1、2019-2020学年辽宁省鞍山市台安县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1下列方程中，属于一元二次方程的是ABCD2下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是A等边三角形B直角三角形C平行四边形D正方形3在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是ABCD4下列说法中，不正确的个数是直径是弦；经过圆内一定点可以作无数条直径；平分弦的直径垂直于弦；过三点可以作一个圆；过圆心且垂直于切线的直线必过切点A1个B2个C3个D4个5若三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为A12B14C12或14D
2、13或156如图，在中，将绕点逆时针旋转至在处，使点落在的延长线上的点处，则ABCD7如图的直径垂直弦于点，的长为A4B8CD8如图，等边边长为2，四边形是平行四边形，和在同一条直线上，且点与点重合，现将沿的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点与点重合时停止，则在这个运动过程中，与四边形的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是ABCD二、填空题（每小题3分，共24分）9写出一个开口向上，且顶点为的抛物线解析式为10在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是 11设、是方程的两个不等实根，则的值是12如图，已知为四边形的外接圆，若，则度数为13如图，在边长为12的正方形中，点在边
3、上，把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点的距离为 14如图，、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为，则的长是15抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线给出下列结论：；方程有两个不相等的实数根；若点在抛物线上，则其中正确的有（只需填写序号即可）16如图所示，在平面直角坐标系中，在轴正半轴上选取点，；以，为边作等边，；顶点，在直线上，且，分别作，的内切圆，若的半径为1，则的半径为（用含正整数的式子表示）三、解答题（每小题8分，共16分）17用适当方法解方程：18如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，（1）将向下平移5个单
4、位后得到，请画出；（2）将绕原点逆时针旋转后得到，请画出；（3）判断以，为顶点的三角形的形状（无须说明理由）四、解答题（每小题10分，共20分）19已知关于的方程（1）若该方程的一个根是，求的值及该方程的另一个根；（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根20为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度2014年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2016年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房若在这两年内每年投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2016年底共建设了多少万平方米的廉租房
5、？五、解答题（每小题10分，共20分）21如图，为的直径，于，是上一动点，连接分别交、于点，（1）当时，求证：；（2）当点在什么位置时，？证明你的结论22如图，已知抛物线经过，两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值及点的坐标六、解答题（每小题10分，共20分）23如图，是的直径，点、在圆上，且四边形是平行四边形，过点作的切线，分别交延长线与延长线于点、，连接（1）求证：是的切线；（2）已知圆的半径为1，求的长24在汛期到来之际，某水泵厂接到生产一批小型抽水泵的紧急任务要求必须在10天内（含10天）完成任务为提高生产效率，工厂加班加
6、点，接到任务的第一天就生产了水泵20台，以后每天生产的水泵都比前一天多2台由于机器损耗等原因，当日生产的水泵数量达到28台后，每多生产一台，当天生产的所有水泵，平均每台成本就增加20元（1）设第天生产水泵台，直接写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围（2）若每台水泵的成本价（日生产量不超过28台时）为1000元，销售价格为每台1400元，设第天的利润为元，试求与之间的函数解析式，并求该厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？七、解答题25如图，是等腰直角三角形，为延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接（1）如图，当时，线段、三者之间的数量关系式是（2）如图，当时，（1）中
7、结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由（3）当点在射线上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段、三者之间的数量关系式八、解答题26如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长连接，求的面积最大时点的坐标（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由2019-2020学年
8、辽宁省鞍山市台安县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1下列方程中，属于一元二次方程的是ABCD【解答】解：、是二元二次方程，故不合题意；、是分式方程，故不合题意；、是一元二次方程，故符合题意；、是一元一次方程，故不合题意故选：2下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是A等边三角形B直角三角形C平行四边形D正方形【解答】解：、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此
9、选项正确故选：3在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是ABCD【解答】解：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，平移后抛物线的解析式为故选：4下列说法中，不正确的个数是直径是弦；经过圆内一定点可以作无数条直径；平分弦的直径垂直于弦；过三点可以作一个圆；过圆心且垂直于切线的直线必过切点A1个B2个C3个D4个【解答】解：直径是特殊的弦所以正确，不符合题意；经过圆心可以作无数条直径所以不正确，符合题意；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦所以不正确，符合题意；过不在同一条直
10、线上的三点可以作一个圆所以不正确，符合题意；过圆心且垂直于切线的直线必过切点所以正确，不符合题意故选：5若三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为A12B14C12或14D13或15【解答】解：，或，当时，、4、7不能组成三角形，当时，、4、5能组成三角形，该三角形的周长为，故选：6如图，在中，将绕点逆时针旋转至在处，使点落在的延长线上的点处，则ABCD【解答】解：由旋转的性质可知，在中，故选：7如图的直径垂直弦于点，的长为A4B8CD【解答】解：，故选：8如图，等边边长为2，四边形是平行四边形，和在同一条直线上，且点与点重合，现将沿的方向以每秒1个单位的速度匀速运动
11、，当点与点重合时停止，则在这个运动过程中，与四边形的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是ABCD【解答】解：当时，如图1，由题意知，是等边三角形，则；当时，如图2，；当时，如图3，根据题意可得，为等边三角形，则；综上，时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，时函数图象是平行于轴的一部分，当时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：二、填空题（每小题3分，共24分）9写出一个开口向上，且顶点为的抛物线解析式为【解答】解：根据顶点坐标为，可设方程为，又开口向上，不妨取，可得方程，故答案为：10在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是【解答】解：点关于原点的对称点的坐标是故答案为：
12、11设、是方程的两个不等实根，则的值是2019【解答】解：、是方程的两个不等实根，故答案为：201912如图，已知为四边形的外接圆，若，则度数为【解答】解：四边形内接于，由圆周角定理得，故答案为：13如图，在边长为12的正方形中，点在边上，把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点的距离为7或17【解答】解：如图1，当点在线段上时，四边形为正方形，；由题意得：；由勾股定理得：，解得：，；如图2，当点在的延长线上时，同理可求：，故答案为7或1714如图，、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为，则的长是4【解答】解：、切相切于点、，同理可知，的周长为，故答案为：415抛
13、物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线给出下列结论：；方程有两个不相等的实数根；若点在抛物线上，则其中正确的有（只需填写序号即可）【解答】解：由图可知，对称轴，函数与轴的交点，；错误；，；正确；由函数的对称性，与轴的一个交点坐标为，另一个交点为，当时，即；错误；函数与轴交点，时，直线与抛物线有两个交点，方程有两个不相等的实数根；正确；当时，该函数取得最大值，此时，点在该抛物线上，则，即；故正确；故答案为16如图所示，在平面直角坐标系中，在轴正半轴上选取点，；以，为边作等边，；顶点，在直线上，且，分别作，的内切圆，若的半径为1，则的半径为（用含正整数的式子表示）【解答
14、】解：是等边三角形，内切圆半径为1，的边长为，同法可证，的半径，的半径为，由此可知的半径为，故答案为三、解答题（每小题8分，共16分）17用适当方法解方程：【解答】解：，；18如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，（1）将向下平移5个单位后得到，请画出；（2）将绕原点逆时针旋转后得到，请画出；（3）判断以，为顶点的三角形的形状（无须说明理由）【解答】解：（1）如图所示，即为所求：（2）如图所示，即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形四、解答题（每小题10分，共20分）19已知关于的方程（1）若该方程的一个根是，求的值及该方程的另一个根；
15、（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【解答】解：（1）将代入方程，得，设另外一个根为，由根与系数的关系可知：，（2）由题意可知：，不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根20为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度2014年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2016年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房若在这两年内每年投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2016年底共建设了多少万平方米的廉租房？【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为，根据题意，得：，解得：（舍去）
16、或答：每年市政府投资的增长率为；（2）依题意，得3年的建筑面积共为：（万平方米），答：到2016年底共建设了38万平方米的廉租房五、解答题（每小题10分，共20分）21如图，为的直径，于，是上一动点，连接分别交、于点，（1）当时，求证：；（2）当点在什么位置时，？证明你的结论【解答】（1）证明：连接，为的直径，又，（2）当弧弧时，证明：弧弧，即，22如图，已知抛物线经过，两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值及点的坐标【解答】解：（1）抛物线经过、将与两点坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式是（2）设直线的解析式为，由点，得：，解
17、得：直线的解析式为，直线向下平移个单位长度后的解析式为：，点在抛物线上，可设，又点在直线上，即，抛物线与直线只有一个公共点，解得：，此时，点的坐标为六、解答题（每小题10分，共20分）23如图，是的直径，点、在圆上，且四边形是平行四边形，过点作的切线，分别交延长线与延长线于点、，连接（1）求证：是的切线；（2）已知圆的半径为1，求的长【解答】（1）证明：连结，如图，四边形是平行四边形，而，四边形是菱形，和都是等边三角形，为切线，在和中，是的切线；（2）解：在中，而，24在汛期到来之际，某水泵厂接到生产一批小型抽水泵的紧急任务要求必须在10天内（含10天）完成任务为提高生产效率，工厂加班加点，接
18、到任务的第一天就生产了水泵20台，以后每天生产的水泵都比前一天多2台由于机器损耗等原因，当日生产的水泵数量达到28台后，每多生产一台，当天生产的所有水泵，平均每台成本就增加20元（1）设第天生产水泵台，直接写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围（2）若每台水泵的成本价（日生产量不超过28台时）为1000元，销售价格为每台1400元，设第天的利润为元，试求与之间的函数解析式，并求该厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）根据题意，得与的解析式为：（2）根据题意，得当时，解得，当时，随的增大而增大，当时，当时，此时图象开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，天数为整数，当
19、时，有最大值，为10800元，当时，最大，且元，答：该厂第5天获得的利润最大，最大利润是11200元七、解答题25如图，是等腰直角三角形，为延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接（1）如图，当时，线段、三者之间的数量关系式是（2）如图，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由（3）当点在射线上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段、三者之间的数量关系式【解答】解：（1）是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转，得到线段，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，且，四边形是正方形，故答案为：；（2）结论仍然成立；如图
20、过点作交的延长线于点，且，；（3）不成立，当点在线段上时，如图，过点作，且，；当点在的延长线上时，如图，过点作，交延长线于点，且，八、解答题26如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长连接，求的面积最大时点的坐标（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线经过点和点，与轴交于点，解得，抛物线解析式为；（2）如图：设，将点、代入得直线解析式为过点作轴的平行线交直线于点，答：用含的代数式表示线段的长为当时，有最大值当时，答：的面积最大时点的坐标为，（3）存在这样的点和点，使得以点、为顶点的四边形是菱形根据题意，点，根据菱形的四条边相等，或当时，答：点的坐标为，
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