鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第七章不等式微专题八基本不等式的向量形式教案含解析

1、微专题八基本不等式的向量形式思维扩展波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位我们知道，a2b22ab(a，bR)以及(a，bR)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(ab)2|ab|20不难得到a2b22ab，当且仅当ab时等号成立但将(a，bR)简单地类比为就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果注意到(a，bR)2ab(a，bR)，而不等式2ab左右两边都是数量，因而可以比较大小事实上，由(ab)2(ab)24ab|ab|24ab4ab可得2a

2、b，当且仅当ab时等号成立这样，我们就得到如下两个结论：定理1设a，b是两个向量，则a2b22ab，当且仅当ab时等号成立定理2设a，b是两个向量，则2ab，当且仅当ab时等号成立例1若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是_答案解析方法一由定理1得32|2ab|2(2ab)2(2a)2b24ab2(2ab)4ab8ab，所以ab，当且仅当b2a时等号成立，故ab的最小值是.方法二由定理2得2a(b)2，则ab，当且仅当b2a时等号成立故ab的最小值是.说明本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|ab|m(m0)，则当0时，ab的最大值为；当0，求2的最小值解由定理2得022，则22|22|4，故当且仅当，且|时，2取得最小值4.例5设a，b满足a2abb23，求a2abb2的取值范围解由定理1得ab，所以ab，解得ab1.又由定理1得(a)b，所以ab，解得ab3.所以3ab1.因为a2abb2(3ab)ab32ab，所以1a2abb29.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考3