1、4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式考情考向分析考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力题型为填空题，低档难度1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限概念方法微思考1使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据
2、角所在象限确定三角函数值的符号2诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k(kZ)和的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan恒成立()(3)sin()sin成立的条件是为锐角()(4)若sin(k)(kZ)，则sin.()题组二教材改编2P18T3若sin，则tan.答案解析，cos，tan.3P22T1已知tan2，则的值为答案3解析原式3.4P22T4化简sin()cos(2)的结果为答案si
3、n2解析原式(sin)cossin2.题组三易错自纠5已知sincos，则sincos的值为答案解析sin cos ，sin cos .又(sin cos )212sin cos ，sin cos .6已知为锐角，cos，则cos().答案解析cossin ，且为锐角，cos ，cos()cos .7已知cos，0，则的值为答案解析0，sin，tan2.则.题型一同角三角函数基本关系式的应用1已知是第四象限角，sin，则tan.答案解析因为是第四象限角，sin，所以cos，故tan.2若tan，则cos22sin2.答案解析tan，则cos22sin2.3若角的终边落在第三象限，则的值为答案3
4、解析由角的终边落在第三象限，得sin0，cos0，故原式123.4已知sincos，(0，)，则tan.答案1解析由消去sin，得2cos22cos10，即(cos1)20，cos.又(0，)，tantan1.思维升华 (1)利用sin2cos21可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角所在象限确定符号；利用tan可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.题型二诱导公式的应用例1(1)已
5、知A(kZ)，则A的值构成的集合是答案2，2解析当k为偶数时，A2；当k为奇数时，A2.A的值构成的集合是2，2(2)化简：.答案1解析原式1.思维升华(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算如cos(5)cos()cos.跟踪训练1(1)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3xy0上，则.答案解析由已知得tan3，.(2)已知f()(sin0,12sin0)，则f.答案解析f()，f.题型三
6、同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例2(1)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin的值是答案解析由已知可得2tan3sin50，tan6sin10，解得tan3，又为锐角，sin2cos21，故sin.(2)已知x0，sin(x)cosx.求sinxcosx的值；求的值解由已知，得sinxcosx，两边平方得sin2x2sinxcosxcos2x，整理得2sinxcosx.(sinxcosx)212sinxcosx，由x0知，sinx0，又sinxcosx0，sinxcosx0，故sinxcosx.引申探究本例(2)中若将条件“x0”改为“0x”，
7、求sinxcosx的值解若0x0，cosx0，故sinxcosx.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形(2)注意角的范围对三角函数符号的影响跟踪训练2(1)(2018南京模拟)已知角的终边在第三象限，tan22，则sin2sin(3)cos(2)cos2.答案解析由tan22可得tan22，即tan2tan0，解得tan或tan.又角的终边在第三象限，故tan，故sin2sin(3)cos(2)cos2sin2sincoscos2.(2)已知sin，则tan().答案或解析sin 0，为第一或第二象限角，tan()ta
8、n .当是第一象限角时，cos ，原式；当是第二象限角时，cos ，原式.综合知，原式或.1已知是第四象限角，tan，则sin.答案解析因为tan ，所以，所以cos sin ，代入sin2cos21，解得sin ，又是第四象限角，所以sin .2已知tan()，且，则sin.答案解析tan()tan ，由解得cos .又因为，所以cos ，所以sincos .3满足等式cos2x13cosx(x0，)的x的值为答案解析由题意可得，2cos2x3cosx20，解得cosx或cosx2(舍去)又x0，故x.4sincostan的值是答案解析原式sincostan().5(2019江苏省扬州中学月
9、考)设函数f(x)满足f(x)f(x)sinx，当0x时，f(x)0，则f.答案解析函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sinx，当0x时，f(x)0，ffsinfsinsinfsinsinsin0.6设tan3，则.答案2解析tan 3，原式2.7(2018如东高级中学阶段测试)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2xy0上，则.答案2解析角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2xy0上，tan2，2.8若，则.答案sincos解析因为|sincos|，又，所以sincos0，所以原式sincos.9已知sinxcosx，x(0，)，则tanx.答案解析
10、由题意可知sin xcos x，x(0，)，则(sin xcos x)2，因为sin2xcos2x1，所以2sin xcos x，即，得tan x或tan x.当tan x时，sin xcos x0，不合题意，舍去，所以tan x.10已知sin，则sinsin2的值为答案解析由诱导公式得sinsin，sin2cos2，则sinsin2.11已知0，若cossin，则的值为答案解析因为cos sin ，所以12sin cos ，即2sin cos .所以(sin cos )212sin cos 1.又00.所以sin cos .由得sin ，cos ，tan 2，所以.12已知kZ，化简：.答
11、案1解析当k2n(nZ)时，原式1；当k2n1(nZ)时，原式1.综上，原式1.13若sin，cos是方程4x22mxm0的两根，则m的值为答案1解析由题意知方程的两根为，sincos，sincos，又(sincos)212sincos，1，解得m1，又4m216m0，m0或m4，m1.14已知A，B为ABC的两个内角，若sin(2A)sin(2B)，cosAcos(B)，则B.答案解析由已知得化简得2cos2A1，即cos A.当cos A时，cos B，又A，B是三角形内角，B；当cos A时，cos B，又A，B是三角形内角，A，B，不合题意，舍去，综上可知B.15已知，且sin()cos.cos()cos()，求，.解由已知可得sin23cos22，sin2，又，sin ，.将代入中得sin ，又，综上，.16已知cossin1.求cos2cos1的取值范围解由已知得cos 1sin .1cos 1，11sin 1，又1sin 1，可得0sin 1，cos2cos 1sin21sin 1sin2sin 2.(*)又0sin 1，当sin 时，(*)式取得最小值，当sin 0或sin 1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是.14
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