x1x21 时, x1 a x2 b 2 x1x2有最小值 65 分 (2)证明:法一:由 a,b(0,),ab1, x1,x2(0,),及柯西不等式可得: (ax1bx2)(ax2bx1)( ax1)2( bx2)2 ( ax2)2( bx1)2( ax1 ax2 bx2 bx1)2 (a x1x2b x1x2)2x1x2,8 分 当且仅当 ax1 ax2 bx2 bx1,即 x1x2 时取得等号 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x210 分 法二:因为 a,b(0,),ab1,x1,x2(0,), 所以(ax1bx2)(ax2bx1) a2x1x2abx22abx21b2x1x2 x1x2(a2b2)ab(x22x21) x1x2(a2b2)ab(2x1x2) x1x2(a2b22ab) x1x2(ab)2x1x2, 当且仅当 x1x2时,取得等号 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.


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