1、2.7函数的图象最新考纲1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题1描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象2图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yax (a0且a1)ylogax(a0且a1)(3)伸缩变换yf(x)yf(ax)yf(x)yaf(x)(4)翻折变换yf(x)y|f(x)|
2、.yf(x)yf(|x|)概念方法微思考1函数f(x)的图象关于直线xa对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？提示f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)2若函数yf(x)和yg(x)的图象关于点(a，b)对称，求f(x)，g(x)的关系提示g(x)2bf(2ax)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到()(2)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(4)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的
3、图象关于y轴对称()题组二教材改编2P35例5(3)函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称Bx轴对称C原点对称D直线yx对称答案C解析函数f(x)的定义域为(，0)(0，)且f(x)f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.3P32T2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(填序号)答案解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除.故正确4如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的
4、解集是答案(1,1解析在同一坐标系内作出yf(x)和ylog2(x1)的图象(如图)由图象知不等式的解集是(1,1题组三易错自纠5下列图象是函数y的图象的是()答案C6把函数f(x)lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是_答案yln解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为yln.7(2018太原调研)若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_答案(0，)解析在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图象，如图所示由图象知，当a0时，方程|x|ax只有一个解题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y|lg(x1)|；(2)y2x11；(3)
5、yx2|x|2；(4)y.解(1)首先作出ylgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到ylg(x1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y|lg(x1)|的图象，如图所示(实线部分)(2)将y2x的图象向左平移1个单位，得到y2x1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y2x11的图象，如图所示(3)yx2|x|2其图象如图所示(4)y2，故函数的图象可由y的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图所示思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如yx的函数(2)若函数图象可由
6、某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序题型二函数图象的辨识例1(1)函数y的图象大致是()答案D解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x0，且当x0时，yxlnx，y1lnx，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增由此可知应选D.(2)设函数f(x)2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()Ayf(|x|) By|f(x)|Cyf(|x|) Dyf(|x|)答案C解析题图中是函数y2|x|的图象，即函数yf(|x|)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判
7、断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象跟踪训练1(1)函数f(x)1log2x与g(x)x在同一直角坐标系下的图象大致是()答案B解析因为函数g(x)x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A，D.因为f(x)1log2x的图象是由ylog2x的图象上移1个单位得到的，所以f(x)为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C，故选B.(2)函数y的部分图象大致为()答案D解析令f(x)，则f(x)f(x)，f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B
8、，C.当x1时，y，显然y0且函数单调递减，故D正确题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，单调递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，单调递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，单调递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，单调递增区间是(，0)答案C解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值，得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减(2)设f(x)|lg(x1)|，若0a2(由于a4.命题点2解不等式例3函数f(x)是定义
9、在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0.当x时，ycosx0.结合yf(x)，x0,4上的图象知，当1x时，0.又函数y为偶函数，所以在4,0上，0的解集为，所以0的解集为.命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是答案(0,1解析作出函数yf(x)与yk的图象，如图所示，由图可知k(0,1(2)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是答案解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线
10、g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题跟踪训练2(1)(2018昆明检测)已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A有最小值1，最大值1B有最大值1，无最小值C有最小值1，无最大值D有最大值1，无最小值答案C解析画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)
11、|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x)综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值1，无最大值(2)设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是答案1，)解析如图作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图象，观察图象可知，当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决熟练掌握高中涉及的
12、几种基本初等函数是解决前提一、函数的图象和解析式问题例1(1)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()答案B解析当x时，f(x)tanx，图象不会是直线段，从而排除A，C；当x时，ff1，f2.21，f0，排除D选项又e2，排除C选项故选B.二、函数图象的变换问题例2已知定义在区间0,4上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()答案D解析方法一先作出函数yf(x)的图象关于y轴的对称图象，得到yf(x)的图象；然后将yf(x)的图象向右平
13、移2个单位，得到yf(2x)的图象；再作yf(2x)的图象关于x轴的对称图象，得到yf(2x)的图象故选D.方法二先作出函数yf(x)的图象关于原点的对称图象，得到yf(x)的图象；然后将yf(x)的图象向右平移2个单位，得到yf(2x)的图象故选D.方法三当x0时，yf(20)f(2)4.故选D.三、函数图象的应用例3(1)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是答案(3，)解析在同一坐标系中，作yf(x)与yb的图象当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，所以要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.(
14、2)不等式3sinx0的整数解的个数为答案2解析不等式3sinx0，即3sinx.设f(x)3sin，g(x)x，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)g(x)，所以不等式3sinx0的整数解的个数为2.(3)已知函数f(x)若实数a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是答案(2,2021)解析函数f(x)的图象如图所示，不妨令abc，由正弦曲线的对称性可知ab1，而1c2020，所以2abc2021.1(2018浙江)函数y2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析由y2|x|sin2x知函数的定义域为R，
15、令f(x)2|x|sin2x，则f(x)2|x|sin(2x)2|x|sin2x.f(x)f(x)，f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.令f(x)2|x|sin2x0，解得x(kZ)，当k1时，x，故排除C.故选D.2.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是()答案C解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢故选C
16、.3已知函数f(x)logax(0a1)，则函数yf(|x|1)的图象大致为()答案A解析先作出函数f(x)logax(0a0时，yf(|x|1)f(x1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数yf(|x|1)为偶函数，所以再将函数yf(x1)(x0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x0时的图象，故选A.4.若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)等于()ABC1D2答案C解析由图象可得ab3，ln(1a)0，得a2，b5，f(x)故f(3)2(3)51，故选C.5函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为()Af(x)e
17、x1Bf(x)ex1Cf(x)ex1Df(x)ex1答案D解析与yex的图象关于y轴对称的函数为yex.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得yex的图象f(x)的图象由yex的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1.6(2018承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)若方程f(x)xa有两个不同实根，则实数a的取值范围为()A(，1) B(，1C(0,1) D(，)答案A解析当x0时，f(x)2x1，当0x1时，10的部分是将x(1,0的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示若方程f(x)xa有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线yxa有两个不同
18、交点，故a1，即a的取值范围是(，1)7设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x1)f(x)0的解集为答案x|x0或1x2解析画出f(x)的大致图象如图所示不等式(x1)f(x)0可化为或由图可知符合条件的解集为x|x0或1x28设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则实数a.答案2解析由函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，可得f(x)alog2(x)，由f(2)f(4)1，可得alog22alog241，解得a2.9已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时
19、，f(x)x，且在1,3内，关于x的方程f(x)kxk1(kR，k1)有四个实数根，则k的取值范围是答案解析由题意作出f(x)在1,3上的示意图如图所示，记yk(x1)1，函数yk(x1)1的图象过定点A(1,1)记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f(x)与ykxk1的图象有四个交点，故kABk0，kAB，k0.10给定mina，b已知函数f(x)minx，x24x44，若动直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为答案(4,5)解析作出函数f(x)的图象，函数f(x)minx，x24x44的图象如图所示，由于直线ym与函数yf(x)的图象有3个交点，数形结
20、合可得m的取值范围为(4,5)11已知函数f(x)的值域为0,2，则实数a的取值范围是答案1，解析先作出函数f(x)log2(1x)1，1x0，得x1，由f(x)0，得0x0在R上恒成立，求实数m的取值范围解(1)令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示由图象可知，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0m0)，H(t)t2t，t0，因为H(t)2在区间(0，)上是增函数，所以H(t)H(0)0.因此要使t2tm在区间(0，)上恒成立，应有m0，即所求m的取值范围为(，013已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0|x
21、1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)0Df(x1)f(x2)0答案D解析函数f(x)的图象如图实线部分所示，且f(x)f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在0，)上是增函数，又0|x1|f(x1)，即f(x1)f(x2)0.14已知函数f(x)，g(x)1，若f(x)g(x)，则实数x的取值范围是答案解析f(x)g(x)作出两函数的图象如图所示当0x1时，由1x1，解得x.结合图象可知，满足f(x)g(x)的x的取值范围是.15已知函数f(x)g(x)|xk|x2|，若对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，则实数k的取值范围为_答案解析对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，即f(x)maxg(x)min.观察f(x)的图象可知，当x时，函数f(x)max.因为g(x)|xk|x2|xk(x2)|k2|，所以g(x)min|k2|，所以|k2|，解得k或k.故实数k的取值范围是.16已知函数f(x)若在该函数的定义域0,6上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得k，求实数k的取值范围解由题意知，直线ykx与函数yf(x)(x0,6)的图象至少有3个公共点函数yf(x)的图象如图所示，由图知k的取值范围是.19
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